完整版新整理三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案

1、三角形“四心向量形式的充要条件应用在学习了?平面向量?一章的根底内容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有 关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件.现归纳总结如下：一.知识点总结1) O 是 ABC 的重心 OA Ob- OC 0；1一 一 ,一S BOC S AOC S AOB - S ABC ,假设O是ABC的重心,那么3 故OA OB OC 0；uuur . uuD uuu uuurPG 1(PA PB PC) G 为 ABC 的重心.2)O 是 abc 的垂心 Oa OB Ob Oc Oc Oa ；假设.是 ABC (非直角三角形)的垂心,那么S boc ： S a

2、oc ： S aob tan A ：tan B ： tan C故tan AOA tan BOB tan COC 0- 2 2 23) O 是 ABC 的外心 |OA| |OB| |OC|(或 OA OB OC )假设.是ABC的外心那么 S BOC： S AOC： S aob sin BOC：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin2B : sin 2c故sin2AOA sin2BOB sin 2COC 04) O是内心OAT (AB- |ab |ABC的充要条件是AC、 - z BABC、 z CA)OB () OC (AC|BA | |BC |CA | |CB |CB-)

3、0I. I. I.p- *引进单位向量,使条件变得更简洁.如果记 AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3,那么刚刚ABC内心的充要条件可以写成：0A e1 e3 OB e1 e2 OC e2 e3 0ItItO是 ABC内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC 0假设 O 是 ABC 的内心,那么 S BOC ： S AOC ： S AOB a： b ： c vrfrrmf故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA sin BOB sin COC 0. uiur uuir uuur uuu uuu uuu r'|AB |PC | BC | PA | CA | PB 0

4、P ABC 的内心； uuruuu向量族 母 0所在直线过 ABC的内心是 BAC的角平分|AB| |AC|线所在直线；二.范例一.将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点 PAB AC?两足OP OA 尸i=j ,0, 那么P点的轨迹一止通过 ABC的AB ACA外心B内心C重心D垂心ABuumuuuUULT解析：由于 空 是向量AB的单位向量设 AB与AC方向上的单位向量分别为ABOP OA AP ,那么原式可化为 APQ 62,由菱形的根本性质知 AP平分 BAC ,那么在ABC 中,AP平分 BAC,那么知选B.点评：这道题给人的

5、印象当然是“新奇、陌生,首先咎是什么没见过！想想,一个非零 AB向量除以它的模不就是单位向量此题所用的都必须是简单的根本知识,如向量的加减法、向量的根本定理、菱形的根本性质、角平分线的性质等,假设十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起, 解这道题一点问题也没有.HB HC HC HA 点H是 ABC的垂心.二将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理例2. H是 ABC所在平面内任一点,ha hb由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 同理HC ab , hA bC .故h是 ABC的垂心.例3.(湖南)P是 ABC所在平面上一点,假设 而 PBHB AC ,反之亦然

6、证略A.外心B.内心C.重心PB PC PC PA ,贝 U P 是4ABC 的(D )D.垂心解析:由 PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0.IP PB PA PC 0,即即 CA 0 贝U PB CA,同理 PA BC, PC AB 所以P为ABC的垂心.应选D.点评：此题考查平面向量有关运算,及 数量积为零, 相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及 关知识巧妙结合.那么两向量所在直线垂直、三角形垂心定义等数量积为零,那么两向量所在直线垂直222222变式：假设H为ABCf在平面内一点,且 HA BC HB CA HC AB那么点H是 ABC的垂心证实:HAHB

7、CABC(HAHB)?BA(CA CB)?BA得HAHB CACB)?BA即HCHC)? BAABHC同理 AC HB , BC HA故H是ABC勺垂心三将平面向量与三角形重心结合考查例4. G是4ABC所在平面内一点, 心.证实 作图如右,图中GB GC GE连结 BE 和 CE,那么 CE=GB , BE=GC 点,AD为BC边上的中线.“重心定理工Ga Gb Gc=0 点 G 是4ABC 的重BGCE为平行四边形 D是BC的中将丽 GC GE 代入 GA GB GC =0,1 PG (PA PB PC).3(PA PB PC)得gA EG =0 GA GE 2GD ,故G是 ABC的重心

8、.反之亦然证略例5.P是4ABC所在平面内任一点.G是 ABC的重心证实 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) .G是 ABC的重心/. GA GB GC =0 AG BG CG =0,即 3PG pA PB PC由此可得pG 1(pA pb pc).(反之亦然(证略)3uuu uuu uuur r例6假设O为 ABC内一点,OA OB OC 0 ,那么O是 ABCA.内心 B.外心 C.垂心D.重心uuu uuuuuurr uuruuuruuu解析：由OA OBOC0得OBOCOA,如图以 OB OC为相邻两边构作平行四边形,那么uuruuuruuuruui

