数值计算答案-石瑞民

1、习题一1、取3.14,3.15, 22,啰作为n的近似值,求各自的绝对误差,相 7113对误差和有效数字的位数.解：x1 =3.14121 一 1 J3n -Xi <- X10 =一父10 22所以,木有三位有效数字绝对误差：e = n -3.14,相对误差：er-3.14冗绝对误差限：£ JM10： 相对误差限：6r=,M10H=1M10/ 22 36X2 =3.15r： -3.15 =0.00840174 = 0.84074 10 <0.5 10'=0.5 101立所以,X2有两位有效数字绝对误差：e = n -3.15,相对误差：er =-315绝对误差限：

2、-2,101相对误差限：皆?1.22X2=Y22M0.5 10/ =0.5 10147所以,X3有三位有效数字一=0.0012645 =0.12645M10_22绝对误差：e=n-22,相对误差：er7二绝对误差限：=工M104,相对误差限：露=工父1026X1 =355113<0.5 104 =0.5 101355_6-=0.00000032 =0.32 10113所以,X4有七位有效数字355JI 绝对误差：e=n-竺5,相对误差：a=-113113二绝对误差限：,区相对误差限:=610-63、以下各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数,试分别指出它 们的绝对误差限和相对误差限,有效

3、数字的位数.Xi =0.0315,X2 =0.3015,X3 =31.50,X4 =5000解：X1 =0.0315m=-1*X 一 X11 工- 1021j _3=102X2X3所以,n=3, X1有三位有效数字绝对误差限： 仁工h.、 相对误差：名r 2= 0.3015m=0* 1_4 10 _4X -X2 <-10 =父10 22所以,n=4, X1有四位有效数字绝对误差限：名二1".'相对误差："2=31.50m=2=7产110X44、* 1_2 12 _4X -X3 <-x10 =_ 父10 22所以,n=4, X1有四位有效数字绝对误差限：君

4、=1"0：相对误差：力2=5000m=4* - 10 14-4x -x4 <-10 =一父1022所以,n=4, X1有四位有效数字绝对误差限：/M100=0.5,2相对误差：；r =工 10" 1 =10, =10,2a2 5计算而的近似值,使其相对误差不超过U优7100.1%解：设取n位有效数字,由定理1.1知,%=工父102a由向=10父0.3162,所以,a1=3由题意,应使父10"*<0.1%,即10父10n <6父106所以,n=4,即?而的近似值取4位有效数字近似值x =3.1626、在机器 数系下F(10,8,L,U)中取 三个数

5、x = 0.23371258父10, y =0.33678429 父10 Q1 Q同理；(x2)10；(x3)10 2 , z =0.33677811 父 102 , 试按(x + y) + z 和 x + (y + z)两 种算法计算x + y+z的值,并将结果与精确结果比较.(x y) z_4_22二 (0.23371258 100.33678429 10 ) -0.33677811 10 一 _ _2 _ _ 2、 _2解. =(0.00000023371258 100.33678429 10 ) -0.33677811 10= 0.33678452371258 102 -0.33677

6、811 102= 0.33678452 102 -0.33677811 10223= 0.00000641 102 = 0.64100000 10x (y z) _4 2 _2= 0.23371258 10(0.33678429 10 -0.33677811 10 )43= 0.23371258 100.61800000000 10= 0.023371258 10 4 0.61800000000 10-0.641371258 10,一一 一 一一 一2-0.64137126 10x y z _4 _2 _2= 0.23371258 100.33678429 102 -0.33677811 10

7、2_2_2_2= 0.00000023371258 102 0.33678429 102 -0.33677811 102= 0.00000641371258 102= 0.64137126 10 ,所以,x+(y+z)比(x + y)+z 精确,且 x+(y+z)与 x + y+z 相同；因此,在做三个以上的数相加时,需要考虑相加的两个同号数的阶数 尽量接近.8、对于有效数x=-3.105, x2 =0.001, x3 =0.100,估计以下算式的相对误差限. y1=x+x2+x3, y1=x1x2x3, 丫3=迎x3解：x二-3.105, m=1;*1_311 4x -x1 E1父10 =父

