有限长厚壁载流螺线管的磁场分布

1、第28卷第6期2009年6月大学物理COLLEGEPHYSICSVol.28No.6June2009有限长厚壁载流螺线管的磁场分布丁健(长安大学理学院物理系,陕西西安710064)摘要:对于通以恒定电流的有限长厚壁螺线管,用柱函数展开法推导出矢势的表达式,式得出磁场的积分形式表达式.用直接积分的方法,.另外还用本文得出的公式求得中轴线上的磁场.关键词:厚壁螺线管;恒定电流;磁感应强度;级数表达式中图分类号:O441文献标识码:A:)0620012203,这就是厚壁螺线管.,是一项有意义的工作.文献1,然后指出可用谢尔茨公式计算出管内轴线外任意点的磁场,至于管外的磁场分布则完全没有涉及.文献2用

2、磁标势法求得管内一个球形区域的磁场,其半径小于螺线管的内半径,亦未能得出磁场在全空间的分布.本文用柱函数展开法推导出矢势的表示式,进而求得磁场的积分形式表示式.再应用含贝塞尔函数的积分公式,计算出厚壁螺线管内部和外部磁场分布的级数表达式.另外,还用本文得出的公式讨论了螺线管中轴线上的磁场分布.A,文献3给出的公式为A,02dkJkJ,z0V2-k|z-z|(2)J1kcosedV式中的体元dV=dddz,J1(x)为第一类贝塞尔函数.将式(1)代入式(2),求得矢势的表示式0jdkA,=Jk201由B=abJ1kd-lle-k|z-z|dz(3)×A,可求得磁感应强度B的3个分量,其

3、中周向分量B=0,其他2个不为零的分量为:0jB,=-9z2J01磁场的积分形式表示式一厚壁螺线管由表面绝缘的细导线分层密绕而成,其内半径为a,外半径为b,螺线管总长度为2l,每层单位长度内匝数为n1,单位厚度内层数为n2,导线内通以恒定电流I.以螺线管的中心为原点,取其中轴线为z轴,建立一圆柱坐标系(,z),并且使z轴的正方向与电流的流向满足右手螺旋关系.管壁内的电流是均匀分布的沿周向流动的体电流,体电流密度矢量可表示为J,z=e,z=eJj(1)ab,|z|式中j=n1n2I为电流密度的大小.电流所激发的磁场的矢势只有周向分量A,可用柱函数展开法求得收稿日期:2008-07-24;修回日期

4、:2008-12-30e-k|z-l|-e-k|z+l|dkJkdab(4)0jB,=A92kJdkk(5)abJ1kd-lle-k|z-z|dz以上两式便是螺线管磁场的积分形式表示式.2磁场的级数表示式2.1径向分量B的级数表示式将J1k用幂级数形式写出J1k=n=06n!n+!n!n!n22n+1(6)求得Jkd=6ab2n+3n=02n+12n+1k2n2(7)2n作者简介:丁健(1976),男,陕西蒲城人,长安大学理学院物理系工程师,主要从事物理实验教学与研究工作.© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing

5、 House. All rights reserved. 第6期丁健:有限长厚壁载流螺线管的磁场分布132n+32n+3)0jB,2n+162nn!2n2=0n!积分,并注意到P2n+1(x)为奇函数:P2n+1(-x)=-P2n+1(x),可求得Bz的级数表示式为()kJ1k2n+1e-k|z-l|-e-k|z+l|dk(8)B(2)z应用含贝塞尔函数的积分公式40j,26n=02n!nr1b2n+3-a2nn-tzJmttedt=mPnn+r(9)r1-2n-2P2n+1-r2-2n-2P2n+1r2(16)式中r=+z,P(x)为连带勒让德函数.完成式(8)中对k的积分,并注意到P2n+

6、1(x)是偶函数,即11P2n+1(-x)=P2n+1(x),得出B的级数表达式1mn在zl和z-l,经推导表明,(2)Bz|l(16)完全相,z1).,将Bz(,z)的表达式归BzB(1)jB,26n=02n!nl2nb2n+3-a2nr-2n-21P12n+1-2P12n+1(10)B,2,+Bz,(b,且|z|l)()(2)z,(其他位置)(17)-,rz+,式中j=n1n22=P12n+1其中B(1)z(x)为一阶(+)次连带勒让德函数.关于式,(2)0b-<a,且|z|b,且|z|0b-a(18)(10)再作一点说明,对于双阶乘,规定(-1)!=1.这是因为(n+1)!n=0,

7、得(-1)!=(n+1)(n-1)!,令式中=1.而Bz(,z)的表示式则由式(16)给出.这表明,在螺线管内部(包括厚壁),Bz由两部分组成,分别由式(18)和式(16)给出;在螺线管的外部,Bz(1)2.2轴向分量Bz的级数表示式=0,Bz仅式(5)中对z的积分-lle-k|z-z|dzke-z-e-z+z>2-e-ez-z-e-z+|z|(11)z<-由式(16)给出.图1为厚壁螺线管纵剖面的右侧示意图.中轴线为z轴,C1C2和D1D2分别为内壁和外壁的位置,两者之间的阴影部分为载流线圈.螺线管的两个端面分别与中轴线交于O1和O2,它们至场点P的距离分2222别为r1和r2,

