第十二章数项级数

1、第十二章 数项级数目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法,包括比较判别法,比式判别法,根式判别法和积分判别法重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性.第一节 级数的收敛性一 级数的概念在初等数学中,我们知道：任意有限个实数相加,其结果仍是一个实数,在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 从直观上可知,其和为1.又如, . 其和无意义；若将其改写为： 则其和为：0；若写为： 则和为1.（其结果完全不同）

2、.问题：无限多个实数相加是否存在和？如果存在和,和等于什么？定义1 给定一个数列,将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 （1）称为数项级数或无穷级数（简称级数）,其中称为级数（1）的通项.级数（1）简记为：,或.称之为级数的第个部分和,简称部分和.定义2 若数项级数的部分和数列收敛于（即）,则称数项级数收敛 ,称为数项级数的和,记作 =.若部分和数列发散,则称数项级数发散.例1 试讨论等比级数（几何级数） ,的收敛性.解：下面分情况讨论当当当当综上所述,几何级数在时收敛,在时发散例2 讨论级数的收敛性.解： 由于级数的敛散性是由它的部分和数列来确定的,因而也可以认为数项级数是数列的另一表

3、现形式.反之,对于任意的数列,总可视其为数项级数的部分和数列,此时数列与级数有相同的敛散性,因此,有 定理12.1（级数收敛的Cauchy准则） 级数收敛的充要条件是：对于任给正数,总存在正整数,使得当以及对任意的正整数,都有 .注：级数发散的充要条件是：存在某个,对任何正整数N,总存在正整数 ,有 . 推论 若级数收敛,则.注：若,则级数发散例3 讨论调和级数 的敛散性解：显然有,但当令 时,有 .因此,取,对任何正整数N,只要和就有 ,故调和级数发散.例4 应用级数收敛的柯西收敛准则,证明级数 收敛.证明：由于 = .故对,取,使当及对任何正整数,都有 .故级数收敛.收敛级数的性质定理12

4、.2 若级数与都有收敛,则对任意常数,级数也收敛,且.即对于收敛级数来说,交换律和结合律成立.定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.（即级数的敛散性与级数的有限个项无关,因为级数的敛散性只与部分和数列的极限有关系,但其和是要改变的）.若级数收敛,设其和为,则级数 也收敛,且其和为.并称为级数的第个余项（简称余项）,它代表用代替时所产生的误差.定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.注意：从级数加括号后的收敛,不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）.如：收敛,而级数是发散的.第二节 正 项 级 数一 正项级数收敛性的

5、一般判别原则若级数各项的符号都相同,则称为同号级数.而对于同号级数,只须研究各项都由正数组成的级数正项级数.因负项级数同正项级数仅相差一个负号,而这并不影响其收敛性.定理12.5 正项级数收敛部分和数列有界.证明：由于对,故是递增的,因此,有 收敛收敛有界.定理12.6（比较原则） 设和均为正项级数,如果存在某个正整数,使得对,都有（1）若,级数收敛,则级数也收敛；（2）若级数发散,则级数也发散.例1 考察的收敛性.解：由于当时,有 ,因正项级数收敛,故收敛. 推论（比较判别法的极限形式） 设和是两个正项级数,若 ,则 （1） 当时,级数、同时收敛或同时发散； （2）当且级数收敛时,级数也收敛

6、； （3）当且发散时,级数也发散.例2 讨论级数 的收敛性.解：,级数收敛,则级数收敛例3 级数是发散的解：,由级数的发散性,可知级数是发散的.二 比式判别法和根式判别法定理12.7（达朗贝尔判别法,或称比式判别法） 设为正项级数,且存在某个正整数及常数：(i)若对,有 ,则级数收敛 ；(ii)若对,有 ,则级数发散.证明：(i)不妨设对一切,有成立,于是,有 ,.故 , 即 ,由于,当时,级数(ii)收敛,由比较原则,可知级数收敛. 因此时,故级数发散. 推论（比式判别法的极限形式）设为正项级数,且,则 (i)当时,级数收敛；(ii)当（可为）时,级数发散；(iii)当时,级数可能收敛,也可