8、1022z 、13所以；(xj = 2 10i 一 3e( Xi) W Mio1 一 3e(X2) W 父 I02e(X3) <i xi0、e Xier(Xi X2 X3)=er(Xi)er(Xi)erX3e(Xi)Xie(X2)X2e(X3)X31io-、i2 或；r(XI)io学-3.io252 3i_3-io< 或即(x2 )o.ooi-io,2-或；r(X3)o.iooX2X3e xi r e X2 广 e X3XiX2X3X1X2X3i_3 io2 ier(yi) = e.(Xi +X2 +X3) W o.49975M io.er(y2) =0(XiX2X3) =e(Xi

9、X2) e(X3) =e(Xi) e(X2) e)所以,er(y2) <o.5o5i6er ( y3 ) = er () = er (X2 ) - er ( X3 )X3所以,4也)| <o.5o5综合得： /(y1)=o.49975xio3 ,即(y2) =o.5o5i6 , "(y3) =.5.59、试改变以下表达式,使其结果比较精确其中x «i表示x充分接近0, |x Ai表示X充分大.(1)In xi _ In x2,xi : x2(2)i -xif i x(3)(4)i -cosX(5)i一一 cot X , X答案:(1) In 4；(3)X2(4)

10、法一：用i-c0sx十得出结果为:法二:i - cosx i - cosxsin x i - cosx xi 一 cosxsin xsin xsin x sin xsin xi cosx(x > o)或=3Xsin xx =tan212、试给出一种计算积分In =e.jxnexdx近似值的稳定性递推算法解：显然,In>0,n=1,2,当 n=1 时,得,I1 = fxexJLdx = 1 0e当nA 2时,由分部积分可得： 1 n -1n =jxe dx=1-n1n二,n=2,3,另夕卜,还有：In = fxnexJ1dx< fxndx = - 00 n 1由递推关系In=1

11、-nIn-1 ,可得计算积分序列In的两种算法: In =1 -nIn,n=2,3 -1-1 InL- n = 2,3,n下面比较两种算法的稳定性 假设的一个近似值In,那么实际算得的In的近似值为I n = 1 - n I n 所以,In -In = (-n)( I n- I n)I n - I n =nIn一In由此可以看出In的误差放大n倍传到了 In,误差传播速度逐 步放大由In计算In In,=n = N,N -1,1 n 假设In的一个近似值是In,那么实际计算的In的近似值为 1 - InI n 4 =n 所以,1n二- 1n 4(I n - I n)n1I n一 I n-I n

12、 - I nn由此可以看出In的误差将缩小n倍传到了 In,误差传播速度逐 步衰减.1综上可看出,计算积分I n = eI xnexdx的一种稳定性算法为1 - InInJL =n n = N,N -1,N -2 ,1.n习题二1、利用二分法求方程x3. =ln(2cosx)x2-4s-7 = 03, 4内的根,精确到1.)口1 1.,即误差不超过2.解：令 f(x) =x3 -2x2 -4x-7f =1.<., f(40=9.,说明在3, 4内有根, 利用二分法计算步骤得出 x10 =3.632324219 , x11 = 3.63218359381b11 -a11 =x11 -x10

13、 =0.4882181x10<父10 满足精度要求 2所以,x:xn =3.6321 ,共用二分法迭代11次.2、证实1-x-sinx=0在0,1内有一个根,使用二分法求误差不大于1M10工的根.2证实：令 f (x) = 1 - x - sin xf(0) =1 >0; f (1) =-sin1 <0 ,所以,f(0) f (1) <0由零点定理知,f(x)在0,1内有一根根据计算得出：x* % x15 =0.98283 ,此时共迭代15次.4、将一元非线性方程2cosx-ex=0写成收敛的迭代公式,并求其在x0 =0.5附近的根,精确到10,解：令 f (x) =

14、2cosx-ex令f (x) =0,得到两种迭代格式x(p *ej 匕=arccosx(x):-e,不满足收敛定理.2) (x)= -2s1nx 二4口乂 2cosx叼(Xo)=率2(0.5) =0.008727 <1 ,满足收敛定理由方程写出收敛的迭代公式为xk 1 = ln(2cosxk)取初值为x° =0.5 ,得出近似根为：x*之x2 =0.693074175、为方程x3 x2.1=0在x0 =1.5附近的一个根,设方程改写为以下等价形式,并建立相应的迭代公式：(1)x =1 + 4 ,迭代公式xk由=1 +' ；xxk(2) x3=x2+1,迭代公式 乂3乂2