9、r1 uuurOBOCOD,由平行四边形性质知OE-OD, OA 2 OE ,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D.点评：此题需要扎实的平面几何知识, 平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点,所分这比为-o此题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形1的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.uur uur 那么变式：D, E, F分别为4ABC的边BC, AC, AB的中点.贝AD BE CF 0 .证实：3 -ADGA23 -BEGB23 CF-GC23AD BE CF 3(GA GB GC)2GA GB GC 0uuuruuu uu

10、urADBE CF 0 .变式引中：如图4,平行四边形ABCD的中央为O , P为该平面上任意一点,uur 1 uur uuu 贝巾 PO (PA PB 4uur uuurPC PD).证实:uuirQ POuurPO1 uuu (PA41 uuu uur uuir (PA PC) , PO 2uuu uuir uur PB PC PD) .1 uuu (PB2uuurPD),点评：1证法运用了向量加法的三角形法那么, 证法2运用了向量加法的平行四边形法那么.2um uuu uur uuur假设P与O重合,那么上式变 OA OB OC OD 0.四.将平面向量与三角形外心结合考查例7假设O为A

11、BC内一点,uuuOAuuuOBuurOC ,那么O是ABC的(A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等.故O是ABC的外心,选B.点评：此题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合.五将平面向量与三角形四心结合考查例8.向量 函,曲,op3满足条件曲+OP2+配 =0, |op1 |=|op2|=|op3 |=i, 求证 PiP2P3是正三角形.?数学?第一册下,复习参考题五B组第6题 证实 由 函 + op；=-op3 ,两边平方得 op? - op2 =-,21同理 OP2 OP3 = OP3 OPi =-, 2 .|P

12、iP；| = |P2P； | = |P3P1 | 二百,从而 PiP2P3 是正三角形.反之,假设点O是正三角形 Pip2P3的中央,那么显然有 函+OP2+OP3 =0且I函|二|OP2 |二|0瓦|.即O是 ABC所在平面内一点,Op1+Op2 + Op3 =0 且|OP1 |=|Op2 |=|Op | 点 o 是正 PiP2P3 的中央.例9.在AABC中,Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心.求证： Q G H三点共线, 且 QG:GH=i:2【证实】：以A为原点,AB所在的直线为X轴,建立如下列图的直角坐标系.设A0,0、Bxi,0 、Cx2,y 2 , D E、F分别为AB B

13、C AC的中点,那么有：Xi X x9 y 9 x9 y 9D j.、E7A 冷、F 半:由题设可设 QU,y3、H x2,V4,G3A 也 233uuuuAHunrBC (xuuuuQAHuuu (X2,y4)QF匕L v )2,2 y3)2 X1> y 2 ) uuir BCurnuiujltAHy4uuirQQFuuir?BC x2(x2X2(X2 Xi)UUULACuuuny2QF ?AC/X2X2( 2Y3X2(X2 Xi)2yXi)y2y40uuuuQH(X 22Xi万,y47)V22y3)3x2(x2 X1)uuir QGXi(七2x9 X1 (；i uuui =1QHXi

14、22X 2V 3)(3x2(x2 X1)6y 2Xi6y 21)-(632y2y2 X2(X22yXi)23x 2 (x 2F2y2)Xi)3 uuuu unr 即QH =3QG,故Q G H三点共线,且QG GH=i：【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理,都相当麻烦,而借用向H著名的“欧拉定理讲的是锐角三角形的“三心 心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线(2)三角形的重心在“欧拉线上,且为外一- 离是重心到外心距离的2倍.“欧拉线外心、重垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距量的坐标形式,将向量的运算完全化为代数运算,这样就将“形和“数紧密地结合

15、在一起,从 而,很多对称、共线、共点、垂直等问题的证实,都可转化为熟练的代数运算的论证.例10.假设O、H分别是 ABC的外心和垂心.求证 OH OA OB OC .证实 假设4ABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD, CD.AD AB , CD BC.又垂心为 H, AH BC , CH AB , .AH / CD, CH /AD,一四边形AHCD为平行四边形,AH dC do OC, 故 OH Oa aH Oa Ob Oc .“欧拉定理的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题例11.设O、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证- 1 -OG 1

