高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题

1、一、直线的方程1、倾斜角:已知L上两点Pl（Xi,yi）直 线 与 圆 的 方范围0WV ,/ x轴或与x轴重合时，=00。0<< - k 02与的关系： =0=0P2（X2,y2） k= JX2X1当X1 = X2时， =90 ,/、存在。当3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为4、直线方程的几种形式0 时， =arctank,<0 时， =0。已知方程说明几种特殊位置的直线斜截式K、bY=kx+b不含y轴和行平 于y轴的直线x轴：y=0点斜式P1=（X1,y） ky-y1=k（x-x 1）不含y轴和平行 于y轴的直线y轴：x=0两点式Pi（Xi，W）P2（X2,y2）y V

2、1x X1V2 必X2X1不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线平仃于x轴：y=b截距式a、b%上1a b不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线平仃于y轴：x=a 过原点：y=kx一般式Ax+by+c=0A、B不同日为0两个重要结论：平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。+arctank任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：（1）共点直线系方程：p0（X0,y0）为定值，k为参数y-y尸k （x-x0）特别：y=kx+b ,表示过（0、b）的直线系（不含 y轴）（2）平行直线系：y=kx+b , k为定值，b为参数。AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=

3、0 平行的直线系BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系（3）过 LJ2交点的直线系 AiX+Biy+Ci+ 入（A2X+B2Y+C2） =0 （不含 L2） 6、三点共线的判定： AB BC AC,Kab=Kbc写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。、两直线的位置关系i、Li ： y=kix+b 1L2: y=k2x+b 2Li: AiX+B iY+C i=0L2： A2X+B 2Y+C 2=0Li与L2组成的方程组平行Ki=k2且 bw b23邑qA2B2C2无解重合K1=k2且 b1=b2AB1C1A2B2C2后无数多解相交Ki wk2Ai Bi a2 b2有唯一解垂直K

4、i - k2=-1AiA2+BiB2=0(说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑)一 ，一 一ko k2、Li 至ij L2 的角为 0,贝U tan2 (k1k2i)i k2 ?k13、夹角：tank|i k2kj |Axo Byo c . ._4、点到直线距离：d J-I（已知点（P0（x0,y0）, L: AX+BY+C=0 ）A2 B2两行平线间距离：L产AX+BY+C 1=0 L2： AX+BY+C 2=0dA B2与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±d 4rAB7 0与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是Ci

5、C2AX BY 2 0 25、对称：(1)点关于点对称：p(xi,yi)关于M (x0,y°)的对称P (2X0 Xi,2Y° Yi)(2)点关于线的对称：设 p(a、b)对称轴对称点P对称轴对称点pX轴p（a、 b）Y=-xp（ b、 a）Y轴p （ a、b）X=m（m 卞 0）p （2m a、b）y=xp （b、 a）y=n（n 丰 0）p （a、2n b）一般方法：如图：（思路1）设P点关于L的对称点为Po（xo,yo）则Kppo* Kl= 1L P, Po中点满足L方 程解出 Po（xo,yo）（思路2）写出过P±L的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式

6、求出 Po（xo,yo）的坐标。（3）直线关于点对称L: AX+BY+C=0 关于点 P （X。、Yo）的对称直线 l : A （2Xo-X） +B （2Yo-Y） +C=0（4）直线关于直线对称关于x轴对称曲线是 关于y轴对称曲线是 关于原点对称曲线是f（x、-y）=0 f（-x、y）=0 f（-x、-y）=0几种特殊位置的对称：已知曲线 f（x、y）=0关于y=x对称曲线是f（y、x）=0关于y= -x对称曲线是f（-y、-x）=0关于x=a对称曲线是f（2a-x、y）=0关于y=b对称曲线是f（x、2b-y）=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。 三、简单的线性规划AX

7、+BY+C=0约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。要点：作图必须准确（建议稍画大一点）。线性约束条件必须考虑完整。先找可行域再找最优解。四、圆的方程21、圆的万程：标傕万程x a （y b） r2, c （a、b）为圆心，r为半径。一般方程：x2 y2 DX EY F 0,DE .D2 E2 4FC -, 一 , r 222.22当D E 4F 0时，表示一个点。22当D E 4F 0时，不表不任何图形。参数方程：-x a r cosjy b r sin为参数以A (Xi, Yi), B (X2, Y2)为直径的两端点的圆的方程是(X-Xi) (X-X2)