15、+1)1/3(3)迭代公式xk 1 =(xk -1)解：(1)利用局部收敛定理判断收敛性,判断初值x0 =1.5附近的局部收敛(2)局部收敛(3)不满足局部收敛条件但由于汽,(x)|.|叼(x),所以%(x)比%(x)收敛的慢取第二种迭代格式x.1 =(xj 1)1/3取初值x0 =1.5 ,迭代9次得x* 5tx9 = 1.4667、用牛顿法求解x3-3x-1=0在初始值% =2临近的一个正根,要求人书xk <10 O由牛顿迭代法知：Xk 1 = Xk -3,f (Xk)3Xk 1 .,、 一 2f (Xk)3(Xk -1)迭代结果为:Xk1.888891.8794593987满足了精

16、度要求,X* ：. X3 =1.879398、用牛顿法解方程1-C=0,导出计算C的倒数而不用除法的一种X简单迭代公式,用此公式求0.324的倒数,设初始值x0=3,要求计算 结果有5位有效数字.解：f(x)= 1-0.325 Xf (x)=-3,由牛顿迭代公式Xk Xk-fx"X'f (Xk)迭代结果为：k0123Xk33.083.086413.08486420满足精度要求* X : x3 = 3.0864所以,0.324的倒数为3.086411、用快速弦截法求方程X3-3x-1=0在X0=2附近的实根,(取X1 = 1.9, 要求精度到10).解：f (x) = x3 -

17、3x -1 ,迭代结果：Xk2满足精度要求*x <- X4 = 1.879391.91.88101.87949411601.8793912、分别用以下方式求方程4cosx=eX在x°=±附近的根,4有效数字要求有三位(1)用牛顿法,取Xo =-4(2)用弦截法,取X.二三X1二三42(3)用快速弦截法,取X.二三%;三42解：求出的解分别为：X1 =0.905 X2 =0.905 X3 =0.905习题三1、用高斯消元法解以下方程组2X1 -x2 +3x3 = 1(1 )-4x1 +2x2 +5x3 = 4x1 2x2= 7工 11X1 -3X2 -2X3 =3

18、71; -23x1 + 11x2 +x3 =0x1 +2x2 +2x3 = -1(2)解：(1)等价的三角形方程组为4x1 2x2 5x3 = 4« -2x2 +0.5x3 = -1 ,回代求解为 *721一二 X3 = 一、84(2)等价的三角形方程组为x1 = 9x2 = -1X3 - -6-23x1 11x2 x3 =05747 X22323193X3 = -1 ,回代求解为57223X3 :5741Xi -193106X2193223 x31932、解：L二,1020-0 111* A =2 0-11C 0111 000、0 111 U =2 010 ,U-10 0 1、5)

19、3、用 LU作LU分解.j,1 020、0 1110 0-510 006.5)5768方程组7 10579108610 Yx1、1、9x217x315>1x4 /工解:,16/5L =7/5L10010-1/2103/520 0、5107-2/500910-4/5-3-5-17/201/10-1/5,X-1/2(3/10-12-534、用列主元的三角分解法求解L方程组-12-2-T解：A=3-147、2-3-20100、/3L = 2/31/31-7/50 ,U = 00；<0-1-7/30x12 x2 - 2x3 - - 13x1 - x2 4x3 = 72x1 - 3x2 -

20、2x3 = 04-14/3 ,Y =-4 j7-14/3 , X =-221<1/2>5、 用追赶2100-12-10A= 0-1 2-100-12100-1角方程组Ax = b-12T0000J2-1-1/23/2 -1解：L =1/2-2/31-3/4-4/5 14/3-15/4 -16/51/31/4J/55/6、2/31/21/3J/66.用改进的Cholesky分解法解方程组4x1 -2x2 -4x3 =10,-2x1 +17x2 +10x3 =3-4x1 +10x2 +9x3 = -77、用改进的cholesky分解法解方程组1-13-1X2X38-44-1解：U =I

