计算方法习题集(含答案)第四版

1、习题1.11 .什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如 何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法2 .试证明及证明：（1）令即又即设，不妨设，令即对任意非零，有下面证明存在向量，使得，设，取向量。其中。显然且任意分量为，故有即证。3 .古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有 多少位有效数字？解：该近似值具有7为有效数4 .若T（hg近其精确值T的截断误差为其中，系数与h无关。试证明由所定义的T的逼近序列的误差为，其中诸是与h无关的常数。证明：当m=0f设m二时等式成立，即当 m=k+01O习题2 .11.试构造迭代收敛的公式求解下列方程:00.250.2

2、5098 0.25098种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式求出附近的根到4位有效数字。解：(1) 局部收敛(2) 局部收敛(3) 不是局部收敛迭代公式(1):012345671.5 1.44444.47929.456!)71347108.416209.46779.44161.，4910-12-431415461.465(1.%斗(I46593.4653.46571.46548.46563.465534.465595k心式(201-2345-61.51.481 1.473 1.469 1.467 1.466 1.4661.51.481 1.4173 1.469 1.4671.466 1.466

3、3.已知1 在a,tfr,一根，在a,lbt-阶可微,且，试;勾造一个,可邪方程等价于构造迭代公式令解：由于在a,bt也一阶可微故上述迭代公式是有局部收敛性.4 .设在方程根的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有 局部收敛性。证明：在邻近有连续一阶导数，则在附近连续，令则取则时有从而故令，由定理2.伏口，迭代公式是有局部收敛性。5 .用牛顿法求方程在3,小的根的近似值（精确到小数点后两 位）。次迭代公式k03136423«333.63y试证用牛顿法求方程在1,冲的根是线性收敛的解：6 .解：令y次迭代公式从而，时，故，故牛顿迭代公式是线性收敛的7 .应用牛顿法于方程,导出求立方

4、根的迭代公式，弁讨论其收敛 性。解：相应的牛顿迭代公式为 迭代函数， 则,习题3.11.设有方程组(1透察用Jacott, Gauss-Seda此方程组的收敛性;解:(2)用Jacobi及Gauss-Sed输方程组，要求当时迭代终止。(1) A是强对角占优阵。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。(2)雅克比法: 取初始向量，迭代1欧有(i=1,2)3 一高斯理德尔法： 一 取初始向量，迭代8次有(i=1,2)32 .设有方程组一迭代公式：，.求证由上述迭代公式产生 的向量序列收敛的充要条件是.证明：迭代公式中的矩阵，由迭代收敛的充要条件知 即证。3 .用SO由法解下列方程组(取松驰因子

5、)，要求.解：SO时法故，迭 代初值k00.000000()0000010.6000000.3S2000021.2720000.8S5440030.8582401.07164841.07134-0.96426850.964293101785961.0178570.99107170.99107-0.99776881.0044640.99776890.9977681.001116101.0011160.9)99442110.9994421.()00279121.0002790.9)99861130.99986-1.0)00070141.0000700.9)99965150.9999651.0)00

6、017161.0000170.9)999914 .用选列主元高斯消去法求解方程组解：解得5 .用追赶法解三角方程组解：高斯追元同代得解为6 .用三角分解法求解方程组解：系数矩阵三角分解为：原方程可表为：解得解得7 .用选主元法去法计算下列行列式的值解：8 . 设计算 解：题故又故卜差商表习题四.11.给出概率积分的数据表：试用二次插值计算X0.460.470.480.49f(x)().48465550.49375420.50274980.5116683解：取插值节点:2.已知y=sinX函数表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.991(56试构造出差商表，利用二次New

7、tOn值公式计算sin(1.609溜5位小数)，弁估计其误差.3 .设为互异节点()求证(1)(2)明：令又所以故原等式左边用二项式展开得:由结论得即证4 .若，求和.解：5 .证明两点三次Herm随值余项是证明：且即为的二阶零点设令易知又由微分中值定理(Roll定理)，使得进而 有三个零点，有两个零点，有一个零点, 即使得得6 .构造适合下列数据表的三次样条插值函数S(x)X-1013Y-113；31428解：已知边界条件即 从而解得当即时故同理，在及上均有7.用最小二乘法求一个形如的经第:公式，使上1卜列数据上例合X 1925313844解:Y19.032.349,073.397.8依题意

8、 故正则方程为解得故拟合 曲线为习题 5.1 试确定下面求积公式使其具三次代数精度.解：要公式有3次代数精度，需有解得： 故求积公式为2 在区间上导出含五个节点的 Newton-COteS,并指出其余项及 代数精度.解：当时，又 故 当时，有求积公式（）其中由Lagrange1定理有：故余项对（）至少有四次代数精度时 式（）左边=右边=时故（）式具有5次代数精度3 .分别用复合梯形公式及复合 SimpsOn式计算, （取步长h=1/6）.解：（1）用复合梯形公式故（2）用复合 Simpson:4 用变步长梯形求积公式计算, （精确到）.解：由得：5用Romb雷黎计算积分, （精确到）.解： 由

9、公式得：即已经达到预定精度取6.试构造两点GauSS式并由此计算积分（精确到）解：二次 LagendMiB式：GausS为由公式 得令即使得1 试用三种方法导出线性二步方法解：（ 1） TaylOg开法线性k步公式为得即得且（ 2） 数值积分法用矩形求积公式令（中矩形公式）即得：（ 3） 由隐式欧拉法得由显示欧拉法得1 代入 得2 .用TaylO1开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法解：线性k步公式为，在（6.1）中令7即 取。即满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令可得方法即为3 形如的k阶方法称为Ge而法，试确定一个三步 Ge而法，并给出其截断误 差主项。解：线性k步公

10、式为由GeaO勺定义知，三步Geafc满足方法为阶，故有得： 取得得三步Ge而法：其中4 .试用显式Euleft及改进的Euleft计算初值问题（取步长 h=0卫弁比较两者的误差。解：步长，真解显式法： 改进法： 显然改进的法误差小于法。5 .给出线性多步法 为零稳定的条件，弁证明该方法 为零稳定时是二阶收敛的.证明：线性多步法的相应多项式多项式的两根为：，。由判断零稳定的充要条件 根条件 知：此方法的零稳定的条件为得:当方法为零稳定时，从而，故方法是二阶收敛的6 .给出题（6.靠中时的公式的绝对稳定域.解：6.升当时，即为方法其相应的差分方程的多项式为令，即方法的绝对稳定域为2/302/301/4)3；/4的相