8、 + (Y-Yi) (Y-Y2) =02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d,然后与r比较大小。3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定：联立方程组，消去一个未知量， 得到一个一元二次方程：。 相交、4=0相切、< 0 相离利用圆心c (a、b)到直线AX+BY+C=0 的距离d来确定：dvr 相交、d=r 相切d>r 相离(直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的ktA)4、圆的切线：(1)过圆上一点的切线方程与圆x2 y2 r2相切于点(xi、y1)的切线方程是x1x y1y r2与圆(x a)2 (y b)2 r2相切于点(xi、yi)的切成方程»2为：

9、(xi a)(x a) (yi b)(y b) r22与圆x y DX EY F0相切于点(xi、yi)的切线是x xi y xx yy D() E(工2(2 )过圆外一点切线(x a)2 (y b)2 r2 外一点(x1设切点是pi(xi、yi)解方程组(x0先求出pi的坐标，再写切线的方程设切线是y y0 k(x x0)即kx,Ika b kx0 y0,再由11 yoi r ,求出k,k2 i上)F 02方程的求法：已知：p0(x0 , y°)是圆222a)(yi b) ra)(xi a) (y0 b)(y1 b)2 r2y kx°y0 0再写出方程。(当k值唯一时，应

10、结合图形、考察是否有垂直于x轴的切线)已知斜率的切线方程：设y kx b (b待定)，利用圆心到L距离为r,确定b。5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离(外离、内含)、相切(外切、内切)6、圆系同心圆系：(x a)2 (y b)2r2，a、 b 为常数，r 为参数)22或：x2 y2 DX EY F22圆心在x轴：(x a) y圆心在y轴：x2 (y b)20( D、 E 为常数，F 为参数)2r2r过原点的圆系方程(x a) 2 (y b)222ab过两圆C1 : x2y2D1XE1YF10 和22C2 : x2 y2 D2X E2Y F20的交点的圆系方程为2222x2y2 D

11、1 XE1YF1入(x2y2 D2XE2YF20(不含C2) ，其中入为参数若Ci与C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。类型一：圆的方程例 1 求过两点A(1 ,4) 、 B(3 , 2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2 ,4) 与圆的关系分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一： (待定系数法)设圆的标准方程为(x a)2 (y b)2 r2圆心在y 0上，故b 0 .222

12、，圆的方程为(x a) y r .又.该圆过 A(1,4)、B(3,2)两点.(1 a)2 16 r222(3 a)2 4 r22解之得：a 1 ， r 220所以所求圆的方程为(x 1)2 y2 20解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为4 2kAB 1,故l的斜率为1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线l的方程1 3为：y 3 x 2即x y 1 0.又知圆心在直线 y 0上，故圆心坐标为 C( 1,0)半径 r AC| v"(1 1)2 42 V20 .故所求圆的方程为(x 1)2 y2

13、 20 .又点P(2,4)到圆心C( 1,0)的距离为d PC 虱2 1)2 42 25 r .，点P在圆外.说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2求半径为4,与圆x2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直线 y 0相切的圆的方程.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.解：则题意，设所求圆的方程为圆 C:(x a)2 (y b)2 r2.圆C与直线y 0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a ,4)或C2(a, 4) .22

14、又已知圆x y 4x 2y 4 0的圆心 A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切，则 CA 4 3 7或CA 4 3 1 .222222.当 C(a,4)时，(a 2)(4 1)7 ,或(a 2)(4 1)1(无解)，故可得a 2 2 百0 . 所求圆方程为(x 2 2J10)2 (y 4)2 42,或(x 2 2<W)2 (y 4)2 42 .222222(2)当 C2(a, 4)时，(a 2)( 4 1)7 ,或(a 2)( 4 1)1(无解)，故a 2 2a/6 .，所求圆的方程为(x 2 246)2 (y 4)2 42,或(x 2 2n)2 (y 4)2 42 .说明：对本题

