数学高考总复习：不等式

1、数学高考总复习：不等式编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅知识网络目标认知考试大纲要求：1了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。3通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的了解。4会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。5会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数

2、在线性约束条件下的最优解。难点：不等式性质的应用，求目标函数的最优解。知识要点梳理知识点一：不等式的相关概念1、不等式：用不等号连接两个数学解析式所成的式子叫不等式。其中，两个解析式可以是代数式，指 数式，对数式，三角式等。不等号可以是, 等，而“”和“”往往分别理解成“”或 “=”和“”或“=”来展开讨论。2、在两个不等式中： 若每个的左边都大于右边，或每个的左边都小于右边，则称它们为同向不等式。 若一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，则称它们为异向不等式。3、按不等式在字母允许取值范围内是否成立，可以把不等式分为： 绝对不等式：在字母允许取值范围内恒成立；我们本章中将讨

3、论这类不等式的证明问题。 条件不等式：在字母允许取值范围内有些值使不等式成立，而另外一些值使不等式不成立；我们本 章中将讨论这类不等式的求解问题。即寻找那些使不等式成立的字母的取值。 矛盾不等式：在字母取值范围内恒不成立。知识点二：不等式的基本性质不等式的基本性质（1） （2）（3） （4）不等式的运算性质（）加法法则： （）减法法则：（）乘法法则： （）除法法则：（）乘方法则：（）开方法则：3不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。知识点三：一元二次不等

4、式的解法1一元二次不等式或的解集：一元二次不等式ax2+bx+c0 (或0)的解可以了解二次函数y=ax2+bx+c的图象(a0)，图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c0的解.而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标.求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R注意：若，可以转化为的情形解决.

5、2一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：（2）计算判别式，分析不等式的解的情况： 时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）； 时，求根； 时，方程无解 （3）写出解集.知识点四：简单的线形规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直

6、线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c0(或0)表示直线的哪一侧.3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by(a，bR)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目

7、标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解3解线性规划问题总体步骤：设变量找约束条件，找目标函数作图，找出可行域求出最优解规律方法指导1、不等式的性质是进行不等式的变换、证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性 质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。2、注意对一元二次不等式的认知： ax2+bx+c0的解集为（x1, x2）a0且x1, x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。 ax2+bx+c0的解集为（-, x1）（x2,+）a0且x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。3、在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件： 一定要能够将

8、目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。 一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在； 所求的目标函数是有约束（限制）条件的； 必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性 函数。经典例题精析类型一：不等式的性质1如果 （ ）A B. C. D. 解析：由题可知：又不一定成立，因为当b=0时候，取等号，故选C.总结升华：判别不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式最常用赋值法.举一反三：【变式1】已知，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B；特殊值法：令，【变式2】对于实数，判断以下命题的真假.

9、（1）若, 则； （2）若，则；（3）若, 则； （4）若, 则;（5）若，则 ； （6）若且, 则（7）若，则； （8）若，则【答案】（）因为的符号不定，所以无法判定和的大小，故原命题为假命题.（）因为, 所以, 从而，故原命题为真命题.（）因为，所以 ；又，所以 综合得，故原命题为真命题.（）两个负实数，绝对值大的反而小故原命题为真命题（）因为当时，不成立，故原命题为假命题.（）因为，所以又因，所以故原命题为真命题（）因为的函数在上单调递增，故原命题为真命题（）因为，所以，故原命题为真命题【变式3】设，求下列各式子的范围：（1）； （2）； （3）.【答案】（1），, .（2）, . 又,

10、 .（3）, . 又, .类型二：比较大小2已知：, 比较和的大小.思路点拨：作差比较大小.解析： ， .总结升华：作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.举一反三：【变式1】比较大小.（1）；（2）【答案】（1）作差比较：， （2）作差比较： ， 即 【变式2】已知,试比较和的大小.【答案】， 又即 当时，； 当时，.【变式3】且，比较与的大小.【答案】作差： (1) 当， 即时，此时. (2) 当，即 (3) 当，, 此时， 其中时取等号. (4) 当 即时， 此时类型三：线性规划3画出3x+y-

