空间向量的应用----求空间角与距离

1、精品文档空间向量的应用-求空间角与距离一、考点梳理1. 自新教材实施以来， 近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后 的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。2. 利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：1）求直线和直线所成的角- | AB CD |右直线 ABCD 所成的角是:，cos=| COS：:AB, CD| :I AB | CD |2）.利用法向量求线面角II4叫设二为直线I与平面:所成的角，为

2、直线I的方向向量v与平面的法向量n之间的sin v - si n( ) _ _cos = -ft=|V n2Md n| |v|_J n|3）.利用法向量求二面角iIII4444设ni、n2分别为平面:- :的法向量，二面角-I -的大小为二，向量ni、n2的夹角为，则有-;：-二或 v - 。1欢迎下载JT时2时，v - 0,I二用或 lU。计算公式为:夹角，则有 =-二或 =寸。计算公式为:4).利用法向量求点面距离面 ot 的垂线 PQ 记/ OPA=，则点 P 到平面的距离d =| PO |鬥PA |cos二= |pA|HPAI-斗J|n | PA|二I n督|n|5).法向量在距离方面

3、除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。 其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二I4异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点AB, AB 在n上的射影长即为所求。n为异面直线 AD BC 公共垂直的方向向量，可由2欢迎下载精品文档COS)- cos如图点 P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点 P 作平n AD = 0及n BC = 0求得，COST精品文档其计算公式为:A1AB1。其本质与求点面距离一致。|n|向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，

4、往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。二、范例分析例 1 已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6,高为、,3的等腰梯形，将它沿对称轴OOj折成直二面角，如图所示，（1）证明：AC则各点坐标较易求得。用坐标法求解，可OAC的法向量，再用公式计算便可。分析： 题干给出一个直二面角和一条对称轴 有着明显的建系条件； 另外给出梯形的边长、 高，避开二面角的寻找、理推等困挠，只需先求面与面第（1）问的作用在于证明01B_面OAC，也就找到了一个法向量；而面向量可用由n AC=0 及n O1C =0求得，只是解出 x、y、z 关系后，对 z 的取值要慎重, 可先观察二面角的大

5、小是锐角、直角，还是钝角。解：（1）证明：由题设知00!_ OA、OO1_ OB， 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即0A_0B。故可以 0 为原点，0A、0B、001所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标第，如图，则相关各点的坐标是：A（3,0,0），B（0,3,0） f，C（0,1,、3），。1（0,0八3），从而，AC百,1八3）B01=（0,-3, .3），AC B013 心竺0，即AC _ B01。（2）解：因为OC B01二3 、3.3=0，所以0C一B01。由（1）AC B01，所以BO,平面OAC，B01是平面OAC的一个法向量。OiAC的法f /3欢迎下

6、载设n =(x,y z)是平面O1AC的一个法向量，取z = .3，得n=(i,o,、。设二面角o -AC-Oj的大小为，由n、MBQI,所以cos r - cos ： n, BO-iT-=InUBOi |由】竺丄-3xy0j n Or C = 0 i y = 0BOj的方向可知v -: n,BO-I，arccos 4感悟：(1)用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找一一证一一求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎淡化了学生的空间想象 能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力 的培养，体现了教育改革的精神。(2)利用坐标

7、法求解和距离，关键是有明显或较为明显的建系条件，从而建立适当的 空间直角坐标系一一尽可能多地使空间的点在坐标轴上或坐标平面内，正确表达已知点的 坐标。在立体几何数量关系的解决中，法向量的运用可以使问题简单化，其难点在于掌握和 应用法向量解决空间解和距离求法的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化和思想方法。例 2 .如图，平面ABCDL平面ABEF ABCD是正方形，ABEF 是矩形，1AF AD = a,且2G 是 EF 的中点，(I)求证平面 AGCL 平面 BGC(H)求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值(川)求二面角 B AC G 的大小.解析：如图，以 A 为原点建立直角坐标系,则

8、 A(0,0,0) , B(0,2a,0) , C(0,2a,2a),G(a,a,0)F(a,0,0)设平面 AGC 勺法向量为ni =(xi,yi1,=axrayr=0 x,=1= = =02 ay,2a =0y, n,=(1,-1,1)I *_s 忻 UBGU = 2a : I BG| I q |34欢迎下载精品文档手，即二面角O - AC - Oj的大小是(I)证明：略.(II )由题意可得AG =(a, a,0)AC =(0,2a,2a)BG =(a, -a,0)BC =(0,0,2 a)而AC =2,. AO2COAC2,. AOC =90,即AO_OC.VBD DOC =O,AO_

