八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球(3)题-1文：付雨楼、段永建今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始成员段永建老师进源自付雨楼老 师分享的模型，教研QQ群（群号：545423319）步作图编辑优化分享。类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图3图4方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2b2c2，即 2RJOc2，求出 R例1A.（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为16 B . 20 C . 24体积为16，则这个球的表面积是（.32(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是解:(1) Va

2、2h16，a2，4R2 a22 h24 4 16 24，S24 ，选 C；(2)4R23 3在正三棱锥SABC 中,M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN ,若侧棱SA2j3,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下: 如图（3） -1，取AB, BC的中点D, E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心， SH 平面ABC， SH AB，AC BC， ADBD， CD AB， AB 平面 SCD，AB SC，同理:BC SA，ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图（3） -2，AMMN，SB/MN，AM

3、SB， AC SB，SB平面SAC，CSB SA, SB SC， SB SA, BC SA,SA 平面 SBC， SA SC，故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2(2 备2(2 忑)2(273)2236，即 4R236 ,正三棱锥SABC外接球的表面积是36C四面体 S ABCSA 平面ABC(6)解析:BCBAC120 ,SA AC 2, AB40D.31,则该四面体的外接球的表面积为（D ） A.11C.103如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为(4)在 ABC 中，BC2 AC2AB2 2ABB.

4、7, ABC的外接球直径为2rBC sinBAC6、4、3，那么它的外接球的表面积是1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形,BCCOS120(2R)2 (2r)2 SA2 (誓)2 4403（5）三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为ab12bcabc24， a 3， bac(6) (2R)b2c23, R234R3类型二、1.题设：如图5, PA 平面ABC解题步骤：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）则该几3，选a,b, C( a,b,c，则c 2 , (2r)2b229, S 4 R229第一步:将 ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝y PD必过球心

5、O ;第二步:Oi为ABC的外心，所以OOi 平面ABC，算出小圆Oi的半第三步:径O1Dasin Ar （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得be12r), OO1PA ；sin B sin C2利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2(2r)2 2R J PA2(2r)2 ；R Jr2 OO122.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点R2r2 OO12三棱锥PP点也是圆锥的顶点ABC的三条侧棱相等POi图6P图7-1PP01 图7-2图8PB.图8-3 _4PP图8-1图8-2解题步骤:第一步:确定球心0的位置

6、，取ABC的外心0i，则P,O,Oi三点共线;第二步:先算出小圆 01的半径AO1 r，再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）第三步:勾股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r2，解出 R方法二:小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为16C. D .以上都不对3A. 3B. 2()C解：选 C,(V3R)21R2,32V3rR21R2,42V3r0,OmiflrRT类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）P图9-1图9-2图9-3图9-41题设：如图9-1，平面PAC 平面ABC , 第一步：第二步:易知球心 O必是 PAC的外

7、心，即a在 PAC中，可根据正弦定理 sin A且AB BC （即AC为小圆的直径）PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径b cAC2r ；2.如图9-2，平面 PAC平面ABC，且ABsin B2R，求出Rsin CBC（即AC为小圆的直径）0C2O1C2 O1O2R2r2 O1O2AC2Jr2 O1O29-3，平面 PAC三棱锥P ABC的三条侧棱相等 圆锥的顶点 解题步骤：3.如图外心平面ABC，且ABBC三棱P（即AC为小圆的直径），且 P的射影是 ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点ABC的P点也是第一步:确定球心 O的位置，取 ABC的外心01，则P,0,01三点共线;第二步:先

8、算出小圆 Oi的半径AOir，再算出棱锥的高 POj h （也是圆锥的高）；第三步:勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2(h R)2 r2，解出 R4.如图9-3，平面PAC 平面ABC，且ABBC （即AC为小圆的直径），且 PA AC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2PA2 (2r)22R JPA2 (2r)2 ； R2 r2 OO12 R Jr2 OO12例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2j3，则该球的表面积为(2)正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 莊，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为2解：(1)由正弦定理或找球心

9、都可得 2RS 4 R249(2)方法一：找球心的位置，易知r 1 , h1,方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是42R 2, R 1 , V 34h r ,故球心在正方形的中心 ABCD处，R 1, V 3SAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球半径，(3)在三棱锥P ABC中，PA PB PCJ3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为(A.B.C. 4D.解：选D,圆锥A, B,C在以r逅的圆上，20的求面上,AABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直(4)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球 径,且SC 2，则此棱锥的体积为(B.D.422解：00