11、30所表示的平面区域.解析：举一反三：【变式1】下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（） 【答案】C【变式2】表示的平面区域为（） A B CD【答案】B；原不等式可转化为或【变式3】求不等式组表示平面区域的面积.【答案】不等式所表示的平面区域如图 联立方程组得 所以4求的最大值和最小值，使式中的,满足约束条件.思路点拨：关键是找准可行域.确定目标函数最大值和最小值时，注意位于直线右上方可行域内的解使，而位于直线左下方可行域内的解使，所以直线右上方和距离最大的点的坐标使值最大；左下方和直线距离最大的点的坐标，使值最小.解析：在平面直角坐标系内作出可行域（如图所示）作直线，把向右上方平移

12、至位置，即直线经过可行域上点A时，距原点距离最大，且，这时目标函数取得最大值.由方程组 ，解得，.把直线向左下方平移至位置，即直线l经过可行域上点B时，由于，这时目标函数取得最小值.由方程组 ，解得，.总结升华：本例的解法是解线性规划问题的标准格式.举一反三：【变式1】已知，求；(1) 的最大值；(2)的范围.【答案】作出可行域如图,并求出顶点坐标. (1) 将代入得最大值21; (2) 表示可行域内一点到定点的斜率的2倍, 因为, 的范围是.【变式2】给出平面区域如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷个，则的值为_. 【答案】由题意结合图形可知,线性目标函数与可行域的一边界平行,可得

13、.【变式3】如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ ）A B C D【答案】不等式组表示的平面区域如图所示， 要求的最小值只需求出圆心到平面区域的最小值再减去半径1即可。 由图象可以知道圆心到平面区域的最小值就是圆心到直线的 距离（垂足为A） 所以，故选类型四：解不等式5解不等式（1）1|2x+1|3 ； （2）2x23x20解析：（1）1|2x+1|3，12x+13 或-32x+1-1 0x1 或-2x-1 故原不等式的解集为（2）由得 故原不等式的解集为.总结升华：1解不等式是通过变形转化为简单不等式从而得到解集，每一步变形既充分又必要.2一些含绝对值符号的不等式，含有参数的不等

14、式必须进行讨论.举一反三：【变式1】解不等式：（1）|2x+1|x4 （2）2x23x20【答案】（1）当2x+10时，原式化为2x+1x4，解得x1 当2x+10时，原式化为-2x-1x4，解得x-5 原不等式的解集为（2）由得：或， 解得或 故原不等式的解集为.【变式2】解不等式 【答案】 ， 故原不等式的解集为.6已知：关于的不等式的解集为， 求解关于的不等式：.思路点拨：由二次不等式的解集为可知1，2是方程的二根，故由韦达定理可求出a,b的值，从而解得.解析：由韦达定理有：得, 代入不等式得即，解得或.的解集为：.举一反三：【变式1】已知不等式0的解集为，求m、n的值.【答案】不等式0

15、的解集为， 是方程的实数根， ，【变式2】设关于x的不等式ax+b 0的解集为（1，），求关于x 的不等式的解集.【答案】 或 故原不等式的解集为.7解关于的不等式：思路点拨：最高项的系数为字母，因此求解中，必须对实数的取值分类讨论.解析：当时，原不等式为，原不等式的解集为.当时，等价于., 原不等式的解集为.当时，等价于，需要考虑与1的大小.当时，原不等式变为,这是不可能的， 解集为空集.当时, , 原不等式的解集为.当时，, 原不等式的解集为.综上可知：当时，；当时，；当时, ；当时，；当时，.总结升华：这道题非常简明解答起来，只要概念清楚，方法运用恰当，步骤也不多，书写量也不算大.举一反

