四边形提高训练（答案）

1、1如图1，已知是等腰直角三角形，点是的中点作正方形，使点、分别在和上，连接 ，（1）试猜想线段和的数量关系是 并证明（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；2如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FGCD，交AE于点G连接DG（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值3如图，在等边中，于点，点在边上运动，过点作与边交于点，连结，以为邻边作，设与重叠部分图形的面积为，线段的长为（1）求线段的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形为菱形时，求的值；（3）求与之间

2、的函数关系式；（4）设点关于直线的对称点为点，当线段的垂直平分线与直线 相交时，设其交点为，当点与点位于直线同侧（不包括点在直线上）时，直接写出的取值范围4四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，求证：DAG=DCG；猜想AG与BE的位置关系，并加以证明； （2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分BHG； （3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出BHO的度数5如图，在边长为2的

3、正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着ACG的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒。连接BM并延长交AG于N。（1）是否存在点M，使ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BNHN，NH交CDG的平分线于H，求证：BN=NH；（3）过点M分别用AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值。6如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处 （1）求矩形

4、ABCD的边AD的长（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示设DPx cm，DMy cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围（3）当折痕MN的端点N在AB上时，求当PCN为等腰三角形时x的值；当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式7小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决问题1：如图1，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，

5、PA为边构造APBQ，求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为 ，当PQ最小时= _ _； （2）小明对问题1做了简单的变式思考如图3，P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）以PE，PC为边作PCQE，试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小时的值；问题2：在四边形ABCD中，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3（1）如图4，若为上任意一点，以，为边作试求对角线长的最小值和PQ最小时的值（2）若为上任意一点，延长到，使，再以， 为边作请直接写出对角线长的最小值和PQ最小时的值图4CDAPQB1

6、.【答案】（1）BG=AE；理由参见解析（2）成立，理由参见解析【解析】试题分析：（1）证明GDBEDA即可（2）仍然用上题的证明思路，连接AD，证明GDBEDA试题解析：（1）ABC是等腰直角三角形，AB=AC，ABD=ACD=45，BD=CD，ADBC，ABD和ACD都是等腰直角三角形，BD=DA，又四边形GDEF是正方形，GD=DE，GDB=EDA=90，RtBDGRtADE；BG=AE；（2）连接AD，RtBAC中，D为斜边BC的中点，AD=BD，ADBC，ADG+GDB=90，EFGD为正方形，DE=DG，且GDE=90，ADG+ADE=90，BDG=ADE，BDG和AED中，BD=

7、AD BDG=ADE，GD=ED，BDGADE（SAS），BG=AE；考点：1正方形性质；2三角形全等；3等腰三角形性质2.【答案】（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG，ED=EF，1=2，由FGCD，可得1=3，再证明 FG=FE，即可得到四边形DEFG为菱形；（2）在RtEFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，1=2，FGCD，2=3，FG=FE，DG=GF=EF=DE，四边形DEFG为菱形；（2）设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8x，在RtEFC中，即

8、，解得：x=5，CE=8x=3，=考点：1翻折变换（折叠问题）；2勾股定理；3菱形的判定与性质；4矩形的性质；5综合题3.【答案】（1）PE=x（2）x=3（3）y=-+3x或y=（4）0x3-或3x3+【解析】试题分析：（1）根据平行和等边三角形证得APE是等边三角形，然后求得结论；（2）根据菱形的性质证得PE=ED,然后根据等边三角形的性质证得PE=AE，EC=ED，因此可得ED=AE= EC，由此可得出结果；（3）根据勾股定理和三角形的面积可求得解析式，但是应分为两种情况讨论：当0x3时，如图；当3x6时，如图；（4）正确画出图形，结合图形分析，确定x的取值范围试题解析：解：（1）ABC

9、为等边三角形BAC=B=C=60PEBCAPE=B=60，AEP=C=60APE是等边三角形PE=AP=x（0x6）（2）四边形PEDF是菱形PE=EDPE=AEED=AEEAD=ADEABC为等边三角形，ADBC于点DEAD=ADE=30，ADC=90CDE=C=60EC=ED=xAC=6AE+EC=6即x+x=6x=3（3）当0x3时，如图y=x（6-x）=-+3x当3x6时，如图y=（3-x）（6-x）=（4）0x3-或3x3+提示：如图 考点：等边三角形，平行四边形，菱形，三角形的面积4.【答案】（1）证明见解析；AGBE理由见解析；（2）证明见解析；（3）BHO=45【解析】试题分析

10、：（1）根据正方形的性质得DA=DC，ADB=CDB=45，则可根据“SAS”证明ADGCDG，所以DAG=DCG；根据正方形的性质得AB=DC，BAD=CDA=90，根据“SAS”证明ABEDCF，则ABE=DCF，由于DAG=DCG，所以DAG=ABE，然后利用DAG+BAG=90得到ABE+BAG=90，于是可判断AGBE； （2）如答图1所示，过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，证明AONBOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分BHG结论成立； （3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AGBE；过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，构造全等三角形AONBOM，从而证明O