15、，易发生以下误解:由题意，所求圆与直线 y 0相切且半径为 4,则圆心坐标为 C(a,4),且方程形如.2.,.2,2222.2 一2(x a)(y4)4 .又圆 x y 4x 2y 4 0,即(x 2) (y 1)3,其圆心为A(2,1),半径为3.若两圆相切，则 CA 4 3.故(a 2)2 (4 1)2 72,解之得 a 2210.所以欲求圆的方程为(x 2 2J而)2(y 4)242,或(x 2 2V10)2 (y 4)2 42.上述误解只考虑了圆心在直线y 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线 y 0下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况.也是不全面的.例3求经过点A(0,5),

16、且与直线x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程.分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.解：:圆和直线x 2y 0与2x y 0相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线 x 2y 0和2x y 0的距离相等.Ix 2yl k 2yl55，两直线交角的平分线方程是 x 3y 0或3x y 0 .又圆过点A(0,5),圆心C只能在直线3x y 0上.设圆心C(t, 3t) C到直线2x y 0的距离等于 AC2t 3t，t2(3t 5)2 .2化简整理得t2 6t 5 0.解得：t

17、1或t 5圆心是(1,3),半径为 J5或圆心是(5,15),半径为575 .125.所求圆的方程为(x 1)2 (y 3)2 5或(x 5)2 (y 15)2说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.例4、设圆满足：(1感y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为 3:1,在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 l： x 2y 0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程.满 足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动

18、点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程.解法一：设圆心为P(a , b),半径为r .则P到x轴、y轴的距离分别为 b和由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ,故圆截x轴所得弦长为v'2r .2b2又圆截y轴所得弦长为2.P(a, b)到直线x 2y 0的距离为a 2b|、52b2当且仅当2b24b24b2b时取4ab_222(a b )号，此时dmina这时有 22b2ba2 1ala 1 或 b 1 b 1又r2 2b22故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)22或(x 1

19、)2 (y 1)2 2解法二：同解法一，得a 2b|,5a 2bJ5d .2. 2_ 2a4b475bd 5d .22将a2b1代入上式得：2b2 4。5bd 5d2 1 0 .上述方程有实根，故8(5d2 1) 0,.5将d 代入方程得b 1.5又 2b2 a2 1. . a 1 .由a 2b 1知a、b同号.故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 .说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O： x2y2 4 ,求过点P 2,4与圆O相切的切线.2k 4解：,一点P 2,4不在

20、圆O上， ，切线PT的直线方程可设为 y k x 2根据d r,1 k23解得k 一43所以y x 244即3x 4y 10 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x 2 .说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏22 一一一一 ，、 一y D?xE2 yF20 相交于AB的方程，但是求两圆交点坐解）.还可以运用XoX y°y r ,求出切点坐标 xO、y°的值来解决，此时没有漏解.例 6 两圆 Ci： x2 y2 Dix Ei

21、yFi0 与 C2： x2A、B两点，求它们的公共弦 AB所在直线的方程.分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线 标的过程太繁.为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧.解：设两圆Ci、C2的任一交点坐标为（ , y°）,则有:22x0y0Dix0Eiy0Fi022x0y0D2x0E2 y0F20一得：（Di D2）x0 （EiE2) y0FiF20 .A、B的坐标满足方程（DiD2)x (Ei E2)y Fi F20.，方程(D D2)x (EiE2)y FiF2 0是过A、B两点的直线方程.又过A、B两点的直线是唯一的.，两圆Ci、C2的公共弦AB所在直线的方程为（Di

22、 D2）x （Ei E2）y Fi F2 0 .说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说，这是一种“设而不 求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线 方程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛.22例7、过圆x y i外一点M （2,3）,作这个圆的两条切线 MA、MB ,切点分别是A、 B ,求直线AB的方程。练习：22i.求过点M（3,i）,且与圆（x i） y4相切的直线l的方程.解：设切线方程为 y i k（x 3）,即kx y 3k i 0 ,圆心

23、（1,0）到切线l的距离等于半径2 ,.|k 3k 1|3.，切线万程为y 1（x 3）,即3x 4y 134当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x 3,故直线x 3也适合题意。所以，所求的直线l的方程是3x 4y 13 0或x圆心（1,0）到此直线的距离等于半径2 ,3.5 一2、过坐标原点且与圆 x2 y2 4x 2y - 0相切的直线的方程为解：设直线方程为 y kx,即kxy 0；,圆方程可化为（x2)2 (y,.10为（2, -1）,半径为一声依题意有2k 1k2 110，解得21»一,直线方程为3y 3x或1y 3x.3、已知直线5x 12 y a 0 与圆x2 2x0

