五年级上册奥数讲义

1、优才家教优等生同步奥数提升五年级(下)第一讲整数问题第1课数的整除一、知识要点1 .整除一一因数、倍数必要条件：(1) a、b、c三个数是整数(2) bw0 a + b=c结论：整数a能被整数b整除,或b能整除a,那么a叫做b的倍数,b叫 做a的因数.记作：b | a整数a除以整数b (bw0)等于c (c是整数且没有余数),那么说a能被b整除,或b能整 除a, a叫做b的倍数,b叫做a的因数.2 .相关根底知识点回忆(1) 0是任何整数的倍数.(2) 1是任何整数的因数.3 .数整除的性质性质1:如果a、b都能被m整除,那么它们的和与差也能被m整除.即：如果 m | a, m | b,那么

2、m | ( a± b).例如：如果 2 | 10, 2 | 6,那么 2 (10+6),并且 2 | (106).性质2:如果a能同时被m、n整除,那么a也一定能被 m和n的最小公倍数整除 即：如果 m | a, n | a,那么m, n | a.例如：如果 6 | 36, 9 | 36,那么6 , 9 | 36.性质3:如果m、n都能整除a,且m和n互质,那么 m与n的积能整除a 即：如果 m | a, n | a,且(m, n) =1,那么(m x n) | a.例如：如果 2 | 72, 9 | 72,且2, 7 =1,那么 18 | 72.性质4:如果a能整除b, b能整除m

3、,那么a能整除m 即：如果a | b, b | m,那么a | m.例：如果 7 | 14, 14 | 28,那么 7 | 28.4 .数的整除特征1能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数即个位数是2、4、6、8、0,那么它必能被2整除.2能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除.3能被3 或9整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3 或9整除,那么它必能被3 或9整除.4能被4 或25整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4 或25整除,那么它必能被4 或25整除.例：1864能否被4整除解：1864=1800+64,由于4 | 64,

4、4是1864的因数,1864是4的倍数,所以 4 | 1864.5能被8 或125整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8 或125整除,那么它必能被8 或125整除.例：29375能否被125整除解：29375=29000+375,由于 125 | 375, 125 是 375 的因数,375 是 125 的倍数,所以 125 | 29375.6能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差大减小能被11整除,那么它必能被11整除.奇数位指：这个数的个位、百位、万位；偶数位指：这个数 的十位、千位、十万位例：判断13574是否是11的倍数解：这个数的奇数位上数字

5、之和与偶数位上数字和的差是：4+5+1 - 7+3 =0.由于0是任何整数的倍数,所以11 | 0.因此13574是11的倍数.例：判断123456789这九位数能否被11整除解：这个数奇数位上的数字之和是9 + 7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是 8+6 + 4+2=20.由于25-20=5,又由于 11 5 ,所以 11 123456789.7能被7 11或13整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差以大减小能被 7 11或13整除.例：判断1059282是否是7的倍数解：把1059282分为1059和282两个数.由于 1059-282 =777,又由于

6、7| 777,所以7 | 1059282.因 此1059282是7的倍数.例：判断3546725能否被13整除解：把3546725分为3546和725两个数.由于3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,由于821-2=819,又 13| 819,所以 13 | 2821 ,进而 13 | 3546725.、典型例题详解猜猜会是什么数【例1】：一个856 五位数,能被3、4、5整除,这样的五位数中,最小的一个是多少解：先将 856,看做856ab.3 | 856ab,那么 3 | 8+5+6+a+b, 3 | 19+a+b,a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8.1 4

7、 | 856ab,贝U 4 | ab, ab=偶数5 I 856ab,贝U b=0 或 b=5,又,: ab 为偶数,b=0a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8,且 b=0,a=2 或 a=5 或 a=8当a=2, b=0时,这个数为85620;当a=5, b=0时,这个数为85650;当a=8, b=0时,这个数为85680.答：五位数中最小的一个是85620.【例2】：一本老账本上记着：72只桶,共 67.9元,其中口处是被虫蛀掉的数字,请把这笔账补上. 解：先将 67.9 ,看做整数a679b.72=8X 9,且8, 9 =1,8 | a679b,且 9 | a679b.假设 8

