Banach不动点理论及其应用

1、不动点定理及其应用综述摘要 本文主要研究Banach空间的不动点问题。i介绍了压缩映射原理证明隐 函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；23介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；4介绍了不动点定理在证明Fredholm积分方程和 Volterra积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；5讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。一、压缩映射原理它们1 ,使得对所有X, y压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点X和y在经过映射后， 在像空间中的距离缩短为不超过 d（x,y）的 倍（ 1 ）。它的数学定义为： 定义 设X是度量空间，T是X到X的映射，若存在 有下

2、式成立d(Tx,Ty) d(x, y)()则称T是压缩映射。定理（不动点定理）：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么 且只有唯一的不动点，即方程Tx=xW且只有唯一解。证明：设X0是X种任意一点，构造点列Xn，使得Xi TXo,X2Txi T2Xo,L , Xn TXn 1 T "x。()则Xn为柯西点列。实际上,d(Xm i,Xm)d(TXm,TXm i)d(Xm,Xm i)2d(TXm i,TXm 2)d(Xm 1, Xm 2)md(xi,xo)()根据三点不等式，当n m时,d(Xm,Xn) d(Xm,Xm i)d(Xm i,Xm 2) Ld(Xn i,Xn)n1)d

3、(Xo,Xi)1 n mm d(Xo,G()由于 1，故1n m 1，得到m()d(Xm,Xn) d(X0，Xi)(nm)所以当m ,n 时，d(Xm,Xn) 0，即xj为柯西列。由于X完备,使得Xmx(m)，又由三点不等式，有d(x,Tx) d(x,Xm) d(Xm,Tx) d(X,Xm)d(Xm 1,X)()上面不等式右端在m 时趋于0,故d(x,Tx) 0,即x Tx。不动点的唯一性：假设同时存在 X X ,有X Tx成立,d (X, X ) d (Tx,Tx ) d (x, X )()由于 1，所以必有d(x,x )0，即X X。证毕。定理中的映射T是定义在整个X上的，但实际上有些问题

4、中遇到的映射 T 只在X的一个子集上有定义或压缩性质。为了适应这种情形的需要，定义X上的 闭子集的不动点定理如下。定理 设(X,)是完备的。T是X X的映射。若在X的闭球丫 X： (x,xo)r上T是压缩的，并且满足条件(X0,Tx0)(1)r, (Ty,Tx) (y,x), x, y Y()此处是满足01的常数,则T在丫内有唯一的不动点。证明：丫作为(X,)内的闭集按X的距离成一完备距离空间,倘能证明T(Y)那么T就是丫 丫上的压缩映射，根据不动点定理即可得证。实际上，任取X令 y Tx，贝U (X0,y)(x0,Tx)(X0,TX0)(TXoTx) (1)r(X0,x)可见y 丫，证毕。应

5、用压缩映射原理需要注意的几个方面(1) 根据证明可知，为了获取不动点 X，可以从X中的任意一点出发(2) 在T满足d(Tx,Ty) d(x,y),x y()的条件下，T在X上不一定存在不动点。例：令Tx X - arctanx,x R, T是从R到R的映射。设x, y R，则Tx Ty X y (arctanx arctany)()2根据微分中值定理，必定存在(x,y)，使得Tx Ty (x y)，故1Tx Ty()即d(Tx,Ty) d(x,y)，但是当Tx x时，方程arcta nx 无解，因此，映射T没 2有不动点。倘若给满足()的算子加上适当的限制，便能保证 T有不动点。定理 设(X,

6、)完备，映射T:XX满足条件()。若 T(X) X是列紧集,则T有唯一的不动点。证明：取 的闭包 X。它是X内的自列紧集(即紧致性)，而且有T(在上定义一个实值函数(x)(x, x)()(x)是上的连续函数。它在上达到最小值，即存在x*使* *(X ,Tx ) min (x,Tx)X()则(x*,Tx*) 0。假若不然，即(x*,Tx*) 0，考虑Tx*和T2x*，它们都属于而由()得* 2 * * *(Tx ,T x ) (x ,Tx ) min (x,Tx)x()得到矛盾，不动点的存在性证得。T的不动点是唯一的。假设有x x使得Tx x,Tx x，那么一方面有(Tx,Tx ) (x,x )

7、，另一方面由()有(Tx,Tx) (x,x)，矛盾，可见 x证毕。(3)压缩映射原理中，距离空间的完备性不能少。例：设X (0,1具有由R诱导出的距离，定义T如下:Tx=-2()T是压缩映射，但是没有不动点。(4)方程Tx x的不动点x*在大多数情况下实际上不易求得，因此常用 xn作为其近似值。这样就要估计Xn与x*的误差。若用Xn近似代替x*，由于X. Tx. 1，则其误差为()满足0 m f y (x, y) M , m M()ndx)厂 d")这就是误差估计式。二、隐函数存在定理和皮卡定理 定理(隐函数存在定理)：设函数f(x,y)在带状域a x b, y()中处处连续，且处处