24、相切,a的值为解：:圆（x1）2 y2 1的圆心为（1,0）,半径为1, .)521221,解得a 8或a 18.类型三：弦长、弧问题例8、求直线l : 3x y 6 0被圆C :2x 4y0截得白勺弦AB的长.例9、直线V3x y 2氐 0截圆x2 y2解：依题意得，弦心距d J3 ,故弦长|AB故截得的劣弧所对的圆心角为AOB .3222例10、求两圆x y xy2 0和x 类型四：直线与圆的位置关系 例11、已知直线-Wx y 2,3 例12、若直线y x m与曲线y4得的劣弧所对的圆心角为2%2 d22 ,从而 OAB是等边三角形,2y 5的公共弦长0和圆x2y24 ,判断此直线与已知

25、圆的位置关系v4 x2有且只有一个公共点，求实数 m的取值范围解：.曲线y v4 x2表示半圆x2 y2 4（y 0）, .利用数形结合法，可得实数m的取值范围是 2 m 2或m 2 J2.例13圆(x 3)2 (y 3)2 9上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有几个?分析：借助图形直观求解.或先求出直线 11、12的方程，从代数计算中寻找解答._ 2_ 2解法一：圆(x 3) (y 3)9的圆心为。1(3,3)，半径r 3.3 3 4 3 11设圆心O1到直线3x 4y 110的距离为d ,则d J,2 2 3 .3242如图，在圆心 O1同侧，与直线3x 4y 11 0平行且距离为

26、1的直线11与圆有两个交 点，这两个交点符合题意.又r d 3 2 1.，与直线3x 4y 11 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有 3个.解法二：符合题意的点是平行于直线 3x 4y 11 0,且与之距离为1的直线和圆的r m 11交点.设所求直线为 3x 4y m 0,则d !11,32 42.m 115,即 m 6,或 m 16,也即11:3x 4y 6 0,或 12：3x 4y 16 0.22设圆O1:(x 3) (y 3)9的圆心到直线11、12的距离为d1、d2,则d1_22,32423, d23 16, 324211与O1相切，与圆。1有一个公共点

27、；12与圆。1相交，与圆。1有两个公共点.即符合题意的点共3个.说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：3 3 4 3 11设圆心O1到直线3x 4y 11 0的距离为d ,则d ,- 2 3.、 3242，圆Oi到3x 4 y 11 0距离为1的点有两个.显然，上述误解中的 d是圆心到直线3x 4y 11 0的距离，d r ,只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.到一条直线的距离等于定值的点， 在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点. 求直线与圆的公共点个数， 一般根据圆与直线 的位置关系来判断，即根据圆心

28、与直线的距离和半径的大小比较来判断.练习1 ：直线x1与圆x22ay 0 (a 0)没有公共点，则a的取值范围是解：依题意有a 亚 1 . a 0 , 0 aV21.练习2:若直线ykx 2与圆(x2)2(y 3)2 1有两个不同的交点， 则k的取值范围解：依题意有2kU 1 ,解得0,k2 14k的取值范围是(0,一).3练习3、圆x2 y2 2x4y 30上到直线0的距离为< 2的点共有().以选练习(A) 1 个(B)(C)(D) 4 个22_分析：把x y 2x4y3 0化为x_ 2-_28 ,圆心为 1,2、/2,圆心到直线的距离为<2 ,所以在圆上共有三个点到直线的距离

29、等于C.4、过点P 3, 4作直线2l ,当斜率为何值时，直线l与圆C : x 1有公共点，如图所示.分析：观察动画演示，分析思路.解：设直线l的方程为kx3k根据d3k整理得3k2 4k 0解得类型五：圆与圆的位置关系 问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例 14、判断圆 C1:x2 y2 2x 6y 26 0 与圆 C2：x2 y2 4x 2y 4 0 的位置 关系，例15：圆x2 y2 2x 0和圆x2 y2 4y 0的公切线共有 条。解：圆(x 1)2 y2 1的圆心为Oi(1,0),半径ri 1,圆x2 (y 2)2 4的圆心为 O2(0, 2),半径b 2,O1O2|V5,r1r2