8、| a679b,那么 8 | 79b,所以 b=2.假设 9 | a679b, b=2,贝U 9 | a6792, 9 | a+6+7+9+2, 9 | a+24,所以 a 应是 3.所以这个数应是答：这笔账应是 元.【例3】：173 是一个四位数,在其中的方框中先后填入三个数字,所得到的三个四位数,依次可以被9、11、6整除.先后填入的三个数字的和是多少方法一试商法方法二倍数特征解：解：三、课后作业1.在中填入适当的数字,使所组成的数能够被2. 71450至少加上多少后就能被 4整除?4整除.78 476538634.如果两个数的和是 64,这两个数的积可以整 除4875,那么这两个数的差是

9、多少3. 一个六位数2356 是22的倍数,那么这样 的六位数中,最大的一个是多少5.一位采购员买了同样的 72只热水杯,可是发票不慎弄湿,单价无法识别,总价数字也不全,只 能看出：173. 元.你能算出热水杯的单价吗?第一讲整数问题第2课倍数与因数一1.知识要点质数与合数质数：一个数除了 1和它本身,不再有别的因数,这个数叫做质数. 素数合数：一个数除了 1和它本身,还有别的因数,这个数叫做合数.1不是质数,也不是合数.2.质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数,那么就说这个质数是这个数的质因数分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数例：30分解质因数.

10、解：30=2X3X5答：2、3、5是30的质因数.分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数2 Lil18 疝 2*3.32x 3 m 5100以内的质数要会背的：2、3、5、7、11、 13、17 、 19、23、 29、31、 37、41、 43、 47 、53、 59、61、 67、71、 73、79、83、 89、公因数：几个自然数公有的因数,叫做这几个自然数的公因数公倍数：几个自然数公有的倍数,叫做这几个自然数的公倍数一个数的因数的个数是的,倍数的个数是的.几个数的公因数的个数是的,公倍数的个数是的4.最大公因数与最小公倍数最大公因数：在几个自然数的公因数中,最大的一个称为这几个数的最

11、大公因数a 、b的最大公因数=a , b最小公倍数：在几个自然数的公倍数中,除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数 a、b的最小公倍数=a、b21 83 0用公有的质因数2除915用公有的质因数3除335 除到两个商是互质数为止18, 30 =2X3=618, 30=2 X3X 3X5=90二、典型例题详解【例1】五年级三个班分别有 30、24、42人参加课外科技活动,现在要把参加的人分成人数相等的小级,并 且各班同学不能打乱,那么每组最多多少人 一共可以分成多少个小组用短除法计算:解：30=2X3X524=2 X 3 X 2 X 242=2 X 3 X 730, 24, 42 =2X 3=

12、6 人30+6=5 个24+6=4 个42+6=7 个5+4+7=16 个答：每组最多可以分 6人,一共可以分16个组.【例2】有一种长16厘米,宽12厘米的塑料扣板,如果用这种扣板拼成一个正方形,最少需要多少块用短除法计算:解：16=2X2X2X212=2 X2X316, 12=2 X2X2X2X 3=48厘米48 +16=3块48 +12=4块3 X 4=12块答：最少需要12块扣板.【例3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过假设干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍.求出甲、乙现在的年龄.解：甲现在的年龄是乙的7倍,那么甲的年龄比乙大 6倍;当甲的年龄是乙的 6倍