7、能发散.如：,.例4 讨论级数 的收敛性.解：,所以级数收敛例5 讨论级数的收敛性.解：当时,级数收敛；当时,级数发散；当时,通项极限不为零,级数发散定理12.8（柯西判别法,或称根式判别法） 设为正项级数,且存在某个正整数及正常数,(i)若对,成立不等式 ,则级数收敛；(ii)若对,成立不等式, 则级数发散.推论（根式判别法的极限形式）设为正项级数,且,则 (i)当时,级数收敛；(ii)当（可为）时,级数发散；(iii)当时,级数可能收敛,也可能发散.如：,.例7 研究级数的敛散性.解：,级数收敛说明：因 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数,也能用根式判别法来判断,即根式判别法较之比式

8、判别法更有效.但反之不能,如例6.三 积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.定理12.9 设为上非负减函数,则正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.证明：由假设为上非负减函数,则对任何正数A,在1,A上可积,从而有 ,依次相加,得 若反常积分收敛,则对,有于是知级数收敛.反之,若级数收敛,则对任意正整数,有.又因为上非负减函数,故对任何,有 , .故知,反常积分收敛.同理可证它们同时发散.例9 讨论级数的敛散性例10 讨论下列级数的敛散性(i), (ii) 第三节 一般项级数 一 交错级数 若级数的各项符号正负相间,即 （1）则称（

9、1）为交错级数.定理12.11(莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足下述两个条件：(i)数列单调递减；(ii)则级数(1)收敛. 证明 ( 证明部分和数列的两个子列和收敛于同一极限.)考察交错级数(1)的部分和数列的偶子列和奇子列 , . 由条件(i)上述两式中各个括号内的数都是非负的,从而数列是递减的,而数列是递增的.又由条件(ii)知道 ,从而是一个区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数,使得 . 所以数列收敛,即交错级数(1) 收敛.推论 若交错级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛的交错级数(1)的余和的符号与余和的首项相同 ,并有.二 绝对收敛级数及其性质   若级数

10、各项绝对值所组成的级数收敛,则称原级数为绝对收敛.若级数收敛,但各项绝对值所组成的级数不收敛,则称原级数为条件收敛.以级数为例, 来说明收敛不一定绝对收敛定理12.12 绝对收敛的级数一定收敛.一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛.   例1 判断级数是绝对收敛还是条件收敛.  我们把正整数列到它自身的一一映射：称为正整数列的重排,相应的对于数列按映射： 所得到的数列称为原数列的重排,相应于此,我们也称级数是级数的重排.定理12.13 设级数绝对收敛,且其和等于,则任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.设有收敛级数与收敛级数,则它们的乘积 按正方形排列顺序有：

11、按对角线排列顺序有： 定理12.14(柯西定理) 若级数与级数都绝对收敛,则按任意顺序排列所得到的级数乘积也绝对收敛,且其和等于.例2 等比级数, 是绝对收敛的,将按对角线顺序排列,则得到 . 三 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 对于型如的级数的判敛,可用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.引理（分部求和公式,或称阿贝尔变换）设和 为两组实数.记 ,则 .推论(阿贝尔引理) 设(i)是单调数组；(ii)对任一正整数 ,有,这里,则记时,有.定理12.15(阿贝尔判别法) 若为单调有界数列,且级数收敛,则级数 收敛.证明：由收敛,依柯西收敛准则,对任给,存在正数,使当时, 对任一正整数,都有 . 又由于数列单调有界,所以存在,使,应用阿贝尔引理可得到 .由柯西收敛准则知级数 收敛. 定理12.16 (狄利克雷判别法) 若数列单调递减,且,又级数的部分和数列有界,则级数 收敛.注1取数列单调递减,且 , ,由狄利克雷判别法 , 得交错级数收敛. 可见莱布尼茨判别法是狄利克雷判别法的