高三数学理科模拟试题及答案

1、10i1. 一2-ia. -2+4ib. -2-4ic. 2+4iD.2-4i解：原式10i(2+i)(2-i)(2+i)4i .故选a.2.设集合A x |x3 ,B,x 1x| 0x 4AI B =A.b. 3,4c. 2,1D.4.解：Bx|x|(x1)(x 4)x |1 x 4 .AI(3,4).故选 B.3.已知ABC 中，cot A12贝 U cosAA.1213解：已知 ABC中,cot A55B. 一1312C._513D.1213A (2cos A 七J12tan2 A1 ( .5)1213故选D.x 4.曲线y 在点2x 11,1处的切线方程为A. x y 2 0B. xy

2、 2 0 c. x4y0 d. x4y( 2x 1 2x.解：y |x 1 1 |x(2x 1)21 (2x?1x11,故切线方程为y 1 (x1)，即 x y2 0 故选B.5.已知正四棱柱ABCD ABC1D1中，AA12AB, E为AAi中点，则异面直线BE与CDi所成的角的余弦值为10A.101B.-53 10c.103 d.5异面直线BE与CD1所成的角即AB解：令 AB 1 则 AA 2,连 ABQC1D / AB与BE所成的角。在ABE中由余弦定理易得cos A1BE3.1010故选C6.已知向量aa. .5B. .10c.5D.25r 解：Q 50 |ab|2r 2 r r r

3、 2|a|1 2 2agb |b|2 5 20r 2 r |b|2 |b| 5。故选 c7 .设a log3 ,b log2 V3,c log3V2,贝Ua. a b cb. a c bc. bac解：Qlog3J2 log2J2 log2 73 b clog2 3 log2 2 log3 3 log3 a b a b c .故选 a.d. b c a8 .若将函数y tan x 一40的图像向右平移 一个单位长度后，与函数 y tan6x 的图像6重合，则的最小值为A.B.C.D.解：y tan x 4向右平移一个单位6y tan (x ) tan 642,1 ,a b 10,|a b| 5

4、J2,则 |b |9.已知直线y1k 6k (k Z),62min1.故选D22 一k x 2 k 0与抛物线C: y 8x相交于A B两点，F为C的焦点，若|FA| 2| FB |, M ky k x 2 k 0恒过定点p2,0 .如图过A B分别作AM l于M ,于N ,由1_|FA| 2|FB|,则 |AM | 2 |BN |,点 B 为 ap 的中点.连结 OB ,则 |OB | |AF|, |OB|BF| 点 22 2 0 2 2B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,272) k -二一,故选D1(2)310.甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有 1门不相同的选

5、法共有A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种D. 36 种解：用间接法即可.C2 C422C430种.故选C11.已知双曲线C:b1 21 a 0,b0的右焦点为F ,过F且斜率为J3的直线交C于A、B两点，若AF 4FB,则C的离心率为A.B.C.D.2X设双曲线C: R a2 y b21的右准线为l ,过A、B分别作AM l于M,BN l于N,BD AM于D,由直线AB的斜率为 J3,知直线AB的倾斜角为160 BAD 60 ,| AD |AB|,2由双曲线的第二定义有1 uuur uuu| AM | | BN | | AD |(| AF | | FB |)eB.北C.西13.4.3

6、 3的展开式中x y的系数为 63x2y2(，x Jy)4，只需求(Jx J"y)4展开式中的含xy项的系数：C： 614.设等差数列an的前n项和为Sn,若a5LS95a3 贝 ll S5解：Q an为等差数列,S9S15 .设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45。角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于7,则球o的表面积等于 8 .解：设球半径为R,圆C的半径为r,由4 r2 乙，得r2 7. 44因为OC.2 R 22-.2 c、221c272R。由 R (R) r R 一仔 R2 244842 .故球O的表面积等于82216 .已知AC、BD为圆O:x

7、y4的两条相互垂直的弦，垂足为M 1,72，则四边形ABCD的面积的最大值为。解：设圆心。到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22 OM 23.四边形 ABCD 的面积 S 1 |AB| |CD | 25(4 d12)(4- d22) 8 (d12 d22) 5 232二、斛答题：17设 ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A C) cos B , b ac,2求B。33 一分析：由cos(A C) cosB ,易想到先将B (A C)代入cos(A C) cosB 一得 223 一-3，2cos(A C) cos(A C) 一然后利用两角和与差的余弦公式展开得

8、sin Asin C 一 ；又由bac,利用242一.3,、2正弦TE理进仃边角互化，仔 sin B sin Asin C ,进而得sin B .故B 或。大部分考生做到这233里忽略了检验，事实上，当 Bcos(A C) cos(A C)2.也可利用右bac则b2 1.时，由cosB cos(A C)一，进而得3 23 一2 1,矛盾，应舍去。22a或b c从而舍去B 。不过这种方法学生不易想到18 (本小题满分12分)如图，直三棱柱 ABC AB1cl中，AB AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE 平面BCC1(I)证明：AB AC(II)设二面角A BD C为60° ,