13、时,当甲的年龄是乙的 5倍时,当甲的年龄是乙的 4倍时,当甲的年龄是乙的 3倍时, 当甲的年龄是乙的 2倍时, 甲、乙的年龄差是 6、5、那么甲的年龄比乙大 5倍;那么甲的年龄比乙大 4倍;那么甲的年龄比乙大 3倍;那么甲的年龄比乙大 2倍;那么甲的年龄比乙大 1倍;4、3、2的公倍数.6,5, 4, 3, 2=6 X 5X4X 3X 2=60 岁60+ 7-1 =10 岁10+60=70 岁答：甲的年龄是70岁,乙的年龄是10岁.【例4】写出三个小于20的自然数,它们的最大公因数为1,但两两均不互质,共有几组解：假设这三个数分别是a、b、c.a、b、c 两两不互质,且 a<20, b&

14、lt;20, c<20,那么两两间的质因数互不相同且乘积小于20(a,b)=2或(a,b)=3或(a,b)=5;(a,c)=2或(a,c)=3或(a,c)=5;(b ,c)=2或(b ,c)=3或(b ,c)=5;.a, b,c三数有可能是2X3=6, 2X 5=10,3X5=15, 2X6=12, 3X6=18.又-.1 (a, b, c) =1;(6, 10, 15) =1; (10, 15, 12) =11; (10, 15, 18)=答：共有三组,分别是(6、10、15), (10、12、15), (10、15、18).、课后习题1.求56, 36, 284的最小公倍数.2.有3

15、36个苹果、252个梨子、210个桔子,用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物每份礼物中,三种水果各占多少3.三个人绕环行跑道练习骑自行车,他们骑一圈的时间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒.三人同时从起 点出发,最少需要多长时间才能再次在起点相会4.有一个表,每走9分钟亮一次灯,每到整点时响一 次铃.中午12点时既亮灯又响铃.下次既亮灯又响铃 在几点5.把一弓长120cm,宽80cm的长方形纸裁成同样大 小的正方形纸不能有剩余,至少能裁成多少张这样 的正方形纸,每张裁成的纸是多大6.用一个数去除31, 61, 76都余1,这个数最大是多少?第3课倍数与因数二、知识要点1.最小公倍数与最大公

16、因数之间的关系定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数,所得的商互质.即：如果a, b =d ,那么a+d, b+0 =1定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积.即：a, b x (a, b) =ax b定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数二、典型例题详解【例1】甲数是36,甲、乙两数的最大公因数是 4,最 小公倍数是288,求乙数.解：设乙数是a【练一练】甲数和乙数的最大公因数是6,最小公倍数是90,且小数不能整除大数,求这两个数.36 x a=4X288 a=4X 288 + 36 a=32答：乙数是32.【例2】两数的最大公因数是21,最小公倍数

17、是126,求这两个数的和是多少a、【练一练】两个自然数的和是 56,它们的最大公因 数是7,求这两个数.解：设这两个数分别为126 + 21=66=3 X 2a=3X 21=63b=2 X21=4263+21=84答：这两个数的和是b或 6=1 X 6a=1X21=21b=6X 21=12621+126=14784或 147.【例3】两个自然数的和是 50,它们的最大公因数是 5, 求这两个数的差.【练一练】两个自然数的积是 5766,它们的最大公因数是31 ,求这两个数.解：设这两个自然数分别是5a、5b 5a+5b=50 .1. a+b=10.1 (a, b)=1 且 a+b=102=1或

18、b =9a =3b =7当 a=1 时,5a=5, 5b=455b-5a=40b =9当=3 时,5a=15, 5b=35 5b-5a=20 b =7答：这两个数的差是40或20.【例4】两个自然数的和是54,它们的最小公倍数与最大公因数的差是114,求这两个自然数.解：设这两个数是 A、B.且A=am； B=bm.1 A+B=54 ,贝U am+bm=54 . . m(a+b)=54(A、B)=m；a、b为A、B两数的非有公因数,(a、b)=1A、B=mxaxb. A、B(A、B)=114,那么 mxax b-m=114 m(ab 1)=114m(a+b)=54 且 m(ab 1)=114那

