利用导数求函数的极值习题

1、利用导数求函数的极值例求下列函数的极值：2x1.f(x) x312x； 2.f(x) x2ex； 3.f (x) 2.x 1分析：按照求极值的基本方法，首先从方程f(X)0求出在函数可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.解：1.函数定义域为 R.f (x) 3x212 3(x 2)(x 2).令f (x)0，得x 2.当x 2或x 2时，f (x)0,函数在，2和2,上是增函数；当2 x 2时，f (x)0,函数在(2, 2) 上是减函数.当x2时，函数有极大值f ( 2) 16,当x 2时，函数有极小值f(2)16.令f(x) 0,得x 0或x 2.当x 0或x 2

2、时，f (x)0,函数f(x)在，0和2,上是减函数;当0 x 2时，f (x)0,函数f (x)在(0, 2)上是增函数.当x 0时，函数取得极小值f(0) 0,3函数的定义域为 R.2(1 x2) 2x 2x当x 2时，函数取得极大值f(2)4e2f (x)定义域内所有2函数定义域为 R.f (x) 2xexx2exx(2x)e2(1 x)(1 x)2 2(x 1)f (x)2 2(x 1)令f (X)0,得x 1.当x 1或x 1时，f (x)0,函数f(x)在，1和1,上是减函数；当1 x 1时，f (x)0,函数f(x)在(1, 1 )上是增函数.当x 1时，函数取得极小值f ( 1

3、)3,当x 1时，函数取得极大值f(1)1.说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性解答本题时应注意f (x0) 0只是函数f(x)在X。处有极值的必要条件，如果再加之X。附近导数的符号相反，才能断定函数在X。处 取得极值反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误.复杂函数的极值例求下列函数的极值：1f(x) vx2(x 5)； 2.f(x) x2x 6.分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定.在函数f (x)的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的

4、点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点这两类点就是函数f(x)在定义内可能取到极值的全部“可疑点” 令f (x)0,解得x 2，但x 0也可能是极值点.当x 0或x 2时，f (x)函数f(x)在，0和2,上是增函数;当0 x 2时，f (x)解：1 f (x)函数f (x)在(0, 2)上是减函数.当x 2时，函数取得极小值f(2)334.2.f(x)xx6,(x2或 X3),x2x 6,( 2 x 3),2x 1,(x2 或 x 3),f (x) 2x 1,( 2 x 3),不存在,(x2 或 x 3).令f(:x) 0,得x12 .当x12或一x23时，f (x)0,函数f (x)在

5、,2和丄,3上是减函数;2当x3或2 x-时，f (x)0,2函数f(x)在3,和2丄上是增函数.2当x 2和x 3时，函数f (x)有极小值 0,七125当x时，函数有极大值-.24说明：在确定极值时，只讨论满足f (x0) 0的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的.在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值.本题1 中x 0处，2 中x2及x 3处函数都不可导，但f(X)在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数f(x)在这些点处仍取得极值从定义分析，极值与可导无关.根据函数的极值确定参数的值例 已知f (x) ax3bx2cx(a 0)在x 1时取得极值，且f (1)1.1

6、 .试求常数 a、b、c 的值；2试判断x1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.分析：考察函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极当x 0时，函数取得极大值f(0) 0,值点与导数的关系，即极值点必为f (x) 0的根建立起由极值点x1所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数 a、b、c 的值.解：1 解法一:f (x) 3ax22bxx 1是函数f（x）的极值点,x 1是方程f (x)0,即3ax22bx c 0的两根,由根与系数的关系，得2b3a0,（c1,(2)3a又f(1)1,a bc1,(3)由（1 ）、 (2)、 （3） 解得aAb0,c2解法二：由f

7、(1) f0得3a 2bc0,(1)3a 2bc0(2)又f(1)1,- a bc1,(3)解（1 ）、 (2)、 (3)得a1 ,b0,c3222.f(x) 2x332x，- f (x)1)(x 1).函数f (x)在当x1时,1时，f (x)0,1和1,上是增函数,函数取得极大值f（1) 1,1时,在（一f (x) 0.1, 1）上是减函数.当x 1时，函数取得极小值f （1）说明：解题的成功要靠正确思路的选择. 进行逆向联想，合理地实现了问题的转化， 了已知条件确定了解题的大方向可见出路在于“思想认识”本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用在求导

8、之后，不会应用f （ 1） 0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍.高三第三章导数-函数的极值练习题、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）x二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)7._ 函数 f(x)=x3 3x2+7 的极大值为.8. 曲线 y=3x5 5x3共有_ 个极值.9._ 函数 y= x3+48x 3 的极大值为;极小值为11. 若函数 y=x3+ ax2+ bx+27 在 x= 1 时有极大值，在 x=3 时有极小值，则a=_, b=_.三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分)12. 已知函数 f(x)=

9、x3+ax2+bx+c,当 x= 1 时，取得极大值 7 ;当 x=3 时，取得极小值.求这 个极小值及 a、b、c 的值.1.下列说法正确的是A. 当 f (xo)=0 时，贝 UB.当 f (xo)=0 时，则f(xo)为 f(x)的极大值f(xo)为 f(x)的极小值f(xo)为 f(x)的极值D.当 f(xo)为函数 f(x)的极值且 f (xo)存在时，则有 f (xo)=02.下列四个函数，在 x=0 处取得极值的函数是 ynx3 y=x2+1 y=|x|A.3函数B.6xy= 2的极大值为1 x2B.4y=x3 3x 的极大值为B.1A.34.函数A.05.y=ln2x+2lnx

10、+2 的极小值为A. e1B.06.y=2x3 3x2+a 的极大值为 y=2xC.D.C.2m,极小值为C.2D.5n,贝 U m+n为C. 16，那么C.5D.1a 等于D.110.函数 f(x)=x ?x3的极大值是2，极小值是a13.函数 f(x)=x+ +b 有极小值 2,求 a、b 应满足的条件114.设 y=f(x)为三次函数，且图象关于原点对称，当x=时，f(x)的极小值为一 1,求函数的解析式8 21.D2.B3.A4.A5.D6.A函数的极值7. 78两9.125 131 10. 01-11. 3912.解：f2(x)=3x2+2ax+b.据题意，1, 3 是方程 3x2+2ax+b=0 的两个根，由韦达定理得2a/f( 1)=7,Ac=2，极小值 f(3)=33 3X32 9X3+2= 25 极小值为一 25, a= 3,b= 9,c=2.13.解：f (x)=由题意可知 f (x)=0 有实根，即 x2 a=0 有实根 a0 , x=, a或 x=、a, f (x)=(x