卡尔曼滤波的MATLAB实现

1、卡尔曼滤波的 MATLA 实现一、实验内容一个系统模型为xi(k 1) xi(k) X2(k)w(k), k 0,1,x2(k 1) x2(k) w(k)同时有下列条件：(1)初始条件已知且有x(0) 0, 0T。(2)w(k)是一个标量零均值白高斯序列，且自相关函数已知为Ew(j)w(k)jk。另外，我们有下列观测模型，即%(k1) xdk1)V1(k 1),k 0,1,y2(k1)X2(k 1)V2(k 1)且有下列条件：(3)v,k 1)和V2(k 1)是独立的零均值白高斯序列，且有Ev1(j)v1(k)jk,Ev2(j)v2(k)2jk, k 0,1, 2,(4)对于所有的 j 和 k

2、，w(k)与观测噪声过程w(k 1)和v2(k 1)是不相关的， 即Ew(j)w(k)0,Ew(j)v2(k) 0, j 0,1,2, k 0, 1, 2,我们希望得到由观测矢量y(k 1)，即y(k 1) y1(k 1), y2(k 1)T估计状态矢量x(k 1) xk 1),X2(k 1)T的卡尔曼滤波器的公式表示形式，并求解以下问 题：(a)求出卡尔曼增益矩阵，并得出最优估计x(k 1)和观测矢量y(1), y(2),，y(k 1)之间的递归关系。(b)通过一个标量框图(不是矢量框图)表示出状态矢量x(k 1)中元素x1(k 1)和x2(k 1)估计值的计算过程。(c)用模拟数据确定状态

3、矢量x(k)的估计值x(k k), k 0,1,.,10,并画出当 k=0, 1,，10 时xi(k k)和X2(k k)的图。(d)通常， 状态矢量的真实值是得不到得。 但为了用作图来说明问题， 表 P8.1 和 P8.2给出来状态矢量元素得值。对于 k = 0, 1,，10,在同一幅图 中画出真实值和在(c)中确定的x1(k)的估计值。对X2(k)重复这样过程。当 k 从 1 变到 10 时，对每一个元素 i 二 1, 2,计算并画出各自的误差图，即xi(k) xi(k k)。(e)当 k 从 1 变到 10 时，通过用卡尔曼滤波器的状态误差协方差矩阵画出2 2E1(k. k)和E2(k

4、k), 而jk k) x,k) X1(k k),2(kk) x2(k) X2(k k)。(f)讨论一下(d)中你计算的误差与(e)中方差之间的关系。表 P8.1P8.1 题 8.18.1 到题 8.38.3 中的观测值时间下标 k观测值y/k)观测值y2(k)13.296919692.1013429423.387365150.4754079737.028306413.1768889849.712125212.49811140511.420183152.91992424615.978705836069342855.42519274828.302127813.053657

5、41930.446838315.980511411 038.758755954.51016361表 P8.2 题 8.1 到题 8.3 中的由模拟得到的实际状态值时间下标k实际状态值x1(k)实际状态值x1(k)00.00000000000.00000000011.654287141.6542871423.503007021.8487198835.9978529242.4755222249.150407403508739103.35833170616.921925944.41318684721.344833524.42290758825.893351444.54851

6、792931.541353305.648001861 036.936056705.394470340、实验原理1、卡尔曼滤波简介 卡尔曼滤波是解决以均方误差最小为准则的最佳线性滤波问题，它根据前一 个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值。 它是用状态方程和递推方法 进行估计的， 而它的解是以估计值 （常常是状态变量的估计值） 的形式给出其信号模型是从状态方程和量测方程得到的。卡尔曼过滤中信号和噪声是用状态方程和测量方程来表示的。 因此设计卡尔 曼滤波器要求已知状态方程和测量方程。 它不需要知道全部过去的数据， 采用递 推的方法计算， 它既可以用于平稳和不平稳的随机过程， 同时也可以应用解