19、么m是54和114的公因数又( 54, 114) =6, 6=1 X 6=2X3m=1 或 m=6 或 m=2 或 m=3如果 m=1,贝U 1 x (a+b)=54, a+b=54;1 x (ab1)=114, ab=115 .,115=1X115 或 115=5X23 . 115+1 w 54 且 5+23 w 54 . m w 1如果 m=6,那么 6X(a+b)=54, a+b=9;6 x (ab1)=114, ab=20. , (a、b)=1,贝U 20=1 X 20 或 20=4 X 5 .-1+20W9, 4+5=9那么 m=6, a=4, b=5;. A=4X6=24, B=5

20、X 6=30如果 m=2,那么 2X(a+b)=54, a+b=272 x (ab1)=114, ab=58 . , (a、b)=1,贝U 58=1 X 58 或 58=2 X 29 . , 1+58W27 且 2+29W27 . m w 2三、课后作业(1)某数与24的最大公因数是 4,最小公倍数是168,(接【例4】)如果 m=3,贝U 3X(a+b)=54, a+b=183X(ab1)=114, ab=39 .1 (a> b)=1,贝U是 39=1 X39 或 58=3 X 13. 1+39W 18 且 3+13W16m w 3答：这两个自然数是 24和30.【练一练】两个数的差是

21、4,最大公因数与最小公倍数的积是252,求这两个数.这个数是多少?数为120,求这两个数.(3)两个数的和是70,它们的最大公因数是 7,求这 两个数的差是多少(4)两个自然数的差为 为60,求这两个数.48,它们的最小公倍数(5)两个数的最大公因数是 18,最小公倍数是180, 两个数的差是54,求两个数的和.(6)两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为 450,求这两个自然数.(7)两个数的最大公因数是12,最小公倍数是 72,这两个数的和是多少(8)两个自然数的差是 3,它们的最大公因数与最小 公倍数的积是180,求这两个数.复习练习第2课(1)有一种地砖,长 20厘米

22、,宽15厘米,至少需要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形?(2) 一箱鸡蛋,四个四个数多 3个,五个五个数多4个,七个七个数多6个,这箱鸡蛋至少有多少个(10)a与b、a与c的最大公因数分别是 12和15, a、b、c的最小公倍数是 120,求a、b、c.(3)有一个班的同学包车旅游,如果增加一辆车, 正好每辆车坐10人,如果减少一辆车,正好每辆车 坐15人,这个班共有多少人(4) 一条路长96米,从一端起,每隔 4米栽一棵树(路两旁都栽).现要再每隔6米栽一棵,已栽上的地 方不用重栽,这条路上共需新栽多少棵树第二讲图形的面积、知识要点1.根本平面图形特征及面积公式第1课巧求图形面积特征

23、面积公式止方形四条边都相等.四个角都是直角.后四条对称轴.S=a2长方形对边相等.四个角都是直角.有一条对称轴.S=ab平行四边形两组对边平行且相等.对角相等,相邻的两个角之和为180°平行四边形容易变形.S=ah三角形两边之和大于第三条边.两边之差小于第三条边.三个角的内角和是 180°.后二条边和三个角,具有稳定性.S=ah+ 2形只有一组对边平行.中位线等于上下底和的一半.S=(a+b)h+ 22.根本解题方法:由两个或多个简单的根本几何图形组合成的组合图形,要计算这样的组合图形面积,先根据图形 的根本关系,再运用分解、组合、平移、害U补、添辅助线等几种方法将图形变成

24、根本图形分别计算.、典型例题详解【例1】平行四边表的面积是 28平方厘米,求阴【练一练】如果用铁丝围成如以下列图一样的平行四边 形,需要用多少厘米铁丝单位：厘米影局部的面积.H5座米H【例2】以下列图中甲和乙都是正方形,求阴影局部的面积.单位：厘米【练一练】求图中阴影局部的面积.单位：厘米【例3】如下列图,甲三角形的面积比乙三角形的面积【练一练平行四边形 ABCD的边长BC=10厘米,大6平方厘米,求 CE的长度.左4厘米n直角三角形 BCE的直 角边EC长8厘米,已 知阴影局部的面积比 三角形EFG的面积大 10平方厘米.求 CF的 长.【例4】两条对角线把梯形 ABCD分割成四个三角形.【