16、三：【变式1】解关于x的不等式： （a0)【答案】 【变式2】对于任意实数，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】当时，不等式为，即，不符合题意， 当时，原不等式为二次不等式. 要使 对任意均成立， 则y=(m-1)x2-mx+m-1的图象 如图所示： 因而 即 解得 m的取值范围为：.【变式3】解关于x的不等式：，.法一：当时，原不等式等价于， 解得即, ；当时，原不等式等价于， 解得,即, .综上，当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为.法二：根据对数定义，必须,因为，所以：当时，由于是增函数，又，所以原不等式等价于, 即,.当时，由于是减函数，又, 所以原不等式等价于, 综

17、上，当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为法三：原不等式等价于,当时，不等式等价于,即, ,，, , ；当时，不等式等价于,由和，得即或.若，则即,得, 与条件矛盾；若，则即,得；因为,综上，当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为高考题萃1（2008广东）设，若，则下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D.答案：D解析：利用赋值法:令排除A,B,C,选D.2.（2008浙江）已知，b都是实数，那么“”是“b”的( )A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：利用赋值法:令，满足，但b，“”是“b”的非充分条件；令，满足b

18、，但，“”是“b”的不必要条件；“”是“b”的既不充分也而不必要条件.3.（2008四川）不等式的解集为( )ABCD答案：A解析： ，即，解得，.法二：利用赋值法:取，不满足，排除C, D；取，满足，排除B.4（2008山东）不等式的解集是（ ）A B C D答案：D解析：由题意得：且，解得且.法二：利用赋值法:显然，排除B；取，满足，排除C；取，不满足，排除A.5.（2008湖北）在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的（ ） A B C D答案：C6.（2008湖南）已知变量x、y满足条件则的最大值是( )A.2 B.5 C.6 D.8 答案：C解析：如图得可行域

19、为一个三角形，其三个顶点分别为代入验证知在点时,最大值是7（2008北京）若实数满足则的最小值是（ ）A0 B1 C D9答案：B8.（2008福建）若实数x、y满足则的取值范围是( )A.(0,1) B. C.(1,+) D.答案：C9.（2008陕西）已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）A7 B5 C4 D3答案：B10.（2008山东）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数的图象过区域M的a的取值范围是（ ）A1,3 B2, C2,9 D,9答案：C11.（2008上海）不等式的解集是_.答案：12（2008江西）不等式的解集为_答案：解析：依题意13（2008山

20、东）若不等式3x-b4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为_.答案：（5，7）解析：由3x-b4得，又满足条件的的整数有且仅有1，2，3，所以且，故.14.（2008全国I）若满足约束条件则的最大值为_答案：9解析：如图，画出可行域,作出直线，将平移至过点处时，函数有最大值9.15.（2008浙江）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于_.答案：116.（2008安徽）若为不等式组表示的平面区域，则当从2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为_.答案：学习成果测评基础达标：1设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（）A B C D2若,

21、，则的值为()A大于0 B小于0 C等于0 D符号不确定3当时，不等式的解集为（）A B C D4若，则的元素个数为（）A0 B1 C2 D35不等式的解集是（ ）A B C D6在上定义运算：若不等式对任意实数x成立，则（）A B C D7的解集是_。8不等式的解集是_9设函数，则_；若，则的取值范围是_10若有负值，则实数的取值范围是_。11已知，试比较与的大小12若关于的不等式的解集是,求,的值.能力提升：13已知变量满足约束条件，则的取值范围是（）A B C D14若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）A B C D或15设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为_16

22、已知实数满足则的取值范围是_17当时，不等式恒成立，则的取值范围是_18设函数（I）解不等式；（II）求函数的最小值19解不等式20某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？综合探究：21设二次函数，方程的两根和满足（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小并说明理由参考答案：基础达标：1C解析：A中，若，则，故A 不成立；B中，若，满足，得到，故B不成立；C中，因为是非零实数即，且，所以，即成立；D中，若，则，所以不成立。2A3A4C解析：因为，所以；又，所以，故选5D 解析：因为，所以选D。6 C解析：，不等式对任意实数x成立，等价于对任意实数x成立，即使对任意实数x成立，所以，解得，78解析：。96