9、平面BCD(II )解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0), D(-1,0,0),C(0,。),A0,1*?,于,0),BA 十畑总珂-1,斯,).cosBA,CD 冲冲出, BA CD.异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为arccos24(III )解：设平面 ACD 的法向量为n =(x, y,z),则n.AD =(x, y, z).(1,0,1) = 0,n.AC =(x, y,z).(0,、3, T) =0,令y =1,得n =(- j3,1,、3)是平面 ACD 的一个法向量。精品文档(III )因ni=(Xi,yi,1)是平面 AGC 勺法向量,又 AF

10、 丄平面 ABCD 平面 ABC 勺法向量AF= (a,0,0)，得arc面角 B AC-G 的大小为3感悟： 因为二面角的大小有时为钝角， 有时为锐角、 直角， 所以在计算之前应先 依题意判断一下所求二面解的大小，然后根据计算取“相等角”或“补角”。例 3 如图，四面体 ABCDK O E 分别 BDBC 的中点，CA=CE=CD=BD=2(I)求证：AQL 平面 BCD(H)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；(川)求点 E 到平面的距离.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。(I )证明：连结 0C

11、：B0二DO, AB二AD, AO _ BD.B0二DO, BC二CD, CO _ BD.在二AOC中，由已知可得AO =1,CO -、3.Cy例 4、如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA OB, OC两两垂直，且OA = 1,OB =OC =2,E是OC的中点.(1)求O点到面ABC的距离；(2)(3)解析：(1)以O为原点，OB、OC、OA分别为x、则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).精品文档又冷，#,0)点E到平面ACD 勺距离求异面直线BE与AC所成的角;求二面角E-AB-C的大小._ 3 _ . 21则由m _ AB知:n1AB =2xz =0

12、;由n, _ AC知:n1AC = 2y -z二0取ni=(1,1,2)，则点0到面ABC的距离为虫EB =(2,0,0) -(0,1,0) =(2, -1,0), AC =(0,2, -1).cos： =22,所以异面直线V55斗 T设平面EAB的法向量为n =(x,y,z),则由n _ ABEB知:冶“0.取(1,2,2).由知平面ABC的法向量为 厲=(1,1,2).7需结合图形可知，二面角E-AB-C的大小为：arccos.18例 5、在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB AC BC 边上的点，满足 AE:EB= CF:FA=CP:PB= 1:2 (如图 1)。将 AAEF

13、 沿 EF 折起到厶EF 的位置，使二面角 A EF- B 成直二 面角，连结AB AP (如图 2)6欢迎下载设平面ABC的法向量为R|=(x, y,z).2BE与AC所成的角arccos.5d -_2_ _.J.1 143贝V cosn,ni1 2 4 _ 77.6-963；618精品文档(I)求证： AE 丄平面 BEP(H)求直线 AiE 与平面 ABP 所成角的大小；(川)求二面角 B AP F 的大小(用反三角函数表示)解法：(1)作AH_ 面BCD于H,连BH、CH、DH, 则四边形BHCD是正方形，且AH = 1,以D为原点，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图则B(

14、1,0,0),C(0,1,0), A(1,1,1).BCB=(二1,0), DA =(1,1,1), .BC DA=0,则BC _ AD.设平面ABC的法向量为m = (x, y, z),则由m _ BC知：nBC - -x y = 0；同理由厲_ CA知：n1CA = x z二0.可取m = (1,1, -1).同理,可求得平面ACD的一个法向量为n,= (1,0, 1).由图可以看出，三面角B-AC-D的大小应等于10,即所求二面角的大小是3 23arccos.3设E(x, y, z)是线段AC上一点,则x=z0,y =1,平面BCD的一个法向量为n =(0,0,1), DE =(x,1,

15、x),要使ED与面BCD成30角,由图可知DE与n的夹角为60,所以cos=严1| DEI1nv1 2x2则2x = 1 2x2,则CE贝ycos=7欢迎下载精品文档故线段AC上存在E点，且CE=1,时ED与面BCD成30角【解后反思】在立体几何学习中，我们要多培养空间想象能力，对于图形的翻折问题， 关健是利用翻折前后的不变量 ，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一是高考数学必考的知识点之一 作，证，解，是我们求二面角的三步骤作：作出所要求的二面角 证:证明这是我们所求二面角，并将这个二面角进行平面化 ，置于一个三角形中，最好是直角 三角形，利用我们解三角形的知识求二面角的平面角向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度，不过在向量运用过程中，要