25、练一练】下面的梯形 ABCD中,下底是上底的 2两个三角形的面积如下列图 的面积各是多少单位：厘米,求另两个三角形倍,E是AB的中点,求梯形ABCD的面积是三角形EDB面积的多少倍?【练一练】一个长方形的草 坪,中间有两个人 行道.高是14 求草坪的面积.单位：厘米3228*-、课后作业【练一练】计算下面图形的面积.Z- 15A一出是小A3.求图中阴影 局部的面 积.单位：厘米卜曜二T下面的梯形中,阴影局部面积是 150 平方厘米,求梯形 的面积.2.正方形ABCD的 边长是12厘米,已 知DE是EC长度的 2倍,求：(1) 三角形 DEF的面积.(2) CF的长.4.梯形ABCD的面积是45

26、平方厘米,高6厘米.三 角形AED的面积是 A5平方厘米,BC=10 厘米,求阴影局部 的面积.5. L方形 ABCD的面积是 100平方厘米,AE=8厘米, CF=6厘米,求阴影局部的面 积.6.求图形中梯形 ABCD的面积.(单位：厘米)A 5D第2课等积变形求面积、知识要点如果两个三角形底相等,大三角形面积是小三角形面积的2倍,大三角形高是小三角形高的如果两个三角形底相等,大三角形面积是小三角形面积的3倍,大三角形高是小三角形高的如果两个三角形底相等,大三角形面积是小三角形面积的4倍,大三角形高是小三角形高的如果两个三角形底相等,大三角形面积是小三角形面积的n倍,大三角形高是小三角形高的

27、如果两个平行四边形形底相等,大平行四边形面积是小平行四边形形面积的2倍,大平行四边形高是幕底等同的三角形面积相等平行四边形小平行四边形高的如果两个平行四边形形底相等,大平行四边形面积是小平行四边形形面积的3倍,大平行四边形高是小平行四边形高的如果两个平行四边形形底相等,大平行四边形面积是小平行四边形形面积的4倍,大平行四边形高是小平行四边形高的如果两个平行四边形形底相等,大平行四边形面积是小平行四边形形面积的n倍,大平行四边形高是【练一练】如图,六 边形ABCDEF勺面积 是16平方厘米,M、 N、P、Q分别是AB、 CD、DE AF的中点. 求图中阴影局部的面积.小平行四边形高的 二、典型例

28、题分析【例1】四边形ABCD中,M为AB的中点,N为CD的中点, 如果四边形ABCD的面积是80平方厘米,求阴影局部0BNDM的面积是多少【例2】如图,平行四边FB, AG=2CG 三角形GEF的面积形 ABCD 中,AE=EF=C是6平方厘米,平行四边形的面积是多少平方厘米?平方厘米,求图中阴影 局部的面积.【练一练】如图,在一个等边三角 形中任意取一点巳连接PA PBABC被分成6个三角形.已 知三角形ABC的面积为40PC过P点作三角形的垂线,E、F、G分别为垂足.三角形【例3】以下列图中正方形 ABCD 的边长是4厘米,长方形 DEFG的长 DG=5厘米,问长 方形的宽DE为多少厘米E