8、有关于y的偏导数fy(x, y)，如果还存在常数m和M ,则方程f(x, y) 0在区间a,b上必有唯一的连续函数y (x)作为解:f (x, (x)0,x a,b()证明：在完备空间Ca,b上作映射A，使对任意的函数 Ca,bi(A )(x)(x) Mf(x，(x)。按照定理条件，f(x，y)是连续的，故(A )(x)也连续，即A Ca,b。所以A是Ca,b到自身的映射。是压缩映射。实际上，对于Ca,b，根据微分中值定理，存在由于0i，满足(A 2)(x)(A i)(x)if(x, 2(x) M和x，i(x)P(x，i(x)i(x)i(x)(2(X)i(x)g( 2(x)i(x)()2(X)

9、i(x) (iM i，所以令1，且(A 2)(x) (A i)(x)(2(x) i(x)()按Ca,b中距离的定义，即知d(A 2, A i) d( 2, i)因此，A是压缩映射。由不动点定理，()存在唯一的Ca,b满足 A，即1(X)(X)帀f(X,(X)，也就是说f(x, (X)0,a x b。证毕。定理(皮卡定理)：设f(t,x)是矩形D (t,x) ttoa, xxob()上的二元连续函数，设f(t,x) M，(t,x) D，又f(t,x)在D上满足利普希茨条件，即存在常数K,使对任意的(t,x),(t,v) D，有f (t,x) f (t,v) K x v()那么方程f(t,x)在区

10、间Jto'to的连续函数解，其中上有唯一的满足初值条件x(to)xomina,存为()为了证明本定理，首先有如下结论和定理： 结论：Ca,b是完备的度量空间 定理完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为 间M是X上的闭子空(皮卡定理)证明：设Cto,to表示区间J=to,to上连续函数全体按距离d(x, y) max|x(t) y(t)|所成的度量空间，由上面结论, t JCto,to是完备度量空间，又令C表示Cto,to中满足条件x(t) XoM(t J)()的连续函数全体所成的子空间，不难看出 完备度量空间。令C是闭子空间，由上面定理知，C是(T x)(t)xott f(t,

11、x(t)dtt0()则T是C到C的映射。事实上，因Mb，所以若x C，那么当t to ,to 时，(t,x(t) D，又因f(t,x)是D上二元连续函数，所以上式右端积分有意义。又对一切t(Tx)(t) Xotof (t, x(t)dt M t t0Mg()所以，当x 中任意两点C时，Tx C。下面证明T是压缩映射，实际上，由条件()，对C x和V，(Tx)(t) (Tv)(t)有ttf(t,x(t) f(t,v)dtt t0 gK max x(t) v(t) K d(x,v)a t b()令 K ，则01，且d(Tx,Tv) max (Tx)(t)(Tv)(t) ad(x,v)()f(x)倉

12、(X ak)ak1()存在唯一的 x C，使得Tx x，即所以T是C上的压缩映射。由不动点定理，t()x(t) x f (t,x(t)dt且X(t0)X0 o两边对t求导，即得f(t,X(t) o这说明X(t)是方程 dt蚁 f (t,x(t)满足初值条件X(t0) dtxo的解。另外，设x(t)也是此方程满足初值条件的解，那么x (t)Xot()tf(t,x(t)dt因而x C，且x是T的不动点，由不动点唯一性必有x x，即方程f(t,x)在区间t。,t0上有唯一的满足初值条件X(t0)X0的连续函dt数解，证毕。三、利用Banach不动点定理证明区间套定理 定理(区间套定理)：若闭区间列a

13、nb具有如下性质(1) an ,bnani，bni, n 1,2,3,K (2) nim( bn a.) 0则存在唯一的 ，使得an,bn, n 1,2,K在数学分析中，可根据单调有界原理证明区间套定理，下面采用不动点定理证明证明：由条件(2)，不妨设该区间列中任意两个区间不完全重合，显然闭区间x y, x,y ak,bk,k1,2,L是完备距离空间。作映射:ak ,bk按距离 d(x, y)于是对任意的 x ak,bk，有 f (x) ak1,bk1 akb，从而 f (x)是& b到自身的映射。对于x ,xak,bk，有f(x) f(x)bk 1 ak 1bkak()1ak 1bk