9、求B1c与平面BCD所成的角的大小。(I)分析一：连结be, Q ABC AB1cl为直三棱柱，B1BC 90 ,Q E为B1c的中点，BE EC。又DE 平面BCC1,BD DC (射影相等的两条斜线段相等)而 DA 平面ABC ,AB AC (相等的斜线段的射影相等)。分析二：取BC的中点F，证四边形AFED为平行四边形，进而证AF / DE , AF BC，得AB AC 也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。(II)分析一：求B1c与平面BCD所成的线面角，只需求点 B1到面BDC的距离即可。作AG BD于G,连GC,则GC BD , AGC为二面角A BD C的平面角， AGC

10、 60 .不妨设 AC 2J3,则 AG 2,GC 4 .在 RT ABD 中，由 AD AB BD AG ,易得 AD J6 .成的BC ® AFED ,所以面设点B1到面BDC的距离为h , B1c与平面BCD所11角为。利用二S BBC DE -S BCD h，可求得 33h 2M,又可求得B1c 4 J3h 1sin30 .B1c2即B1c与平面BCD所成的角为30 .分析二：作出B1c与平面BCD所成的角再行求解。如图可证得AFED 面BDC。由分析一易知：四边形 AFED为正方形，连AE、DF ,并设交点为O ,则EO 面BDC , OC为EC在面BDC内的射影。ECO即

11、为所求。以下略。19 (本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn,已知a1 1,Sn1 4an 2(I)设bn an 1 2an,证明数列bn是等比数列(ii)求数列an的通项公式。解：(I)由 a11,及 Sn 1 4an2,有a1a24a1 2,a23a12 5,b1a22a13由 Sn 1 4an 2 , . . 则当 n 2 时，有 Sn 4an 1 2一行 an 1 4an 4an 1, an 1 2an 2(an 2an 1)又Q bn an 1 2an,bn2bn 1 bn是首项匕 3 ,公比为2的等比数歹U.(II)由(I)可得 b an 12an3 2n1 ,亘3曳-n

12、n 1 n2n 1 2n4一 a13数列是首项为-，公差为-的等比数列.2n24-n(n 1)39nL an(3n1) 2n 222444评析：第(I)问思路明确，只需利用已知条件寻找bn与bn 1的关系即可.n 1第(II)向中由(I)易得an 1 2an 3 2,这个递推式明显是一个构造新数列的模型：an 1pan qn( p,q为常数)，主要的处理手段是两边除以 qn 1 .20 (本小题满分12分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。(I)求从甲、乙两组各抽

13、取的人数；(II)求从甲组抽取的工人中恰有 1名女工人的概率；(III)记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望(II)在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。(III )从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率P的可能取值为0, 1, 2, 3151)c4c6c3c"c228"CiTc5C120c575p(0) C4- C1 -6, p(C120 c575P(3)c2 c2Ci c510一,P( 2) 1 P(750) P(1) P( 3)317521 （本小题满分12分)已知椭圆22C：± LC ：2,2a b1（a b 0）的离心率为 3F

14、的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时，坐标原点。至U l的距离为2（I）求a , b的值;（II）C上是否存在点P,使得当l绕f转到某一位置时,uuu 有OPuuu uuuOA OB成立?若存在，求出所有的p的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。解：(I)设 F(c,0)y c 0 ,由坐标原点O到l的距离为 2由题意知l的斜率为一定不为0,故不妨设l: xmy 1|0 0 c| 2c .3 厂 厂则 尸一-解得 c 1.又e , a V3,b 22.,22a 3代入椭圆的方程中整理得(2m2x y(II)由(I)知椭圆的万程为 C: 1.设 A(x1,y1)、B (x2,y2) 2

15、 3)y2 4my 4 0,显然 0。,、一，4m4由韦达定理有：y1y22-, y1 y2,2m 32m 3uuu uuu uuu.假设存在点p,使OP OA OB成立，则其充要条件为：(x. Xc )2(y Vc )2点P的坐标为(x, x2,y1 y2),点p在椭圆上，即 J 1 o322_2_2_2一一整理得 2x13yl2x23y24x1x26yly26。2_2_2_2一又 A、B在椭圆上，即 2x13yl6,2x23y26.故 2x1x2 3yly2 3 0 221将x1x2 (my1 1)(my2 1) m yy m(y1 y) 1 及代入解得 m 一2y1y2”或?，W22m2

16、3,即呜争当 m 立时下(3, a),l:x i； 222222.(本小题满分12分)2设函数f x x aIn 1 x有两个极值点x1、x2，且x1 x2(i)求a的取值范围,并讨论x的单调性;(II)证明：f x21 21n242a 2x 2x a .解： f x 2x (x1 x 1 x1)2令g(x) 2x 2x a ,其对称轴为x1口、*，、一。由题意知x1、x2是万程g(x) 0的两个均大于 1的不2“4 8a 0 -1相等的实根，其充要条件为，得0 a -g( 1) a 02当 x ( 1,x1)时，f x0, f (x)在(1,x1)内为增函数;当 x (x1, x2)时，f x0, f (x)在(x1, x2)内为减函数;,222Ty1.2x 2(2x 1)ln 1 x 2x2(2x 1)ln 1 x当x (x2,)时，f x 0, f (x)在(x2,)内为增函数;,_12(ii)由(i) g(0) a 0,- x20, a (2x 2+2x2)21-、一 1当x ( 一 ,0)时，h x 0, h(x)在,0)单调递增; 22当x (0,)时，h x 0, h(x)在(0,)单调递减。故f x2hd)1 21n241J222_2.3. 3. 3.32解：设