8、r1=z-,r2=z+.z+由上式可以看出,对于Bz须分成3个区域求解.先讨论|z|l区域,将Bz分成两项Bz,=Bz(1),+Bz,()(12)其中的B(1)zJ1k,=dJ0kdk0ja0b(13)根据公式4(1)J0J1dxa-1a>a<0(14)求得Bz的表示式为0b-Bz(1)<a>(15)图1r1、r2与场点坐标的关系,0b-0()式(12)中的Bz为B(2)z0j,=2e-k|z+l|dkJkd0J0k1-ek|z-l|-3中轴线上的磁场取=0,由式(10)可求得中轴线上的B.这时r1)=0,则1=|z-l|,r2=|z+l|,并考虑到Pn(±m

9、ba将式(7)代入上式,然后应用式(9)完成对变量k的© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 14大学物理第28卷P2n+1P2n+111r1r21=P2n+1(±1)=0l区域完全相同的表示式,这表明式(19)和式(23)在z轴的任何位置上均成立.这个结果与文献1、2所得出的表达式是一致的.在上式中取z=0,得1=P2n+1(±1)=0将它们代入式(10),显然有B0,=0中心处的磁场(19)B0=0jllna+2222对于Bz,应分

10、区域讨论.在|z|l区域中,取=0,由式(18)得Bz(16)求得Bz(2)(1)a+l(24)0,=0b-(20)由于P2n+1(-1)=-1,P2n+1(1)=1,取=0,由式0j62n=02n+3若lµb,此时管内是均匀(25)=b40,b2n+32n+!n-az-n+2n+2z+(21)若满足条件(b-a)a,则为薄壁螺线管.将(b-a)视为无穷小量,若仅保留一阶无穷小量而将高于一阶的无穷小量略去,则有b2n+3再用x+x+x22-a2n+3=a2n+3=x-n=062!n2n2n+31a2n+3-1=(26)2n+a2n+2b-(22)进一步将Bz(,z),得(1)(2)B

11、0,=Bz0,+Bz0,=n0b-622n+!n+n=02n+32n+32n+32n+=2n+22n+2z+z-0z+-2z+ln=0另外,n2为单位厚度内的层数,在(b-a)内共有n2(b-a)层导线,则单位长度内匝数为n1n2(b-a)=n0,这时b-=n1n2b-I=n1I(27)将以上两式分别代入式(10)和式(17),求得薄壁螺线管的磁场表达式B,0n0I2n662n+!n+-|z-l|nn2n+32n+r1-2n-2P2n+1(1)z1z+2n+3+r2n+2a2l-2n-21(28)-rP2n+12r2(2)zn|z-l|B,=B其中Bz(1),+B0n0I0,a,且|z|(其他

12、位置)n(29)n=0(2n+!n+z+lnz+lz+l2n+32n+,(30)z-l2n+3=(2)z02+z+z+-+()2n+2B,nIa0022!=0-2n-2-2n-2(31)rP2n+1-rP2n+112z+lnz-llnz-lln+2r1r2参考文献:-1王华军,李宏福,温越琼.螺线管中磁场的计算J.四|z-l|z-z-22川轻化工学院学报,1999,12(4):23225.|z-l|a+22=-(23)2俎栋林.电动力学M.北京:清华大学出版社,2006:84286,58.3丁健.轴对称的静磁场的两种简便解法J.大学物理,2008,27(2):29232.4奚定平.贝塞尔函数M

13、.北京:高等教育出版社;德2z+lna+a+z+222z-lnaz-国:施普林格出版社,1998:1752179.(下转20页)在z>l和z<-l两个区域中,可推导出与|z|© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 20大学物理-3第28卷由表2得UPP-UPP0=42.5×10水)表面张力系数-3V,将UPP-UPP0、K、d和h的值代入式(10),得待测液体(蒸馏-参考文献:1复旦大学等编.庄继华修订.物理化学实验M.3版.北京:高

14、等教育出社,2004:3832384.d+-3=2沈元华,陆申龙.基础物理实验M.北京:高等教育出×.5×10-3N/m=73.4×10N/m.-25.014+0.×10版社,2003:1162117.3焦丽凤,陆申龙.J.物理实验,2002,.4德.H.M.王福山,译.在22.0温度下纯水的表面张力系数=72.44×10-3N/m,测量结果与标准值的百分误差为1.3%.:44246.,5结束语本实验中将力学量转换成电学量,.物理实验,2003,23(7):39241.6杨述武.普通物理实验:力学及热学部分M.北京:高等教育出版社,2000:7

15、9282.AnimentalapproachformeasuringliquidsurfacetensioncoefficientwithdigitaloscilloscopeMUXiu2jia,LIUZhi2xin,CHENJun(PhysicsExperimentCenter,AgricultureUniversityofShandong,Taian,Shandong271018,China)Abstract:AspringasaninductanceturnandasamplingresistancearemadeupofaRLseriescircuit.Underthepromptin

16、gofalternatingcurrent,therelationoftheactingforceandthesamplingvoltageismeasuredwithadig2italoscilloscope,thustheliquidsurfacetensioncoefficientisobtained.Keywords:liquidsurfacetensioncoefficient;inductanceturn;samplingresistance:samplingvoltage(上接14页)Themagneticfielddistributionofacurrent-carryingt

17、hick-wallsolenoidwithfinitelengthDINGJian(DepartmentofPhysics,CollegeofScience,ChanganUniversity,Xian,Shaanxi710064,China)Abstract:Forasteadycurrent-carryingtightlywoundthick-wallsolenoidwithafinitelength,theexpressionofvectorpotentialisderivedbyusingthemethodofcylindricalfunctionexpansion.Theexpressionsofmagneticfielddistributionintheintegralformarepresentedbyemployingtherelationbetweenvectorpotentialandmagneticinduction.Theexpressionsintheseriesformoftheinteriorandexteriormagneticfielddistributionofmagneticfieldofathick-wallsolenoidarecalc