14、ak1),由于ak,bkak i,bk i，于是 0bk 1 ak 1bkak1，从而1 且 bk 1ak 1bkak,因此f(x)f(x)()所以f是ak,bk到自身的压缩映射。由 Banach不动点定理可知，f在akb上存在唯一不动点，即存在kak,bk，使得 f( k) k,k 1,2,L ，因ak 1 ,bk 1 ak,bk，k 1,2,L 故存在务,0,门 1,2,Lbn， n 1,2,L，于是假设另存在an,bn,n 1,2,L，则有a.bnan ,n1,2,L()lim(bn an)0,n1,2,L，因此n四、不动点定理解线性代数方程组定理设有线性方程组x= Ax+b，其中A a

15、j是n从而，证毕。n 矩阵，x (X1,X2,K ,Xn)T 是未知向量，b (b1,b2,K ,bn)T是已知的n维列向量,若矩阵A满足条件nmax1 i n .J 1aj则方程组x= Ax+b有唯一的解。证明：令X Fn，对于任意的x (X1,X2,K ,Xn)T，它们的距离为d (x, y) maXk yk ，对于任意的Tx= Ax+b。因为()y= (y1,y2,K , yn)T x，定义x X，定义映射T:X X为:nd (Tx,T y) rniax( ajXj b) ( ajyj b)i n J 1J 1故T为压缩映射，由(Fn,dnmax1 i n j1max Xjaij Xjj

16、 yjyj maxaijj 1nmax1 i nj 1aij gd(X, y)()的完备性知，T存在唯一的不动点 X，因此X Tx Ax b，即方程x=五、积分方程解的存在唯一性定理(第二类Fredholm积分方程的解)设第二类Fredholm线性积分方程ba K(t,s)x(s)dsAx+b存在唯一解。x(t) f(t)()其中 为参数，对充分小的，则b内的连续函数时，()有(1)当 f Ca,b，K(t,s)是定义在 a t唯一的连续解 x(t) Ca,b，而且x(t)是迭代序列xn(t) f (t)bK(t, s)Xn 1(s)ds, na0,1,2,K()的极限，其中X0(t)可取Ca

17、,b中的任意函数;(2)当fL2(a,b)，积分核K(t,s)是定义在a t b，as b内的可测函数，满足2K(t,s) dtds()(K(t,s)是定义在a t b，a s b内的L2可积函数)时，()有唯一的解2x L(a,b) o证明：(1)令T:Ca,b Ca,b为b(Tx)(t) f(t) aK(t,s)x(s)ds()由于 f(t)，K(t,s)分别在a,b和a,b a,b上连续，当 x Ca,b，Tx Ca,b，即T是Ca,b到自身的映射，并且算子T的不动点x*就是积分方程的解。一般情况下，T不是压缩映射，但当1/M(b a)时，T为压缩映射，其中b b2 b _2 1/2M

18、maxa t,s bK(t,s)。事实上，对Ca,b中的任意两元素x,y有d(Tx,Ty)maxb(Tx)(t) (Ty)(t)a t ,s bmaxa t,s bbK(t,s)x(s) y(s)ds()可见，当 M(b a)maxa t,s bK(t, s) x(s) y(s) dsma") y(s)g(b a)M(b a) d(x,y)1时，T为压缩映射，由于Ca,b为完备空间，故T存在唯一的不动点X*，因此,1/ M (ba)时，积分方程()有唯一的连续解。(2)令 T:L2(a,b)L2(a,b)为(Tx)(t)f(t)baK(t,s)x(s)ds()K(t,s)x(s)ds

19、 dtb b2b2a|K(s,t)| dsga|x(s)| dsdt()2K(s,t) dsdtg x(s) dsa充分小使得以及T的定义可知，T是由L2(a,b)到自身的映射，取2 1/2K(t,s) dsdt 1()于是d(Tx,Ty)(Tx)(t)2 1/2(Ty)(t) dt1/2K(t,s)(x(s) y(s)ds dt2 1/2K(s,t)|x(s)y(s)dsdtK(s,t) dtdsg x(s) y(s) dsa1/22K(s,t) dtds d(x, y) d(x,y)()故T为压缩映射，由不动点定理知,T存在唯一的不动点xL2(a,b)，即积分方程()有唯一的平方可积解。证

20、毕。考虑Volterra积分方程x(t)tf(t) aK(t, )x( )d()其中f(t) Ca,b，K(t,)在三角形域R:a t b上连续。推论设X是完备距离空间,A:XX,如果存在常数(0,1)和正整数n,使得x,y X，有()d(Anx,Any)d(x, y)则A在X中存在唯一不动点。定理(Volterra 定理) f(t)Ca,b,R1，则积分方程()有唯一的连续解x (t) Ca, b。证明：记M ma)RK(t, ) o 令(Ax)(t)f(t)taK(t, )x( )d()则易知A:Ca,bCa, b，且对x,yCa,b，有注意这里d(Ax,Ay)mabxtaK(t, )(x( ) y( )d(b a)Md(x,y)