21、011/4-3/425/450/1178/25-6/11456/25-1100、4 -2 -4、10、2、解：L =-1/210,U =0 168,丫 =8,X =11-11/2 1 ,d 0 1J1/-1I 1J1-1047X18、设x=(1,-2,3)T,求冈乂2和网厘.xn解：x1bi 1xmaxx =31 19、设 A = 2 22 40-3,求A|,网2和同g1 ,解：11Ali =8, I A0G = 10, |A2 =v'P(ATAT) =7.14171 110、设 A =22<5 45X= 3 ,计算 |乂8,|Alc及 |AxL,<2 J并比较Ax二和也,

22、网8的大小.解：也=3,网L=1.,|Ax|g=9,1-22 Yx1 11-12、11、给定方程 -111 X2 = 02 -21 AX3 ； <10 >(1)写出Jacobi和Gauss-Seide迭代格式；(2)证实Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seide迭代法发散；(3)给定x(0) =(0,0,0)T ,用迭代法求出该方程的解,精确到|x(k+)-x(k)L<10解：x1 =(1) Jacobi 迭代公式x2 = x1风=2x12x2-2x3 -122x210Gauss-Seide迭代公式4(k 1)(k)(k)x1 2x2- 3x3-12(k 1)(k)(k)

23、-x2 2x2-12(k 1)(k)(k) ooxn 8x2- 6 x3- 38(3)用 Jacobi迭代得,X* 定X(4) =(12,46,58)T5x1 一 x2 - x3 "_413、 rx1 +10x2 -x3 -x4 =12,考察 Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel - x 一 x2 5x3 -x4 = 8-x1 一x2 -x3z 10x4 =34迭代格式的收敛性.14、方程组Ax=b,其中1 a a'A= 4a 1 0 , x,bw R3<a 0 1利用迭代收敛的充分必要条件确定使 迭代法均收敛的a的取值范围.0- a解:Jacobi迭代矩阵

24、为Bj = -4a 0、a 0当 P(Bj )<1 得,a < 5Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel-a00Gauss-Seide迭代矩阵为:当仪Bs)<1得,a两5430 Yx1 "15、设方程组3 4 -1 ix22 一14 人x3/Id-a-aBj =04a24a2922aa24 '30分别用Gauss-Seidel迭代法和24,w=1.25的SOR法求解此方程,准确到4位有效数字(取x(0) =(l,l,l)T) 解：Gauss-Seidel迭代法共迭代17次,此时近似解为*(17)-Tx x( ) =(3.000,4.000,5.00

25、0)SOR法w=1.25时,迭代11次,此时的近似解为x* ： x(11) =(3.000,4.000,5.000)T16、用SOR方法解方程组(分别取松弛因子 w=1.03, w=1, w=1.1)J_ 4xi -x2=1« xi +4x2-3x3 =4 精确解 x* =(1/2,1,1/2),要求当 |x* - x(k)| < 5 10 -x2 +4x3 = -3时,终止迭代,并且对每一个w值确定迭代次数.解：当 W=1.03 时,迭代 5 次,x* 郑 x(5) =(0.5,1,-0.5)T当 W=1 时,迭代 6 次,x* «x(6) =(0.5,1,-0.5

26、)T当 W=1.1 时,迭代 6 次,x* %x(6) =(0.5,1,-05),习题四1、设xo =0, xi =1 ,与出f(x)=e.的一i次插值多项式Li(x),并估计插值 误差.解：Li(x) = yo *-也(x - xo) = 1 J -1)x xi -xoeI Ri(x)|EM|(x x0)(x xi),其中 M = max f "(x) =12%.咤一,、一 1 ,、,、 J1 Ri (x) F (x Xo)(x Xi) 一二282、给定函数表Xi-0.10.30.71.1f (Xi)0.9950.9950.7650.454选用适宜的三次插值多项式来近似计算f (0

27、.2)和f (0.8)解：、求 f (0.2),选用插值节点为 X0 =-0.1 , xi =0.3, X2 =0.7,用 lagrange插值多项式为：,(x -Xi)(X -X2)(x -Xo)(X -X2)(x -Xo)(X- Xi)L2 (x):yo yi y2(Xo -Xi)(Xo -X2)(Xi -Xo)(Xi -X2)(X2 - Xo)(X2 Xi)解得 f(-0.i) :. L2(-0.i) =0.979、求 f(0.8),选用插值节点 x0=0.3, xi=0.7, X2=i.i,L2(X) n(X - xi )(X - x2 )(X0 - Xi )( X0 - X2 )y.

