圆的证明与计算(一)教案

1、专题学习:圆的证明与计算(一教学目标:进一步掌握圆的一些重要定理, 熟悉圆的一些基本图形, 灵活运用所学知识解决圆中的有关证明与计算问题,提高学生的解题能力。教学重点:熟悉基本图形,运用所学知识解决圆中的证明与计算问题。 教学难点:解决此类问题的方法及常用辅助线的引出。 教学过程 ; 一 知识归纳1. 圆的定义 :主要是用来证明四点共圆 . 2. 圆中的重要定理 :(1垂径定理 :主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等 .(2三者之间的关系定理 : 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等 . (3圆周角性质定理及其推轮 : 主要是用来证明直角、角相等、弧相等 . (4切线的性质定理

2、:主要是用来证明垂直关系 . (5切线的判定定理 : 主要是用来证明直线是圆的切线 . (6切线长定理 : 线段相等、垂直关系、角相等 .3. 圆中几个关键元素之间的相互转化 :弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转 化 . 这在圆中的证明和计算中经常用到 . 二 考题形式分析:主要以解答题的形式出现 , 第 1问主要是与圆有关的证明, 切 的证明;有关线 段关系的证明; 有关角的关系的证明; 有关图形形状的判断等。 第 2问主要是与圆有关 的计算:求线段长 (或面积 ; 求线段比; 求角度的三角函数值 (实质还是求线段比 。 三 方法指导1.切线的证明方法:(1若切点明确,则“连半径

3、,证垂直” 。 (2若切点不明确,则“作垂直,证半径” 。 2、与圆有关的计算:计算圆中的线段长或线段比, 通常与勾股定理、 垂径定理与三角形的全等、 相似等知识 的结合,形式复杂, 无规律性。 分析时要重点注意观察已知线段间的关系, 选择定理进行线 段或者角度的转化。 特别是要借助圆的相关定理进行弧、 弦、 角之间的相互转化, 找出所求 线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。 四 基本图形图形 1:已知, AB 是 O 的直径, C 是 中点, CD AB 于 D 。 BG 交 CD 、 AC于 E 、 F 。 基本结论有: (1 CD =21BG ; BE=EF=CE; GF=

4、2DE(反之,由 CD =21BG 或 BE=EF可得:C 是中点 (2 OE=21AF , OE AC ;(3若 D 是 OB 的中点,则: CEF 是等边三角形; BC=CG=GA 图形 2:如图, ABC 内接于 O , I 为 ABC 基本结论有: (1如图 1, BD=CD=ID; AIB =90°+21 ACB ; (2如图 2,若 BAC =60°,则:BD+CE=BC.ABG 图 1图 2图形 3:以直角梯形 ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于 E , 基本结论有 :如图 1: AD+BC=CD ; COD = AEB =90° OD 平分 ADC

5、 (或 OC 平分 BCD ; ( “ CD 是 O 的切线 ” 四个论断中,知一推三 图形 4:如图 1:AB 是 O的直径,点 E 、 C 是 O 上的两点 ,基本结论有:(1在“ AC 平分 BAE ” ;“ AD CD ” ; “ DC 是 O 的切线”三个论断中,知二推一。 (2如图 2、 3, DE 等于弓形 BCE 的高; DC =AE 的弦心距 OF (或弓形 BCE 的半弦 EF。 (3如图(4 :若 CK AB 于 K ,则:CK=CD; BK=DE; CK=21BE=DC; AE+AB=2BK=2AD ; (4在 (1中的条件、中任选两个条件,当 BG CD于 G 时(如

6、图 5 ,则: DE=GB; DC=CG; AD+BG=AB;图形 5:如图 :Rt ABC 中, ACB =90°。点 O 是 AC 上一点,以 OC为半径作 O 交 AC 于点 E , 基本结论有 :(1如图 1,在“ BO 平分 CBA ” ;“ BO DE ” ; “ AB 是 O 的切线” ; “ BD=BC” 。四个论断中,知一推三。(2如图 2 G 是 BCD 的内心; ;图形 6:如图:Rt ABC 中, ABC =90°, 以 AB 为直径作 O 交 AC 于 D , 基本结论有:如图 1:(1 DE 切 O E 是 BC 的中点;(2若 DE 切 O ,

7、则: DE=BE=CE; D 、 O 、 B 、 E 四点共圆 CED =2 A 图形特殊化:在(1的条件下 如图 2:DE AB ABC 、 CDE 是等腰直角三角形; 图 1图 2图 1图 1A 图 2A 图 3A 图 4A 图 5A CG=GD A图形 7:如图, ABC 中, AB=AC,以 AB 为直径作 O ,交 BC 于点 D ,交 AC 于点 F ,基本结论有:(1 DE AC DE 切 O ;(2在 DE AC 或 DE 切 O 下,有: DFC 是等腰三角形; EF=EC; D 是 的中点。与 基本图形 1的结论重合。连 AD ,产生母子三角形。五 典型例题例 1. 如图,

8、 ABC 内接于 O , 60BAC =,点 D 是弧 BC 的中点. BC AB , 边上的 高 AE CF , 相交于点 H . 试证明:(1 FAH CAO =; (2四边形 AHDO 是菱形.例 2. ABP 中, ABP =90°,以 AB 为直径作 O 交 AP 于 C 点,弧 CF =CB ,过 C 作 AF 的 垂线,垂足为 M,MC 的延长线交 BP 于 D. (1求证:CD 为 O 的切线;(2连 BF 交 AP 于 E ,若 BE =6, EF =2,求AFEF的值。例 3. 如图, AB 为 O 的直径, 半径 OC AB , D 为 AB 延长线上一点, 过

9、 D 作 O 的切线, E 为切点,连结 CE 交 AB 于点 F .(1求证:DE=DF;(2连结 AE ,若 OF =1, BF =3,求 S ACE 的值 .例 4.如图, Rt ABC 中, C =90°, BD 平分 ABC ,以 AB 上一点 O 为圆心过 B 、 D 两点 作 O , O 交 AB 于点一点 E , EF AC 于点 F . (1求证: O 与 AC 相切; (2若 EF =3, BC =4,求 CF 的长 .图 1ABF 图 2例 5. 直角梯形 ABCD 中, BCD =90°, AB=AD+BC, AB 为直径的圆交 BC 于 E ,连

10、OC 、 BD 交于 F.求证:CD 为 O 的切线 若53 AB BE ,求 BECE 的值例 6. 如图,已知 ABC 中,以边 BC 为直径的 O 与边 AB 交于点 D ,点 E 为弧 BD 的中点, AF 为 ABC 的角平分线,且 AF EC 。 (1求证:AC 与 O 相切; (2若 AC =6, BC =8,求 EC 的长 例 7. 如图, ABC 中, AB =AC , 以 AC 为直径的 O 与 AB 相交于点 E , 点 F 是 BE 的中点. (1求证:DF 是 O 的切线. (2若 AE =14, BC =12,求 BF 的长五 课堂小结1. 强调切线的证明方法;2. 关于计算线段的长度,在没有学相似之前主要是设法