利用韦达定理求一元二次方程的根

1、利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1.韦达定理：假设一元二次方程ax2+ bx+ c = 0的两根分别为xi、X2，则有X1 + X2 =ba，cXlX2=.a2.推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式 x b，b -4ac2a不妨假设Xi b+、b 仕2aX2 =2a不难得出Xi+ X2ba，X1X2Xi、X2,则方程可以写成以下形式 （双根式）2ax a（x1 + x2） x + ax1x2 0b-Xi+X2a，cX1X2-a（法二）若一儿次方程的两根分别为a（x xi）（ x X2） 0 （ a 0）按照x的次数降幕排列，得对比一元二次方程的一般式 ax2 + bx+

2、 c 0，得b a（xi + X2）， c axiX2，3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x2+ px + q 0的形式假设方程的两根分别为Xi、X2，则有Xi + X2 p，X1X2 q.（二）已知一元二次方程两根分别为 Xi、X2,则方程可以写成以下形式2X （Xi + X2） x+ X1X2 0.4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一兀二次方程 X 2 2x6 0的根. 很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法（法一）门a ax/2,v 3 x/2x = 2 J2x因式分解，得 （X 3；2）（x

3、 + ：2） 0，解得，Xi 3 2， X2 2当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法（法二）a i， b 2 2， c 6，b2 4ac 8 + 24 32，X = b 丄4ac=乙亠=2土 2 2,2a于是有 X1 = 3 2, X2=2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十 分灵活，若每一个系数都是整数，且满足 X2 （X1+ X2）X + X1X2= 0形式的方程可 以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困 难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用.而利用求根公式解 一 二次方程时，虽然是一种万能的方法

4、，但有时会给我们带来无比的计算量.那有 什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一 元二次方程呢接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程X22 2X6 = 0,根据韦达定理有X1+ X2 = 2 2, X1X2 = 6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数 a （假定为正数），使得（满足条件X1 + X2= 2羽） （满足条件X1X2= 6）因此a = 2 2x=2+ a, X2 = 2 a,且（2+ a）（ 2 a） = 6.于是有2 a = 6,贝U a = 8,X1= 2+ 2 2 = 3 2, X2= ：2 2 2= 2.上述解法中a取正取负并不影响计算

5、的最终结果, 为了方便，习惯上可以假 定a为正数.观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有 凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点， 计算快捷且万能通用.当然我们也可以看以下例子.2例1: 解方程X 6X25 = 0,根据韦达定理有X1+ X2 = 6, X1X2 = 25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数 a （假定为正数），使得（满足条件X1 + X2=6）（满足条件X1X2 = 25）因此a= 34X2 =X1 = 3+ a, X2= 3 a, 且 （3+ a）（3 a） = 25.于是有 9 a = 25, 则 a = 34,X1

6、 = 3+ 34, X2= 3 34. 例 2: 解方程 X2+ 24x63= 0, 根据韦达定理有X1+ X2 = 24, X1X2 = 63. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得满足条件X1 + X2= 24）（满足条件X1X2= 63） 因此a= .207X2 =Xi= 12+ a, X2= 12-a, 且（一12+ a）（ 12 a） = 63. 于是有 144 a2= 63,贝U a2= 207, X1= 12+ .207, X2 = 12 , 207.例 3:解方程 X 14x + 48 = 0, 根据韦达定理有X1+ X2 = 14, X1X2 =

7、48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得（满足条件X1 + X2= 14）（满足条件X1X2 = 48） 因此a= 1X2 =则a =X2 =X1 = 7 + a, X2= 7 a, 且（7+ a）（7 a） = 48.22于是有 49 a = 48,贝U a = 1,二X1 = 7 + 1 = 8, X2= 7 1 = 6.2例 4:解方程 x + 18x + 40 = 0,根据韦达定理有Xi+ X2 =- 18, X1X2 = 40. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得Xi= 9 + a， X2= 9 a， （满足条件 Xi +

8、X2= 18）且 （ 一9+ a）（ 9 a） = 40（满足条件 XiX2= 40）于是有 81 a2= 40，贝U a2=41，因此 a= 41Xi= 9 +、.j41， X2= 9 41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为 1时，利用韦达定理解 一元二次方程的流程.实际上当一元二次方程二次项系数不为 1时，我们也可以 离此流程解一元二次方程.如例 5:解方程 2x2+ 9x5 = 0，95（法一）根据韦达定理有 X1 + X2= 2，X1X2= 29（满足条件X1 + X2= 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数 a （假定为正数），使得99X1= 4+ a，X2= 4 a，9954+ a）（ 4 a）=25（满足条件X1X2= ）8125a =_162，911114+ 4 2，（法二）a= 2， b = 9，于是有则 a2121X2 =16，9114c = 5，11因此a =匚5.当然