30、3,r2r11；r2r1O1O2r1r2,，两圆相交.共有2条公切线。一一 24my 4m 8 0相切，则实数22.2,圆(x 1) (y 2m)9 的练习21:右圆x2_222_y 2mx m 4 0 与圆 x y 2xm的取值集合是.22解：,圆(x m) y4的圆心为O1(m,0),半彳5 rl圆心为。2(1,2m),半径23,且两圆相切，.。1。22或。1。221,C(m 1)2 (2m)2 5 或4(m 1)2 (2m)21,解得 m 12 或 m 2,或 m 0 或55 125m5,.实数m的取值集合是,5,0,2.2522：求与圆x2y25外切于点P( 1,2),且半径为2，5的

31、圆的方程22解：设所求圆的圆心为 O1(a,b),则所求圆的方程为(x a) (y b) 20;两圆外切11 ,于点 P , OP -OO1 ,( 1,2) (a,b)，.二 a 3,b6 , 所 求圆的万 程为31322(x 3)2 (y 6)2 20.类型六：圆中的对称问题例16、圆x2 y2 2x 6y 9 0关于直线2x y 5 0对称的圆的方程是 例17自点A 3,3发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C: x2 y2 4x 4y 7 0相切(1)求光线l和反射光线所在的直线方程.(2)光线自A到切点所经过的路程.分析、略解：观察动画演示，分析思路.根据对称关系

32、，首先求出点A的对称点A的坐标为3, 3 ,其次设过 A的圆C的切线方程为根据d r,即求出圆C的切线的斜率为4 、k 或 k - 3进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x 3y 3 0 或 3x 4y 3 0最后根据入射光与反射光关于 x轴对称，求出入射光所在直线方程为光路的距离为 A'M ,可由勾股定理求得 AMACCM4x 3y 3 0或 3x 4y 3 0说明：本题亦可把圆对称到 x轴下方，再求解.类型七：圆中的最值问题2例18:圆x4x 4y 10 0上的点到直线xy 140的最大距离与最小距离的差是解:圆(x2)22(y 2)18的圆心为(2, 2),半径r3J2, 圆心

33、到直线的距离102(dr)(d r)2r 6.2.r,，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2222例19 (1)已知圆Oi：(x 3) (y 4)1, P(x, y)为圆。上的动点，求d x y的最大、最小值.(2)已知圆O2:(x 2)2 y2 1, P(x, y)为圆上任一点.求 上一2的最大、最小值，求x 1x 2 y的最大、最小值.分析：（1）、（2）两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.22解：（1）（法1）由圆的标准万程（x 3） （y 4）1 .y 4 sinx 3 cos , 可设圆的参数方程为（是参数）.rtr, 22-2.2则d

34、 x y 9 6 cos cos 16 8sin sin426 6cos 8sin 26 10cos( )(其中 tan ).3所以 dmax 26 10 36, dmin 26 10 16.（法2）圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径1,圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离 d1减去半径1.所以 d1，32 42 1 6.d2 v32 42 1 4.所以 dmax 36 . dmm 16 、，722 ，、， x 2 cos ,（2）（法1）由（x 2） y 1得圆的参数方程：是参数.y sin ,sin2人 sin2 ,.令t,cos3 cos3)2 3t

35、得 sin tcos 2 3t , J1 t2 sin(2 3t ./一* sin() 1V1t2|所以tmax3.34tmin3 .34y 2_3 < 33 .3即上二的最大值为，最小值为 x 144此时 x 2y 2 cos 2sin 2 75cos().所以x 2y的最大值为 2 <5 ,最小值为 2 庭.y 2（法2）设上一 k ,则kx y k 2 0 .由于P（x, y）是圆上点，当直线与圆有交点x 1时，如图所示,2 y t ,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值.所以x 2y的最大值为 2 J5 ,2,例 20：已知 A( 2,0), B(2,0),点 P

36、在圆(x 3) (y4)2224上运动，则PA PB的最小值是2解：设 P(x, y),则 PA设圆心为C(3,4),则op练习:PB2(xmin OC r2. . 21:已知点P(x, y)在圆x (y 1)2)2y2 (x 2)23， |PA21上运动.2(x2 y2)2PB的最小值为(1)求 上的最大值与最小值；(2)求2x y的最大值与最小值.解：(1)设8 2OP2 8.2 32 8 26.2上 k ,则k表示点P(x,y)与点(2, 1)连线的斜率.当该直线与圆相切时,x 2, 2k3k取得最大值与最小值 .由j °1 ,解得k ,.k 13y 1_3y-的最大值为，最小