29、D GC【练一练】两个相同的直角三角形叠放在一起,求 阴影局部的面积.单位：分米【例4】两个正方形拼成一 个图形,其中小正方形的 边长是4厘米,求阴影局部 的面积.D C如图,AE=ED, AF=FC, ABC的面积为100平方 厘米,求阴影局部 的面积.三、课后作业1 .平行四边形的面积为 50 平方厘米,P是其中任意 一点,求阴影局部的面积.2 .长方形ABCD,三角形 ABG的面积为20平方厘 米,三角形CDQ的面积为 35平方厘米,求阴影局部 的面积.EBF 阴影局部的面积是多少?3.ABCD是直角梯形,其中AD=12厘米,AB=8厘米,BC=15厘米,且三角形ADE、四边形 DEBF

30、及三角 形CDF的面积相等,三角形4.如图,AD=2AB, CF=3AG BE=4BC6.图中 BD=2DC, AE=BE 三角形ABC的面积 是18平方厘米,求四边 形AEDC的面积是多少5.如图,AB=4厘米,AC=2CD, BE=BD 求 三角形ADE的面积.第三讲分数的根本性质第1课分数的熟悉、知识要点1.分数的意义和性质分数的意义：把单位“1平均分成假设干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数.分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数.把1平均分成分母份,表示这样的分子份.2.分数单位：把单位“1平均分成假设干份,表示其中一份的数,叫做分数单位.分数的性质:分子与分母同

31、时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变.分数的分类L真分数：分子比分母小的分数,叫做真分数.真分数大于1.,假分数：分子大于或者等于分母的分数叫假分数,假分数大于1或等于1.带分数：带分数就是将一个分数写成整数局部+一个真分数.带分数与假分数的互换：带分数4假分数：分母不变,分子为整数局部乘以分母的积再加上原分子的和.例:c5 3 7 5 263 =777假分数带分数：分母不变,整数局部为原分子除以分母的商,分子那么为原分子除以分母的余数.例:14314 -33带分数Y真分数3.计算方法:分数加减法(1)同分母分数相加减,分母不变,即分数单位不变,分子相加减,最后要化成最简分数.例:

32、51351-33-=一77777(2)异分母分数相加减, 先通分,即运用分数的根本性质将异分母分数转化为同分母分数,改变其分数单位而大小不变,再按同分母分数相加减法去计算,最后要化成最简分数.,54125241525 24 -1534例：+_=_十=一6523030303030分数乘除法(1)分数乘整数,分母不变,分子乘整数,最后要化成最简分数.如 5 a 5 6 10例：6 =993(2)分数乘分数,用分子乘分子,用分母乘分母,最后要化成最简分数.2626 4例：26=26= 49797 21(3)分数除以整数,分母不变,如果分子是整数的倍数, 那么用分子除以整数,最后要化成最简分数.例:(

33、4)分数除以整数,分母不变,如果分子不是整数的倍数,那么用这个分数乘这个整数的倒数,最后要化成最简分数.面 2 c 211例：一6 =99 6 27(5)分数除以分数,等于被除数乘除数的倒数,最后不是最简分数要化成最简分数.二、典型例题分析【例1】分母是91的真分数有多少个最简真分数有 多少个【练一练1】分子、分母的乘积是 420的最简真分数 共有多少个【例2】把一个最简分数的分子加上 1 ,这个分数就等 于1.(1)如果把这个分数的分母加上 1,这个分数就等于8 ,原分数是多少9(2)如果把这个分数的分母加上 2,这个分数就等于8 ,原分数是多少9【练一练2】一个分数约分成最简分数是 -,原

34、分子、7分母的和是90,原分数是多少_ . 73 . 一 .一 .一 【例3】分数3的分子和分母都减去同一个整数,136 一 2一一,一, 所得的分数约分后是 2,求那个整数是多少?9【练一练3】一个真分数的分子、分母是两个连续的,12 自然数,如果分母加上 4,这个分数约分后是-,原3来这个分数是多少?【例4】分数的分子减去某数,而分母同时加上这64个数后,所得的新分数化简后为 -,求某数.131【练一练4】一个分数,分子加上 1可约分为-,分3一 1,、,子减去1可约分为-,求这个分数.5_ _1 * 【练一练5】分数,的分子、分母同时加一个自然数,12新分数化简得一个分数 1 ;求这个自