7、决非 时变和时变系统，因而它比维纳过滤有更广泛的应用。2、卡尔曼滤波的递推公式xkAkxk 1Hk(ykCkAkxk 1)如果初始状态X。的统计特性Ex。及varxo已知，并x0Ex0P0E(x0 x0)(x0 x0) varx0将Po代入式（3）可求得pi，将pi代入式（2）可求得Hi，将此Hi代入式（1）可求得在最小均方误差条件下的x1，同时将P1代入式（ 4）又可求得P1； 由P又可求P2，由p2又可求得H2，由H2又可求得x2，同时由H2与p2又可求 得P2；以此类推，这种递推计算方法用计算机计算十分方便。三、MATLA程序%卡尔曼滤波实验程序clc;yi=3.2969i969,3.3

8、87365i5,7.0283064i,9.7i2i252i,ii.420i83i5,i5.97870583PkCk(CkPkCkRk)(2)PkAkPk 1AkQk 1(3)Pk（I HOPk .3、递推过程的实现(4)(1),22.06934285,28.302i278i,30.4468383i,38.75875595; %观测值 yi(k)y2=2.10134294,0.47540797,3.17688898,2.49811140,2.91992424,6.17307616,5.42519274,3.05365741,5.98051141,4.51016361;%观测值 y2(k)p0=1

9、,0;0,1;p=p0;%均方误差阵赋初值Ak=1,1;0,1;%转移矩阵Qk=1,0;0,1;%系统噪声矩阵Ck=1,0;0,1;%量测矩阵Rk=1,0;0,2;%测量噪声矩阵x0=0,0;xk=x0;%状态矩阵赋初值for k=1:10Pk=Ak*p*Ak+Qk;%滤波方程 3Hk=Pk*Ck*inv(Ck*Pk*Ck+Rk); %滤波方程 2 yk=y1(k);y2(k); %观测值xk=Ak*xk+Hk*(yk-Ck*Ak*xk);%滤波方程 1x1(k)=xk(1);x2(k)=xk(2);p=(eye(2)-Hk*Ck)*Pk;pk(:,k)=p(1,1),p(2,2);endfi

10、gure%画图表示状态矢量的估计值subplot(2,1,1)i=1:10;plot(i,x1(i),k)h=legend(x1(k)的估计值) set(h,interpreter,none)subplot(2,1,2) i=1:10;plot(i,x2(i),k)h=legend(x2(k)的估计值) set(h,interpreter,none)X1=0,1.65428714,3.50300702,5.997852924,9.15040740,12.50873910,16.92192594,21.34483352,25.89335144,31.54135330,36.93605670; %

11、由模拟得到的 实际状态值 X1(k)X2=0,1.65428714,1.84871988,2.47552222,3.17187816,3.35833170,4.41318684,4.42290758,4.54851792,5.64800186,5.394470340;%由模拟得到的实际状态值 X2(k)figure%在同一幅图中画出状态矢量的估计值与真实值subplot(2,1,1)i=1:10;plot(i,x1(i),k,i,X1(i+1),b)h=legend(x1(k)的估计值,x1(k)的真实值)set(h,interpreter,none)subplot(2,1,2)i=1:10;

12、%记录估计值%滤波方程 4%记录状态误差协方差矩阵plot(i,x2(i),k,i,X2(i+1),b)h=legend(x2(k)的估计值：x2(k)的真实值)set(h,interpreter,none)for i=1:10%计算 x(k)的误差e1(i)=X1(i+1)-x1(i);e2(i)=X2(i+1)-x2(i);endfigure%画出误差图subplot(2,1,1)i=1:10;plot(i,e1(i),r)h=lege nd(x1(k)的误差)set(h,interpreter,none)subplot(2,1,2)i=1:10;plot(i,e2(i),r)h=lege

13、 nd(x2(k)的误差)set(h,interpreter,none)figure%通过用卡尔曼滤波器的状态误差协方差矩阵画出E1(k/k)A2jP E2(k/k)A2i=1:10;subplot(2,1,1)plot(i,pk(1,i),r)h= lege nd(由状态误差协方差矩阵得到的 E & 1(k/k)A2)set(h,Interpreter,none) subplot(2,1,2) plot(i,pk(2,i),r)h= legend(由状态误差协方差矩阵得到的E & 2(k/k)A2)set(h,Interpreter,none)四、实验结果分析(a)卡尔曼增益矩阵：HkPkCT(C PkCTR)1估计值与观测值之