37、值x 23两条切线的斜率分别是最大、最小值.2k k 23 . 3 1 ,得 k ,1 k24y 2钻曰上/古* 3.3 日一古* 3.3所以的最大值为,最小值为(2)设2x y m,则m表示直线2x y m在y轴上的截距.当该直线与圆相切时,取得最大值与最小值1 m 51,解得m75,2x y的最大值为1 J5 ,最小值为1 . 5.2设点P(x, y)是圆x2 y2 1是任一点，求u 工2的取值范围. x 1分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y ,转化为三角问题来解决.22解法一：设圆x y1上任一点P(cos , sin )0,2 ).u s, .ucos u sin 2 cos

38、1u cos sin (u 2).即 du2 1 sin( ) u 2 (tan u)sin(u 2).又 sin( ) 11*11. 一 3解之得：u .4分析二：u的几何意义是过圆 x2 y2 1上一动点和定点(1,2)的连线的斜x 122率，利用此直线与圆 x y1有公共点，可确定出 u的取值范围.y2 _. . . _.22.解法二：由u -一得：y 2 u(x 1),此直线与圆 x2 y2 1有公共点，故点 x 1(0,0)到直线的距离d 1 .解得：u另外，直线y 2 u(x 1)与圆x2 y2 1的公共点还可以这样来处理:(u2 4u 3) 0,y 2 u(x 1)222由 22

39、 消去 y后得：(u 1)x(2u 4u)xx2 y2 1此方程有实根，故(2u2 4u)2 4(u2 1)(u2 4u 3) 0,. 一 3解之得：u .4说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便.3、已知点 A( 2, 2), B( 2,6), C(4, 2),点 P 在圆 x2 y2 4 上运动，求 PA 2 | PB| 2 PC的最大值和最小值.类型八：轨迹问题1例21、基础训练：已知点 M与两个定点O(0,0), A(3,0)的距离的比为 一，求点M的轨迹2方程.例22、

40、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.2例23如图所不，已知圆O: x2y 4与y轴的正万向交于A点，点B在直线y 2上运C,求 ABC垂心H的轨迹.动，过B做圆O的切线，切点为分析：按常规求轨迹的方法， 设H (x , y),找x, y的关系非常难.由于H点随B , C点运动而运动，可考虑 H, B, C三点坐标之间的关系. 一一一, ''、 解：设 H(x,y), C(x,y),连结 AH, CH,BC是切线OC BC,OA OC,则 AH BC, CH AB, 所以 OCAH , CH OA,所以四边形AO

41、CH是菱形. y y 2, 所以CH OA 2,得L y ,x x.22 一又 C(x , y )满足 x y 4,所以x2 (y 2)2 4(x 0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程.做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法.类型九：圆的综合应用例24、已知圆x2 y2 x 6y m 0与直线x 2y 3 0相交于P、Q两点，。为原点，且OP OQ ,求实数m的值.分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解.解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB , P

42、Q交于M，显然OM AB , AB PQ ,在直角三角形 AOM中，若设Q(x, y),则M (Ja ,Lb) . 22由 OM 2 AM 2 OA2,即x a 2 V b 21222(-)2 (=)2 -(x a)2 (y b)2 r2，.一 22222也即-y 2r (a b ),这便是Q的轨迹方程.222222解法一：设Q(x,y)、A(x1,y1) > B(x2,y2),则 xVi r ,x2y2r .又 PQ2 AB2 ,即,、22,、2,、22(x a) (y b)(x1 x2)(yi y?)2r2(x1x2 yy2) .又AB与PQ的中点重合，故 x a x1 x2, y

43、b y1 y2，即222(x a) (y b) 2r 2(.2 yy?)+，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).这就是所求的轨迹方程.解法三：设 A(rcos , r sin )、B(r cos , r sin )、Q(x , y),由于APBQ为矩形，故 AB与PQ的中点重合，即有x a r cos r cos ,y b rsin r sin ,又由PAPB有庄nr cosr sinbr cosa联立、消去，即可得Q点的轨迹方程为x2 y2 2r2 (a2 b2).说明：本题的条件较多且较隐含， 解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质， 否则，将使解题陷入困境之中.本题给出三种解