16、0H3证实按重心定理 G是 ABC的重心 0G1(OA OB OC) 3按垂心定理 OH OA OB 0C 由此可得 OG 10H.3、与三角形的“四心有关的高考连接题及其应用例1 : (2003年全国高考题)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足OP 0A (胃 jAC), AB AC0,那么动点P的轨迹一定通过 ABC的(A)外心(C)重心(B)内心(D)垂心事实上如图设AEAB ,AFABAC者B是单位向重AC易知四边形AETF是菱形应选答案B例2: (2005年北京市东城区高三模拟题)O为 ABC所在平面内一点,如果 OAOBOB OC OC OA,那么0必为 A

17、BC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心事实上OA OBOB OC (OA OC) OB 0 CA OB 0 OBLCA应选答案D例3:O为三角形ABC所在平面内一点,且满足|同园2厨2 CAOC2,那么点0是三角形ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心事实上由条件可推出 OA OBOB OC OC OA应选答案D例4:设O是平面上一定点,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP OAABAC),0,那么动点P的轨迹一定通过 ABC的()(A)外心(B)事实上ABAB cosB2005AB cosBAC cosC内心(C)重心(D)垂心uuurOHuuu m(OA先解决该

18、题:AC )?BCAC cosC年全国(I )卷第15题(BCBC)应选答案DABC的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,uurOBuuurOC),那么实数作直经BD ,连DA ,uuuDC ,有 OBAH BC, CHAB ,故 CH / DA ,故AHCD是平行四边形,进而uult uuur uuu uuur uuuDC OC OD OC OBuuurOHuuuOAuuirAHuuuOAUULTuuuuuuuuur故OHOAOBOC,所以muuuDCuuur AHuuurOD ,DC BC评注：外心的向量表示可以完善为:假设O为ABC的外心,H为垂心,uuurOHuuu uuuO

19、A OBuuuOC .其逆命题也成立.例6.向量OPi,OP2,OP3 满足条件OP1 +OP2+OP3=0,|OPi |=|OP2|二% |=1 ,求证:证实: P1P2P3是正三角形.(?数学?第一册(下),复习参考题五 B组第6题) - - - -1由OP+OP2=-OP3 ,两边平方得 OP1 OP2=-,同理OP2-OP3 = OP-OP1 =J,. IP1P2| = |P2P3| 二尸3巳|= J3 ,从而P1P2P3 是正三角形.反之,假设点 .是正三角形 P1P2P3的中央,那么显然有 OP1 +OP2 +OP3 =0 且|OPi |=|OP2 |二|OP3 |,即 O 是 A

20、BC所在平面内一点,OP1 + OP2 +OP3 =0 且 |OPi |=| OP2 |=| OP3 |点O是正 P1P2P3的中央.1 .A、R C是平面上不共线的三点,四、练习uuu 1 1 uuu 1 uuiruuirO是三角形ABC勺重心,动点P酒足OP=3(2OA+-OB +2OC),那么点P一定为三角形ABQ( B)A AB边中线的中点B. AB边中线的三等分点(非重心)C重心D.AB边的中点uuu uuu uuuir分析：取AB边的中点M那么OA OB 2OM ,uur 1 1 uuu' i nuu unruuuuuuir uuin由 OP=a(5OA+OB+2OC)可得

21、 30P 3OM 2MC , 3 22.Mur 2MC ,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点 P不过重心.3uuu 2 uuu 2 uun 22.在同一个平面上有 ABC及一点O酒足关系式：OA +BC =OB 的(D )uur + CA2 uuur 2 urn 2=OC + AB ,那么.为 ABCA.外心B.内心C.重心D.垂心3. ABC的三个顶点A.外心B.内心uuu uuuA、B、C及平面内一点P满足：PA PBC.重心D.垂心uurPCr _ _0,贝U P为ABCJ( C )4.O是平面上一定点uuu uuuOP OAA.外心A、B、C是平面上不共线的三个点,动点

22、uuu uuir(AB AC),那么P的轨迹一止通过 ABC(C )B.内心 C.重心 D.垂心P满足:5. ABC P为三角形所在平面上的动点,且满足: 角形的(D )uuu uumuuuiurPA? PC PA? PBuun uuuPB?PC 0 ,那么P点为二A.外心B.内心 C.重心 D.垂心6.AABC P为三角形所在平面上的一点,且点 P满足：a PA b FuB形的(B )c?PC 0 ,那么P点为三角A.外心B.内心C.重心D.垂心7.在三角形A.外心ABO,动点B.内心uuu 2P酒足：CAC.重心uuu 2uuur uuuCB 2AB?CP ,那么 P点一止通过 ABC(B )D.垂心uuu