28、(x - x0)( X - x2)( X - x0 )( X - Xi)-yi y2(Xi - X0)( Xi - X2 )(X2 - X0 )( X2 - Xi )解得：f (0.8) ：. L2(0.8) =0.69754、给定数据(f(x) =4)X 2.02.i2.22.4f(xj |i.i42i4 i.449i38 i.48320 i.549i7 (i)试用线性插值计算f(2.3)的近似值,并估计误差.一 (2)试用二次Newton插值多项式计算f (2.i5)的近似值,并估计误差 解：(i)取 X0 =2.2 , Xi =2.4Li(x)= yyi -y0 (x -x0) -0.3

29、2995X 0.7573iXi -X0f(2.3) : Li(2.3) =i.5i6i95|Ri(x)|<M(x-x0)(x-xi) , M = max f"(x) =0.0766 2x0<?<?i0 0766| Ri(2.3)|< 00266 (2.3 -2.2)(x -2.4) =0.000383i(2)写出二次Newton插值差商表Xif(Xi)一阶差商二阶差商2.0i.i42i42.ii.449i380.349242.2i.483200.34062-0.043iN2(x) =i.4i42i4 0.34924(x -2) -0.043i(x - 2)(x

30、 - 2.i) f(2.i5) ： N2(2.i5) = i.4663 &(2.i5) M 0.000004i435、给出函数值X0i234y0i646880试求各阶差商,并写出Newton插值多项式和差值余项 解：f (6)()6!(x -0)(x-1)(x-2)(x -4)(x -5)xiy一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商001161624630738821-3-5/240-88-109/3-25/2-7/6N4(x) =16x -7x(x -1) -5/2x(x -1)(x -2) -7/6x(x - 1)(x - 2)(x -4)R(x)= f (x) -N4(x)= fxo,

31、x1,x2,x3,x4,xw5(x)6、给定数据表x 0.1250.250.3750.5000.6250.750f(x)| 0.796180.773340.743710.704130.656320.60228试用三次牛顿差分插值公式计算 f (0.158)和f (0.636).解：、求 f (0.158),取 x0 =0.125, x1= 0.25, x2 = 0.375, x3 = 0.500 , h=0.125差分表为xif (xi)一阶差分二阶差分三阶差分0.1250.796180.250.77334-0.022840.3750.74371-0.02963-0.006790.50.704

32、13-0.03958-0.00995-0.00316由公式riwJykL疝由牛顿插值公式有f(0.158) : N3(0.158) =0.79061、求 f (0.636 ),取 x0 =0375 , x1 =0.500, X2 = 0.625, X3 = 0.750 , h=0.125xif(xi)一阶差分二阶差分三阶差分0.3750.743710.50.70413-0.039580.6250.65632-0.04781-0.008230.750.60228-0.05404-0.006230.002求解得 f 0.636) : N3(0.636) =0.651799、给出sinx在0,pi的

33、等距节点函数表,用线性插值计算sinx的近似值,使其截断误差为1M10,问该函数表的步长h应取多少才能满足 2要求解：设插值节点为xj =ih , (i=0,1h) ,h = ±n.h2. h2由 Rn(x) < f (x) =m282F(x)=sinx, f"(x)=-sinx,所以 f"(x)W1,即 m2 =1所以h三0.02步长h应取为0.02才能满足要求.14、实验数据如下xi1925313844y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式,并计算均方差解：设拟合多项式为y=a+bx2,那么正规方程组为Ya！

34、08 S3S4 人b J j2jS0S1S2S1S2S31575327、即:1575327532719233119233107277699 人b ,2 271.49776.1©69321.5,a =0.968b =0.05所以,经验公式为：y =0.968 0.05x2均方误差为0.00301915、观测物体的直线运动,得出以下数据时间t(s)00.91.93.03.95.0距 离S(m)010305080110求运动方程.解：设拟合多项式为y=a+bx + cx2,那么正规方程组为S2S2aT0S3S30S4bT253.63218.9079510302328010780533.2 ,614.7即： 14.753.6363.63 218.907a=-0.5834, b=11.0814, c=2.2488所以拟合多项式为 y =-0.5834+11.0814x + 2.2488x2.习题五1、分别用梯形公式和辛普森公式计算以下积分,并比较结果.(1) f；dx (n=8)0 4 x2解：用复合梯形公式 h Jn =8,