44、法. 其中的解法一是几何方法， 它充分利用了图形中隐含的数量关系.而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法.解法二涉及到了x1、x2、y1、y2四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆x2 y2 r2的参数方程，只涉及到两个参数 、，故只需列出三个方程便可.上述三种解法的共同之处是，利用了 图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解.练习：1、由动点P向圆x2 y2 1引两条切线PA、PB ,切点分别为 A、B, APB=600, 则动点P的轨迹方程是 .解：设 P(x, y). APB =600,OPA =300. . OA AP , . OP 2OA 2, .&a

45、mp; y2 2,化简得x2 y2 4, 动点P的轨迹方程是x2 y2 4.练习巩固：设A( c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到A点的距离与到 B点的距离的比为定值a(a 0),求P点的轨迹.PA解：设动点P的坐标为P(x, y).由 PBa(a22(x c)y22.(x c)y化简得(1 a2)x2 (1a2)y2 2c(1 a2)x c2(1 a2) 0.当 a 1 时，化简得 x2 y2 2c(1 a2)x c2 0,整理得(x ¥-c)2 y2(二空)2;1 aa 1a 1当a 1时，化简得x 0.所以当a1时，P点的轨迹是以d-c,0)为圆心, a 12a

46、ca2 1为半径的圆;当a 1时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点A( 2,0), B(1,0),如果动点P满足PA 2PB ,则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是(x, y)曲PA 2 PB ,得J(x 2)2 y2 2%/(x 1)27，化简得(x 2)2 y2 4, 点P的轨迹是以(2, 0)为圆心，2为半径的圆，所求面积为424、已知定点B(3,0),点A在圆x22y21上运动，M是线段AB上的一点，且一'1'、，、口八AM -MB ,问点M的轨迹是什么?3解：设 M (x, y), A(x1, y1) . AM1 二 ，、-MB , . (x x1, y y

47、1)1(3 x, y), 31x x1- (3 x)x13.1y y13yy11:点A在圆x243y2y1上运动,2x11,4242a - (4x 1)(4y)1,即(x 3)2 y2334,点M的轨迹方程是(x -)2164916例5、已知定点B(3,0),点A在圆x2 y21上运动,AOB的平分线交 AB于点M ,则点M的轨迹方程是解：设 M(x, y), A(xi,yi).OM 是 AOB 的平分线，. IAM1 lOA 1 , AM 1 MB . MB OB 33由变式1可得点M的轨迹方程是(x 3)2 y2.416练习巩固：已知直线 y kx 1与圆x2 y2 4相交于A、B两点，以

48、OA、OB为邻边作平行四边形 OAPB ,求点P的轨迹方程.解：设P(x, y) , AB的中点为M . OAPB是平行四边形，M是OP的中点，点M的坐标为(x,y),且OMAB.直线y kx2 2OM CM (-,-) (-,- 1) (-)2 -(- 1)2 22 222 2迹方程是x2 (y 1)21.1 经过定点 C(0,1), OM CM ,0,化简得x2 (y 1)21.点P的轨类型九：圆的综合应用22-例25、 已知圆x y x 6y m0与直线x 2y 30相交于P、Q两点，O为原点，且OP OQ ,求实数m的值.分析：设P、Q两点的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则由k

49、0PkOQ1 ,可得或因为通过原点的直线的斜率x#2 yy20 ,再利用一元二次方程根与系数的关系求解.为y ,由直线l与圆的方程构造以 xy为未知数的x二次方程，由根与系数关系得出k°P %q的值，从而使问题得以解决.解法一：设点P、Q的坐标为(Xi , y1)、(x2, y2). 一方面，由OP OQ,得kOP kOQ 1 ,即“正X1 X2X1X2y1 y2另一方面，(x , y1)、(X2 , y2)是方程组2y2y6y m的实数解，即x1、x2 0是方程 5x2 10x 4m 27的两个根.1- x1x22,XiX24m 275又P、Q在直线x 2y 3 0上,1，c、yiy22 (3xi)1 _、1 rc1(3x2)4 93(xix2)xix2将代入，得y1y2 m-2.5将、代入，解得 m 3,代入方程，检验 0成立, m 3.解法二：由直线方程可得3 x 2y,代入圆的方程