2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案

1、2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查：一、选择题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）CBCCABDD二、填空题（9）（10）（11）（12）（13）（14）2三、解答题（15）（16）的极小值为，极大值为1；凸区间为，凹区间为，拐点为（17）（18）（19）略（20）（I）；（II） （21）（22）（I） ；（II） ，（23）（I） 的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为， （II） 一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知当时，与是等价无穷小，则 （

2、）（A）k=1, c =4 （B）k=1,c =4 （C）k=3,c =4 （D）k=3,c =4【答案】（C） 【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】【详解】解析：方法一：当时，故选择（C）.方法二：当时，故，选（C）.（2）设函数在x=0处可导，且=0，则= （ ）（A） 2 （B） （C） （D） 0【答案】（B）【考点】导数的概念【难易度】【详解】解析：故应选（B）（3） 函数的驻点个数为 （ ） （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D）3【答案】（C）【考点】复合函数求导【难易度】【详解】解析：方法一：令，易知，且有两个根，图象如图，即有两个驻点，所以有两个驻点，因

3、为函数单调，故有两个驻点，选C.方法二：令有两个不同的根.所以有两个驻点.选（C）.（4） 微分方程 的特解形式为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（C）【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】解析：对应齐次微分放的特征方程为，解得，于是，分别有特解，因此原非齐次方程有特解.选（C）.（5） 设函数均有二阶连续导数，满足且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（A）【考点】多元函数的极值【难易度】【详解】解析：因为函数在点处取得极小值，且均有二阶连续导数所以，满足.又因为，所以必须有且，又因为，所以，选（A）.（6

4、） 设，则的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（B）【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】/4解析：如图所示，因为时，因此，故选（B）.（7） 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A= （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（D）【考点】矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知，所以，故选（D）（8） 设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组Ax=0的一个基础解系，则的基础解系可为 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（D）【考点】【难易度】矩阵的秩；齐次线性方程组的

5、基础解系【详解】解析：因为是方程组Ax=0的一个基础解系所以即线性相关，故排除（A）（C），又因为，即，所以排除（B），从而应选（D）.二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） . 【答案】【考点】重要极限公式；洛必达法则【难易度】【详解】解析：原式=（10） 微分方程满足条件的解为= .【答案】【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】解析：由于故,所以（11） 曲线的弧长 .【答案】 【考点】定积分的应用【难易度】【详解】解析： （12） 设函数，则 .【答案】【考点】反常积分；定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】【详解】解析：原式 （13）

6、设平面区域D由直线圆及y轴所围成，则二重积分 .【答案】【考点】二重积分的计算【难易度】【详解】解析：用极坐标变换.，于是 原式 （14） 二次型，则的正惯性指数为 .【答案】2【考点】矩阵的特征值的概念；用配方法化二次型为标准形【难易度】【详解】解析：方法一：的正惯性指数为所对应矩阵正特征值的个数.由于二次型对应矩阵，故.因此的正惯性指数为2.方法二：用配方法. 那么经坐标变换，亦知.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分10分 ）已知函数，设试求的取值范围.【考点】洛必达法则、积分上限的函数及其导数【

7、难易度】【详解】解析：当时，；不符合题意.当时，得即；得即于是当时，.（16） （本题满分11分）设函数由参数方程确定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点.【考点】函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点【难易度】【详解】解析：，令得当时，.为极小值.当时，.为极大值.令得,.当时，；当时，.所以曲线的凸区间是，凹区间是，拐点是.（17） （本题满分9分）设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求【考点】函数的极值；多元复合函数求导法；二阶偏导数【难易度】【详解】解析：,因为函数可导且在处取得极值,所以，所以（18） （本题满分10分）设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为

8、曲线在点处切线的倾角，若求的表达式.【考点】变量可分离的微分方程；可降阶的高阶微分方程【难易度】【详解】解析：由题设知：，及解：因为，两边对求导得，代入，得.令，得分离变量得积分得由得，代入得由，再积分得（19） （本题满分10分）（I）证明：对任意的正整数n，都有 成立.（II）设，证明数列收敛. 【考点】函数单调性的判别、微分中值定理【难易度】【详解】解析：（I）方法一：设，则，在上单调递减所以，即设则，在上单调递减所以，即综上：对任意的正整数n，都有 成立.方法二：设,显然在上满足拉格朗日中值定理时，,即，结论得证.（II）设.，即数列单调递减.得到数列有下界.利用单调递减数列且有下界得

9、到收敛.（20） （本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成（I） 求容器的容积；（II） 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：，重力加速度为，水的密度为）【考点】定积分的应用【难易度】【详解】 解析：（I）（II），（21） （本题满分11分）已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中，计算二重积分.【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】【详解】解析：.（22） （本题满分11分）设向量组，不能由向量组 线性表示.（I）求a的值；（II）将用线性表示.【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：（I）因为，所以线性无关，又因为不能由线性表示，所以，所以，所以（II）=故，（23） （本题满分11分）为3阶实对称矩阵，的秩为2，且（I） 求的所有特征值与特征向量；（II） 求矩阵【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量【难易度】【详解】解析：（I）因为所以，所以是的特征值，是对应的特征向量；是的特征值，是对应的特征向