对数函数的概念

1、对数函数的概念monlogarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828?底数的对数，以e为底的对数称为自然对数(naturallogarithm),并且把logeN记为InN.根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a0,a#l时，aAx=NHX=logaZ由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数loga1=0logaa=1(a为常数)编辑本段对数的定义和运算性质一般地，如果a(a>0,且a?)的b次哥等于N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)(N)=b淇中a叫做对数的底数，N叫做真数

2、。底数则要>0且#1真数>0对数的运算性质当a>0且a?l时，M>0,N>0,那么：( 1) log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);( 2) log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);( 3) log(a)(MAn尸nlog(a)(M)(n6R)(4)log(aAn)(M)=1/nlog(a)(M)(n6R)(5)换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A(b>0且b*J)(6)aA(log(b)n尸nA(log(b)a)ffi明：设a=nAx贝UaA(log(b)n)=(nAx)Alog(b)n=

3、n/K(x?log(b)n)=nAlog(b)(nAx)=nA(log(b)a)对数恒等式：aA|og(a)N=N;log(a)aAb=b(8)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)1.log(a)MA(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)MA(-1/n)=(-1/n)log(a)M2.log(a)MA(m/n)=(m/n)log(a)M,log(a)MA(-m/n)=(-m/n)log(a)M3.log(aAn)MAn=log(a)M,log(aAn)MAm=(m/n)log(a)M4.log(以n次根号下的a为底)(以n次根号下的M为真数)=log(a)M,log(以n次根号下的

4、a为底)(以m次根号下的M为真数)=(n/m)log(a)M5.log(a)bxlog(b)cxlog(c)a=1对数与指数之间的关系当a>0且a#l时，aAx=Nx=(og(a)N编辑本段对数函数右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。(2)对数函数的值域为全部实数集合。(3)函数图像总是通过(1，0)点。4)a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。(5)显然对数函数无界。对数函数的常用简略表达方式：( 1) l

5、og(a)(b)=log(a)(b)( 2) lg(b)=log(10)(b)( 3) ln(b)=log(e)(b)对数函数的运算性质：如果a0,且a不等于1,M>0,N>0,那么： 1) 1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 2) 2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 3) log(a)(MM尸nlog(a)(M)(n属于R) 4) log(aAk)(MAn)=(n/k)log(a)(M)(n属于R)对数与指数之间的关系当a大于0,a不等于1时，a的X次方=N等价于log(a)N=xlog(aAk)(MAn)=(n/

6、k)log(a)(M)(n属于R)换底公式(很重要)log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)=lnN/lna=lgN/lgaIn自然对数以e为底e为无限不循环小数(约为2.718281828454590)lg常用对数以10为底编辑本段常用简略表达方式(1)常用对数：lg(b)=log(10)(b)(2)自然对数:ln(b)=log(e)(b)e=2.718281828454590.通常情况下只取e=2.71828对数函数的定义对数函数的一般形式为y=log(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数)，可表示为x=aAyo因此指数函数里对于

7、a的规定(a>0且a?)，同样适用于对数函数。右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。编辑本段性质定义域求解：对数函数y=logax的定义域是Xx>0,但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需满足x>0且x丰12x-1>0,x>1/2且x?1即其定义域为xx>1/2且x?11域：实数集R定点：函数图像恒过定点(1，0)。单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并

8、且上凸0奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。周期性：不是周期函数零点：x=1注意：负数和0没有对数。两句经典话：底真同对数正底真异对数负指数函数的求导：e 的 定 义：a>0,a!=1-(loga(x)'=lim(e=lim(xoo )(1+1/x)八x=2.718281828 设 x-00)(logogafx)/ x) x)=lim( x-00 )(1/x*x/x*loga(x+x)/x)=lim(x-00)(1/x*loga(1+x/x)八(x/Ax)=1/x-00)(loga(1+x/x)八(x/x)=1/x*loga(lim(Ax0)(1+x/x)八(x/Ax：a(e特殊地，当a=e时，(loga(x)