35、然数.2【练一练6】all是最简真分数,a可取的整数共有48多少个三、课后作业【1】分母是51的真分数有多少个最简真分数有多少个【2】一个最简分数的分子缩小 5倍,分母扩大9倍后是2 ,原分数是多少273 1【3】的分子、分母同时加上多少后可以约分为1 ?133【4】一个分数,如果分子加上 16,分母减去166,那么约分后是3 ;如果分子加上124,分母加上340,那4,一 一1 ,一,一一么约分后是-,求原分数是多少2【5】填空题：(列式、计算、填空)(1)一个最简真分数的分子、分母之积是30,这个最简真分数是.(3)一个最简真分数,把它的分母扩大5倍,而分子缩1小4倍,化简后是.1,求这个

36、最简真分数是52(2)分母是85的真分数共有 个,分母是85的最简真分数共有 个.(4) 一个最简真分数,分子、分母之和是最简真分数是.15,这个【6】一个真分数的分子、 分母是两个相邻的奇数, 如3果分母加上3后,这个分数约分为 士,求原分数是多4少,一,1 ,【7】分数-1的分子、分母同时加同一个自然数,新12,一 r 1一 分数化简后得-,求这个自然数.2第2课比较分数大小一、知识要点1 .分数的根本性质分数的性质：分子与分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变.2 .比较分数大小的根本方法 分母相同：分母相同的分数,比较分子,分子大的分数大 分子相同：分子相同的分数,比较

37、分母,分母小的分数大 假分数与真分数：假分数大于真分数.3 .分子、分母都不同的两个分数：先通分,使它们的分母相同,化为第一种情况,再比较大小.4 .比较分数大小的巧算:通分子当两个分数的分母的最小公倍数比较大,而分子的最小公倍数比较小时,可 以把它们化成同分子的分数,再比较大小,这种方法比通分的方法简便.例如,与,分母的最小公倍数是三位数,分子的最小公倍数是60,把丝化为3 3化为空 由于包>3 所以瑟>工口1T心内防'泣化内掂'85期"用以17笠2化为小数.这种方法对任意的分数都适用,因此也叫万能方法.但在比较大小时是否简便, 就要看具体情况了.例如:

38、与总,一看就知道三=0.(5,所以三宗*320320320先约分,后比较.有时分数不是最简分数,可以先约分.例如,与名祟,约分后两个分数都等于/ 所以它们是相等的.oJo Jo J0.5倒数比较大小.分数m和n,如果2v1,那么m>n m n同后 19:20 由%21_1 J11 _ 2Q 的川20、19例如,而与亓由于与=6<1诵=力所以方为大分数比较大小那么分母与分子相加得到的和较大的分数比那么分母与分子相加得到的和较小的分数比假设两个真分数的分母与分子的差相等、较大；假设两个假分数的分子与分母的差相等, 较大.借助第三个数比较大小对于分数m 和 n,假设 m-k>n-k

39、,贝U m>n.例如,1_218191m = 654321仁穿两个分数都比3略大,于是可以借助1 S4-3 = 5t789对于分数m 和 n,假设 m>k, k>n,那么 m>n.例如,又如,储春由于.马,畀春所演永高这里借助于会23 _22 r- 23、之323. 2223. 11而与药,由于而王,5T>IT-所以无对于分数m 和 n,假设 k-m< k-n,贝U m>n.3030 2601515 4602-=2- 2=5413'=13 4 -=5220_20 3601212 5_601-1- 3511111 55560606060>

40、>> 515254555.例如 竺与由于1_上一=所以竺>吧,1 取 191?'同19 19 ,17 17, 1917,加人 1917这里借助于上【练一练1把下面的分数按从小到大的顺序排列:典型8例题【例1把下面每组中的分数按从大到小的顺序排列.5-113-、 、 、 8122060151065、 、 、 33 23 1- 135 _5 15_-5-_ - 10_ -088 151201212 101201111 6_ 663- _3- 2 _-42020 61206060 2120-5-4-066>>> 12012012012053-11>