11、MHN为正方形，所以HO平分BHG，即BHO=45试题解析：（1）证明：四边形ABCD为正方形， DA=DC，ADB=CDB=45， 在ADG和CDG中 ADGCDG（SAS）， DAG=DCG；解：AGBE理由如下： 四边形ABCD为正方形， AB=DC，BAD=CDA=90， 在ABE和DCF中 ABEDCF（SAS）， ABE=DCF， DAG=DCG，DAG=ABE， DAG+BAG=90， ABE+BAG=90，AHB=90， AGBE；（2）由（1）可知AGBE如图1所示，过点O作OMBE于点M，ONAG于点N，则四边形OMHN为矩形MON=90， 又OAOB， AON=BOMAO

12、N+OAN=90，BOM+OBM=90， OAN=OBM在AON与BOM中， AONBOM（AAS）OM=ON， 矩形OMHN为正方形， HO平分BHG（3）将图形补充完整，如图2示，BHO=45与（1）同理，可以证明AGBE过点O作OMBE于点M，ONAG于点N， 与（2）同理，可以证明AONBOM， 可得OMHN为正方形，所以HO平分BHG， BHO=45考点：1四边形综合题；2全等三角形的判定与性质；3正方形的性质5.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）当t=秒时，S的最大值为.【解析】试题分析：（1）ABM为等腰三角形有三种情况，AM=BM，AB=BM,AM=AB，根据这三种

13、情况确定M的位置.（2）根据同角的的余角相等可证ABN=DNH，再证BKN=NDH=135，BK=DN，利用ASA可判定BNKNHD，进而根据全等三角形的对应边相等可得BN=NH.（3）矩形AEMF与ACG重叠部分分两种情况，当点M在AC上时，即0t时，当点M在CG上时，即t时,分别求出在这两种情况时矩形AEMF与ACG重叠部分的面积S与运动时间t之间的函数关系式，利用二次函数的性质求得这两种情况各自的最大值，再进行比较，找出最大的即为本题答案.试题解析：（1）当点M为AC中点时，有AM=BM,则ABM为等腰三角形；当点M与点C重合时，AB=BM,则ABM为等腰三角形；当点M在AC上且AM=2

14、时，AM=AB,则ABM为等腰三角形.证明：在AB上取点K,使AK=AN，连接KN.AB=AD,BK=AB-AK,ND=AD-AN,BK=DN.又DH平分直角CDG，CDH=45，NDH=90+45=135.BKN=180-AKN=135,BKN=NDH.在RtABN中，ABN+ANB=90，又BNNH,即BNH=90ANB+DNH=180-BNH=180-90=90ABN=DNH.BNKNHD（ASA）,BN=NH.当点M在AC上时，即0t时，易知：AMF为等腰直角三角形.AM=t,AF=FM=.S=.当点M在CG上时，即t时,CM=t-,MG=-t.AD=DG,ADC=CDG,CD=CD,

15、ACDGCD（SAS）,ACD=GCD=45ACM=ACD+GCD=90G=90-GCD=90-45=45MFG为等腰直角三角形.在0t范围内，当t=时，S的最大值为.在t范围内，当时，S的最大值为.当t=秒时，S的最大值为.考点：四边形、三角形、二次函数综合题.6.【答案】（1）AD3；（2）y=其中，0x3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及RtMPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQCD，根据RtNPQ的勾股定理进行求解；（4）根据RtADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系

16、式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据RtPBC的勾股定理可得：AD3（2）由折叠可知AMMP，在RtMPD中， y=其中，0x3.（3）当点N在AB上，x3， PC3，而PN3，NC3.PCN为等腰三角形，只可能NCNP过N点作NQCD，垂足为Q，在RtNPQ中， 解得x=（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形设MPy，在RtADM中，即 y= S=考点：函数的性质、勾股定理.7.【答案】问题1：（1）3，；（2）PQ=，=问题2：（1）=4，（2）PQ的最小值为【解析】试题分析：问题1：（1）首先根据条件可证四边形PCBQ是矩形，然后根

17、据条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而可求的值（2）由题可知：当QPAC时，PQ最小过点C作CDAB于点D此时四边形CDPQ为矩形，PQ=CD，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，利用面积可求出CD=,然后可求出AD=， 由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=AD-AP=，所以AP=所以=问题2：（1）设对角线与相交于点RtRt所以AD=HC，QH=AP由题可知：当QPAB时，PQ最小，此时=CH=4，根据条件可证四边形BPQH为矩形，从而QH=BP=AP所以（2）根据题意画出图形，当AB时，的长最小，PQ的最小值为QEACPB图3D试题解析：问题1：（1）3，；（2）过点C作CDAB于点D由题意可知当PQAB时，PQ最短所以此时四边形CDPQ为矩形PQ=CD，DP=CQ=PE因为BCA=90，AC=4，BC=3，所以AB=5所以CD=所以PQ=在RtACD中