课程设计逻辑斯谛迭代与分叉、混沌

1、燕山大学课 程 设 计 说 明 书题目：逻辑斯谛迭代与分叉、混沌学院（系）： 年级专业： 学 号： 学生姓名： 指导教师： 教师职称： 燕山大学课程设计（论文）任务书院（系）： 基层教学单位： 学 号学生姓名专业（班级）设计题目逻辑斯谛迭代与分叉、混沌设计技术参数r速率参数 x坐标参数设计要求1.了解逻辑斯谛迭代中的分叉和混沌现象。2.学习、掌握MATLAB软件有关命令。工作量14个工作日左右每个工作日六到八小时工作计划2012/12/24-2012/12/26 实验选题2012/12/27-2012/12/31 查找资料2013/1/1-2013/1/5 实验论文 2013/1/62013/

2、1/7 论文检查和修饰参考资料1.黄永念 非线性动力学引论 北京大学出版社，20102.薛定宇 高等应用数学问题的matlab求解，清华大学出版社 3.蒙以正 Matlab5. 应用与技巧 (M.北京:科学出版社，1999.指导教师签字基层教学单位主任签字说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。年 月 日 燕山大学课程设计评审意见表指导教师评语：成绩： 指导教师： 年 月 日答辩小组评语：成绩： 组长： 年 月 日课程设计总成绩：答辩小组成员签字：年 月 日逻辑斯谛迭代与分叉、混沌摘要：逻辑新谛方程描述的是一个在有限资源空间中的简单种群的增长。当非线性系统参数发生变化时，

3、其平衡状态的稳定性发生质变的现象，称为分叉现象。这个参数称为临界值或分叉值。非线性科学中的混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具有敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。混沌现象是自然界中的普遍现象关键字：逻辑新谛方程，分叉现象，混沌现象Bifurcation and Chaos in Logistic equationAbstract：Bifurcation theory is

4、 the mathematical study of changes in the qualitative or topological structure of a given family, such as theintegral curves of a family of vector fields, and the solutions of a family of differential equations. Chaos theory is a field of study in mathematics, with applications in several discipline

5、s including physics, engineering, economics, biology, and philosophy. Chaos theory studies the behavior of dynamical systems that are highly sensitive to initial conditionsKeywords：Bifurcation theory ., Chaos theory, MATLAB语言简介。MATLAB语言是一种简单、高效的高级语言,是一种内容丰富、功能强大的分析工具,其应用范围几乎覆盖了所有的科学和工程计算领域。它是基于矩阵/数组

6、的高级语言，它包括流程控制语句、函数、数据结构和输入/输出等，它还具有面向对象编程的特点。逻辑斯谛方程可写为标准形式对于不同的r,观察数列的收敛情况。（1），相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=0.6;>>for i=1:30>>x=r*x*(1-x;x1(i=i;y(i=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o'计算结果见下图，由图中可知，迭代收敛于0，0迭代式的不动点。为了画出迭代的蛛网图，相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=

7、0.6;>>for i=1:30>>x=r*x*(1-x;x1(i=i;y(i=x;>>endx1(1=0.3;y1(12=0;>>for i=1:29>>x1(2*i+1=y(i;x1(2*i=x1(2*i-1;>>yi(2*i=y(i;y1(2*i+1=y1(2*i;>>end;>>x2=0:0.01:1;y3=r.*x2>*(1-x2;>>plot(x1,y1,'k-',x2,y2,'k-',x2,y3,'k-'（2），相应的M

8、ATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=2.8;>>for i=1:30>>x=r*x*(1-x;x1(i=i;y(i=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o'计算结果见下图，由图中可知，迭代数列上下震荡，收敛于不动点。为了画出迭代的蛛网图，只需在第一种情况相应的MATLAB代码中将r=0.6给为r=2.8即可。（3），相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=3.2;>>for i=1:40>>x=r*x*(1-x;x1

9、(i=i;y(i=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o'的未来值。相应的蛛网图为（MATLAB代码略去）。（4），相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=3.46;>>for i=1:40>>x=r*x*(1-x;x1(i=i;y(i=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o'计算结果见下图，由图中可知，经过一段时间调整，迭代数列开始在四个值之间震荡。这类震荡称为4-循环。注意，当参数r的值变化时，从收敛到唯一不动点（1-循环）到4

10、-循环，再从2-循环到4-循环，这样的分裂行为称为分叉（bifurcation）。（5），相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=3.55;>>for i=1:100>>x=r*x*(1-x;x1(i=i;y(i=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o'计算结果见下图，由图中可知，经过一段时间调整，迭代数列开始在八个值之间震荡。这类震荡称为8-循环。（6），相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=3.80;>>for i=1

11、:100>>x=r*x*(1-x;x1(i=i;y(i=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o'计算结果见下图，由图中可知，迭代数列不再呈现稳定的周期性，也不具有任何可预测的模式。迭代数列在区间（0,1）内跳来跳去，而且表现出对初始条件非常敏感的依赖性，称这种状态为混沌（chaos）。为了观察r对迭代格式的影响，将区间（0,4以步长离散化。对每个离散的r值进行迭代，忽略前50个 迭代值，把点显示在坐标平面上。这样形成的图称为Feigenbaum图，它反映了分叉与混沌的基本特性，参考的MATLAB代码为>>clear;>

12、;>for j=1:400;>>x=0.3;r=j/100;>>for i=1:100>> x=r*x*(1-x;x1(i=i;y(i=x:>>end>>for k=1:50>>xx(k=r;yy(k=y(50+k;>>end>>hold on;plot(xx,yy,'ko'>>end从Feigenbaum图可以看出，当时，0是稳定的不动点；当时，0是排斥点，是稳定的不动点；当时，迭代变为2-周期轨道，是第一分叉点；当时，迭代变为4-周期轨道，是第二分叉点；当时，迭

13、代变为8-周期轨道，是第三分叉点；下面迭代将依次分叉为16-周期，32-周期，64-周期，这种分叉形式称为倍周期分叉，相应的分叉点很显然，上面所列参数r的临界值有收敛趋势。事实上也的确如此，它们最后收敛到。收敛序列可表示为式中称为Feigenbaum常数，当时，迭代进入混沌区域。关于混沌，有如下的结论：（1）混沌是服从决定性方程（微分形式或离散形式）的动力系统的一种复杂运动形态。诚如梅（May，1976）所说，“简单的动力系统不一定导致简单的动力性质。”（2）由于混沌是在反复分离和折叠才得以形成，而分离和折叠只有映象是非一一对应的（自然也是不可逆的），即非线性时才能实现，因此混沌只可能实现，因此混沌只可能在非线性系统中出现。（3）混沌的存在，不仅与系统的非线性特征（非线性方程的形式）有关，而且还与方程中的参数值有关。如在逻