2018小学五年级下册数学奥数知识点讲解第4课最大公约数和最小公陪数试题附答案

1、小学五年级下册数学奥数知识点讲解第4 4课最大公约数和最小公陪数试题附答案弟四讲戢大公罚数和奉小会惜数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题一一有关两个自然数,它们的最大公约数.最小公倍数之间的相互关系的问题“定理 1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质,即如果（a,b）=di 那么（a+d,b+d）=1。证明：设 a+d 二 bd=b.,那么 a=a；d,b=bd&假设（a,b）#1,可设（aL,bL）=m（ID1）,于是有、=皿瓦=b 典 Cajib2 是整数）所以小 ad=a；iod,b 二 bd=b：m&那么 md 是 a、b 的公约数口又”

2、nidd。这就与 d 是次 b 的最大公约数相矛盾.因此，（一，瓦）41 的假设是不正确的.所以只能是（d，b,）-1,也就是（叁+d,b+d）=L例 1 甲数是 36,甲,乙两数的最大公约数是 4,最小公倍数是四 8,求乙数.例 2 已知两数的最大公约数是 2L 最小公倍数是 126,求这两个数的和是多少？例 3 已知两个自然数的和是 50,它们的最大公约数是 5,求这两个自然数.例 4 4 已知两个自然数的积为 240,最小公倍数为 60,求这两个数。例 5 已知两个自然数的和为 54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为 114,求这两个自然数。例6 6己知两个自然数的差为4,它们的最大公

3、约数与最小公倍数的积为252,求这两个自然数。答案例 I 甲数是 36,甲、乙两数的最大公约数是 4,最小公倍数是 288,求乙数.解法 1；由甲数 X 乙数二甲,乙两数的最大公约数乂两数的最小公倍数，可得36X 乙数=4*288,乙数=4=4 乂 288-36*解出乙数二 32。答:乙数是 32.解法 2；因为甲、乙两数的最大公约数为 4,则甲数二 4*9,设乙数二 4 乂瓦,且（9）=1.因为甲.乙两数的最小公倍数是 288,则 288=4X9Xb.sb.=28836,解出 bj=8.所以，乙数=4X 踹 32。答：乙数是 32。例 2 已知两数的最大公约数是 21,最小分倍数是 126,

4、求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a*bsabe因为这两个数的最大公约数是 21,故设 a=21a：,b=21b1,且（a：,b：）=因为这两个数的最小公倍数是 126,所以 126=21Xa.Xb.,aj=1,jaj=2b1=6,(瓦=3.Ja=21Xl=21,Ja=21X2=42|b=21X6=126,(b=21X3=63。因此,这两个数的和为 21+126=147,或 42+63=105。答：这两个数的和为 147 或 105。例 3 已知两个自然数的和是 50,它们的最大公约数是 5,求这两个自然数。解:、设这两个自然数分别为 a 与

5、 b,ab.因为这两个自然数的最大公约数是 5,故设 a=5a1，b=5bx,且（ap瓦）=1,.瓦。因为 a+b=50,所以有 5a,+5b 产 50,XX+b：二 10。满足（.，耳）=1,%b：的解有：卜 1=1,卜=3（bl=9,（bl=7=5X1=5fa=5X3=15所以卜一 5xq-45 或（卜-5X7-35I I0 0y y4 4JbJbJA A/ /3333答：这两个数为 5 与 45 或 15 与 35。1。解出例 4 4 己知两个自然数的积为 240,最小公倍数为 60,求这两个数。解：设这两个数为 a 与 b,ab,且设(a,b)=d,a=d.,b=db.,其中(a.,b

6、j=lo因为两个自然数的积二两数的最大公约数 X 两数的最小公倍数，.听以 240 二 dX60,解出 d=4,所以 a=4a,b=4bl.因为 a 与 b 的最小公倍数为 60,所以 4XaIXb1=60,于是有火乂瓦=15。a=4Xl=4ja=4X3=12b=4X15=601b=4X5=20o答：这两个数为 4 与 60 或 12 与 20。例 5 5 己知两个自然数的和为 54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为 114,求这两个自然数。解 ： 设 这 两 个 自 然 数 分 别 为 a 与 b,ab,a=da.,b=db.,(a,b.)=1。因为 a-b=4,所以 da：-db：二 4

7、,于是有 dX(a.-b,)二 4,因此 d 为 4 的约数。因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为 252,所以 dXdaa=252,于是有不乂&：瓦二(2X3)2X7,因此 d 为 2X3 的约数。故 d 为 4 与 2X3 的公约数。由于(4,2X3)=2,2 的约数有 1 和 2 两个,所以 d 可能取 1、2 这两个值。如果於 1,由 dX(a-b.)=4,有 ajb=4；又由 dXab 二 252,有 ab=252。252 表示成两个互质数的乘积有 4 种形式：252 二 1X252-4X63-7X36=9K28,但是 252-1=25134,63-4=59 户 4

8、,36-7 二 29 卉 4,28-9=194,所以 d 声 1。如果 d=2,由 dX=4,有.-b：二 2；又由于 Xa：b：=252,有.瓦二 63。63 表示为两个互质数的乘积有两种形式：63=1X63=7X9,但 63-1=62 卢 2,而9-7=2,且(9,7)=1,所以*2,并且.=9,儿=7。因此 a=2X9=18,b=2X7=14o答：这两个数为 18 和 14。在例 2例 5 的解答中之所以可以在假设中排除 a 二 b 这种情形(在各例中都只假设了 ab),分别是由于：例 2 和例 5,若&=瓦则(a,b)=a,b=a,与条件(a,b)a,b矛盾；例 3,若 a=b

9、,则 a=b=(a,b)=5,因此 a+b=10/50,与条件矛盾；例4,aXb=240 不是平方数。从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中，经常用到的基本关系是：若两数为 a、b,那么 b=b:d,其中*(a,b),(a.,b.)=1,因此a,b=da,b.,有时为了确定起见，可设 ab.对于很多情形；可以排除 a 二 b 的情形(如上述斫示)，而只假设&卜习题四1 .已知某数与 24 的最大公约数为 4,最小公倍数为 168,求此数口2 .已知两个自然数的最大公约数为 4,最小公倍数为 120,求这两个数。3 .已知两个自然数的和为 165,它

10、们的最大公约数为 15,求这两个数.生己知两个自然数的差为 4L 它们的最小公倍数为 60,求这两个数“5.已知两个自然数的差为 30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数6,已知两个自然数的平方和为 900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为 4 羽，求这两个自然数.五年级奥数下册：第四讲最大公约数和最小公倍数习题四解答L 此数为 28。2 .这两个数为 4 与 120,或 8 与 60,或 12 与 40,或 20 与 2L3.所求的两个数为 15 与 150,或 30 与 135,或 45 与 120,或 60 与 105,或 75与 914 .所求的两个数为 60 与 12.5 .所求的两个数为乳与 1L 或 65 与先6.解工设所求的两个自然数为 a.b,且 a=d.,b=dbrb;)=1由所给的条件得到d2X+=900,矛斯