41、:> >86012208, 12, 20, 60=120301520212、2-13 1-1130 , 15, 20, 12=60分数2、9、竺、理、竺中,哪一个最大?1-19339-4620213012> > > 1-132-11【例2】比较迎和还的大小-58888-【练一练2比较 色丝3和 三史-的大小 4444555559-141 =-5 -544>-58888-8888341=8888- 8888-188883<-58888-例3a= 口,b=叱1 (m, n都是非零自然m m 1数,且m>n), a, b的大小关系是()【练一练3以下分

42、数中最大的是A 998 B 98 C 9998 D 8-999. 99. 9999. 9A.可能a=bB. a 一定大于 bC.有时a>bD. a 一定小于b如果 a=1, b=1=2,b>a22 1 332b> a如果a=-, 8例4比2大,比1小,分子是17的分数共有多少【练一练4在下面的中填入适当的整数,使不等个式成立.71710vv 5 72, 1, 17=342_2 17 _ 347-7 17-1191 1 34343 3 34 10217X2=34 119 + 2=591102 + 2=51答：分母可以是： 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57,5

43、8, 59 共 8 个.111650 98484 f【练一练 5】在一、一这四个分、141653 98787数中,最大的是哪个最小的是哪个【练一练6】写出三个大于-而小于-的最简真分数.【练一练7】分子是3,比二小,但与二最接近的分 4【练一练8一 v f数是哪一个?二、课后作业3660【1】将一、一6565197< 19?为连续自然数,24721241672983135948,丝从小到大排【2】把五个分数1712列,排在第三个位置上的数是多少?大的顺序排列.41299970239239按从小到160987654321 987654321 -2021 3设 a=, b=,试比123456

44、789123456789 - 2021较a与b的大小.【4】在下面的 匚|中填入适当的整数,使不等式成立.口 里应填的整数有哪些?170.25 V <0.26【5】比较竺7和丑的大小.49074111111110444444443 i,【7】比较与的大小.222222221888888887【6】比大,比工小,分母是40的最简分数有多少410个* * 311*26 一【8】有七个数,0.42, 士,0.424, 26是,72661 11.其中的五个,从小到大排的第三个是11 ,求从26大到小排的第三个数.第四讲行程问题第1课行程中的追及问题一、知识要点1 .行程中的根本数量关系:路程=速

45、度X时间2 .追及问题中的根本数量关系:路程差追及路程=速度差X追及时间路程差追及路程+速度差 =追及时间路程差追及路程+追及时间 =速度差3 .追及问题中的应注意的规律：追赶者所用的时间=被追赶都所用的时间 =追及时间、典型例题【例1】一辆面包车的速度是每小时60千米,在面包车开出30分钟后,一辆小轿车以每小时84千米的速度从同一地点出发沿着同一路线行驶去追赶面包车, 多长时间能追上先行30分钟追及时间X_面包车【练一练1】一个人骑自行车,一个人骑摩托车,两 人同时从甲地出发去乙地.自行车每小时行18千米,摩托车每小时行 45千米.自行车先出发 1.5小时,摩 托车沿着同一条路线追赶自行车,追上自行车时,摩 托车行了多少千米追及路程小轿车追及时间60 X 30+60 =30 千米30+ 84-60 =1.25 小时1.25小时=1小日中15分钟答：小轿车需要1小时15分钟追上面包车.解题过程中用到的公式路程差追及路程+速度差 =追及时间【例2】甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地, 甲车每小时行 40千米,乙车每小时行 35千米.途中 甲车因故障修车用了 3小时,结果甲车比乙车迟 1小 时到达目的地.两地间的路程是多少千米35X 3-1 =35X 2=70 千米70+ 40-35 =70 + 5=14