标准曲线最小二乘法拟合与相关系数

1、标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室尹情胜）1目的用最小二乘法拟合一组变量（为，儿，i = 1-n）之间的线性方程（y = ax+b）,表示两 变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）个人收集整理勿做商业用途一组数据（,力，i = 1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。（开 创者：英国统计学家卡尔 皮尔逊）个人收集整理勿做商业用途2最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（卅）与实测值（怀）差值的平方和（Q）最小。IIn式（ 1）个人收集Q二若（旳一亓）' = £ Cy axj- b/整理勿做商业用途3拟合方程的

2、计算公式与推导当Q最小时,(JQ fJQ 矿乔F;得到式（2）、式（3）：nnnQ 2(aXj + b£xi - £羽片)=0i= 1i = 1 i = 1式（2）nn=2(ax.+nb-y,) = 0i=11=1式（3）个人收集整理勿做商业用途由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）:nnn"WL吃 £ + bXj i= 1i = 1 i= 1式（ 4）个人收集整理勿做商业用途式（5）个人收集整理勿做商业用途n式（4）乘以n,式（5）乘以莖两式相减并整理得斜率a:nn ni = 1i = 1 i = 1a =斜率个人收集整理勿做商业用途nn“办卜（

3、办i）i = 11 = 1（k = xy /xx ,n* 积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5）,也即:n£儿-心）截距b =（ y-x） / n,差平均差）式（7）i - 1i = 14 / 54相关系数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度 的统计指标。相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的 离差为基础，通过 两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系 数。个人收集整理勿做商业用途相关系数rxy取值在-1到1之间。rxy = 0时，称x,y不相关；| rxy | = 1

4、时，称x,y完 全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| rxy | < 1时，X的变动引起丫的部分变动， rxy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大，|rxy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | rxy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| rxy |<0.5时，成为低度相关，当| rxy | < 0.3时，称为无相关。个人收集整理勿做商业用途nn式（7）个人收集整理勿做商业用途£（Xi-壬吃 7）2 I = 11 = 15临界相关系数的意义5.1临界相关系数中显著性水平（a）与置信度（P）的关系显著性水平取0.05,表示

5、置信度为95%;取0.01，置信度就是99%。个人收集整理勿做商业用途这个个人收在正常的分布条件下，一般要求实际值位于置信区间的概率应该在 95%以上, 置信区间为丫 ± 2S,从而置信区间的上下限分别为：Y1=a+bX+2S, Y2=a+bX-2S。 集整理勿做商业用途5.2临界值表中自由度（f）x、y、自由度（degree of freedom, f在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量 Z,但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时， 取值不受限制的变量个数。通常f=n-k。其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量 个数，或计算某一

6、统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。个人收集整理 勿做商业用途f=np1P= 1) O其中：n为样本数（点的个数）,P为因子数（P元回归，一元线性回归,-25.3相关系数临界值表附表7.n 0.100.050.020.010.001A10.987 690.099 6920.999 5070.999 8770.999 998 8120.900 000.950 000.980 000.990 000.999 00230.805 40.878 30.934 330.958 730.991 16340.729 30.811 40.882 20.917 200.974 06450

7、.669 40.754 50.832 90.874 50.950 74560.621 50.706 70.788 70.834 30.924 93670.582 20.666 40.749 80.797 70.898 2780.549 40.631 90.715 50.764 60.872 1890.521 40.602 10.685 10.734 80.847 19100.497 30.576 00.658 10.707 90.823 310110.476 20.552 90.633 90.683 50.801 011120.457 50.532 40.612 00.661 40.780 0

8、12130.440 90.513 90.592 30.641 10.760 313140.425 90.497 30.574 20.622 60.742 014150.412 40.482 10.557 70.605 50.724 615160.400 00.468 30.542 50.589 70.708 416170.388 70.455 50.528 50.575 10.693 217180.378 30.443 80.515 50.561 40.678 718190.368 70.432 90.503 40.548 70.665 219200.359 80.422 70.492 10.

9、536 80.652 420250.323 30.380 90.445 10.486 90.597 425300.296 00.349 40.409 30.448 70.554 130350.274 60.324 60.381 00.418 20.518 935400.257 30.304 40.357 80.393 20.489 640450.242 80.287 50.338 40.372 10.464 845500.230 60.273 20.321 80.354 10.443 350600.210 80.250 00.294 80.324 80.407 860700.195 40.231 90.273 70.301 70.379 97080