10、1 Jr2 r2J1爭1 -Sh326丘类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、图10-2，图圆柱的外接球)10-3,直三棱柱内接于球题设：如图10-1 ,是任意三角形)(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以第一步：确定球心0的位置，01是 ABC的外心，则001 平面 ABC ；第二步：算出小圆0“ 的半径 A01 r , 0011AA121h ( AA h也是圆柱的咼)；第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和 ABD的外心H1和H2 ；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 (£)22j 2 h 2r RI，解出R例4(1) 一个正六棱柱的底面上

11、正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为一，底面周长为3，则这个球的体积为8 解：设正六边形边长为正六棱柱的高为 h，底面外接圆的关径为3底面积为S 6 473，R2y/3 21x2 A(R(R1R 1，球的体积为V 43(2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上,ABACAAi2, BAC 120，则此球的表面积等于解：BC2丽，2r 藹4，r 2，R 亦，S20(3)已知EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EA EB3, AD 2, AEB 60，则多面体 EABCD的外接球的表面积为。16解析：折叠型，法一:EA

12、B的外接圆半径为r1OO1DR Vl 32 ；法二:O1MO2DVis2,R213 4, R 2, S 164(4)在直三棱柱ABCAl B1C1 中，AB4,AC6,A亍AA14则直三棱柱 ABC A1B1C1的外接球的表面积为160解析:2BC 163628,BC 2V7,2r2/7732R2r2(竽)2283403类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 0,连接0E,0C ；第三步：解OEH1，算出 OH1，在 Rt OCH1 中，勾股定理： OH2 CH12 OC2P

13、ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P ABC外接球的半径为.例5三棱锥解析:2ri222sin 602r1 r2 石，02h173，R2o2h22r1法二:O2HR2AO2AH1,CAH 2 O1H 2O1O2类型六、对棱相等模型（补形为长方体）(AB CD，AD BC，AC BD)题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBC x，ABCDy，AC BD z，列方程组,2ab22cb2c22a2x2y2z(2R)2 a

14、2b2补充:VaBCDabctabc64-abc3图12第三步：根据墙角模型,2RVa2 b2 c2R2222X y z8（222，求出R，例如,正四面体的外接球半径可用此法。(1)题例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的个截面如图，则图中三角形 (正四面体的截面)的面积是 (2) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是A.婕 B .逅 C431的球面上，其中底面的三个顶点)12解：(1)截面为 pcOi,面积是J2；(2)高h R 1，底面外接圆的半径为直径为2R(1)题解答图P设底面边长为a，则2Rsiny 2，3/

15、9;341三棱锥的体积为V Sh3(3)在三棱锥A BCD中，AB CD2,AD BC 3,ACBD 4,则三棱锥 A BCD外接球的表面积为29O 2解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a, b, c，则a2 b29 ,b2c2c2a2162(a2b2 c2) 9 4 1629，2(a2 b2 c2) 9 4 1629 ,a22929 ,4 R 2如图所示三棱锥 A BCD厂其中AB CD 5, AC BDb2c22T，S6,AD(4)表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为2(a2 b2 c2)25 36 491

16、10，a2 b2 c255，4R255，【55;对称几何体；放到长方体中】(5) 正四面体的各条棱长都为72，则该正面体外接球的体积为 BC解析：这是特殊情况,但也是对棱相等的模式，放入长方体中,2R 73，7,则该三棱锥外接球的a,b,c，55L73R ，V2类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设： APB ACB 90，C求三棱锥P ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O,连接1OP,OC，则0A 0B 0C 0P AB , 0为三棱锥P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出 2半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面

17、角大小无关，只要不是平角球半径都为定 值。例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4,则四面体ABCD的外接球的体积为(A.空 B .竺1295解：( 1) 2R AC 5 , R 5 , V2(2)在矩形 ABCD 中，AB 2, BC的外接球的表面积为BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D , )125百I 412512533,沿BD将矩形1254，选6ABCD折叠,连接AC ,所得三棱锥 A BCD解析：(2) BD的中点是球心0 , 2R BD,S 4 R213类型八、锥体的内切球问题1.题设：如图14，三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步:先现出内切球

18、的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;第二步:求DHiBD3P0 PH r, PD是侧面ABP的高;第三步:由 POE相似于PDH，建立等式：-0EDHP0 ,解出rPDC图142.题设：如图15，四棱锥ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步:先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;第二步:求 FH 1BC , P02PH r , PF是侧面PCD的高;第三步:由 POG相似于 PFH，建立等式： 29HF0，解出PFP3.题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r ,建立等式：VPABCVoABCVOPABVP ABCIsABC1SPAB r SPAC331sc SPBC3(S ABCS PABSpACS PBC ) r第三步:解出3Vp ABCSO ABCSO PABSO PACS0 PBC习题：1.若三棱锥A. 3ABC的三条侧棱两两垂直，且SA 2 ,B. 6C. 36D. 9SB SC4,则该三棱锥的外接球半径为(3解：【A】(2R)2 74 16