宁波备战中考数学锐角三角函数综合练习题

1、宁波备战中考数学锐角三角函数综合练习题一、锐角三角函数1.如图，从地面上的点 A看一山坡上的电线杆 PQ,测得杆顶端点 P的仰角是45。，向前 走6m到达B点，测得杆顶端点 P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求/ BPQ的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m) .备用数据： 启1； ,【答案】(1) /BPQ=30；(2)该电线杆PQ的高度约为9m.【解析】试题分析：(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可；(2)设PE=x米，在直角4APE和直角4BPE中，根据三角函数利用 x表示出AE和BE,根 据AB=AE-BE即可列

2、出方程求得 x的值，再在直角 4BQE中利用三角函数求得 QE的长，则 PQ的长度即可求解.试题解析：延长 PQ交直线AB于点E,ABE(1) / BPQ=90 -60 =30°(2)设 PE=x米.在直角 APE中，贝U AE=PE=W / PBE=60 °BE西pe植x米,/ BPE=30 °在直角4BPE中，,.AB=AE-BE=6 米，则 x-ix=6,解得：x=9+3则 BE= （373+3）米.在直角 4BEQ中，QE=BE= （373+3） = （3+四）米. 33,PQ=PE-QE=9+373 - （3+73 ） =6+2 Q =9（米）.答：电线

3、杆PQ的高度约9米.考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题.2. （6分）某海域有 A, B两个港口， B港口在A港口北偏西30°方向上，距 A港口 60海 里，有一艘船从 A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75。方向的C处，求该船与B港口之间的距离即 CB的长（结果保留根号）.北 A【答案】W+1O0【解析】试题分析：作 ADXBCT D,于是有/ABD=45,得到AD=BD=° ,求出/ C=60 ,根据 正切的定义求出 CD的长，得到答案.试题解析：作 ADXBCT D, . /EAB=30, AE/ BF, . . / FBA=30 ,又

4、/ FBC=75,/ ABD=45 ；又 AB=60,. AD=BD='° ,/ BAC=Z BAE+Z CAE=75 ,° / ABC=45 ,°AD 30v2/ C=60 ；在 RtACD 中，/ C=60 ； AD=t°V2 ,则 tanC=："，. CD= '户 =（）、心, .Bc=*°v"+ 1。"故该船与B港口之间的距离CB的长为"）2海里.考点：解直角三角形的应用 -方向角问题.3.如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安

5、装支架 AB和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为i ,且在水平线上的射影 AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2,并已知tan 1 。82,tan 2 0.412 .如果安装工人确定支架AB高为25cm,求支架CD的高（结果精确到1cm) ?解；过点且作mLCD于P，AE* BC交C0于Fa在 R2 ADF 中,DF = AFitn = 1,4x1.082 = 1.51 48（jp3）, q在我£ EAF 中,EF = AF tan 玛=1,4x0.412 = 0.5763（同 （2 分），口因二口真一后尸

6、= 1.51480.5762 = Q93E（喀）（1 分）又可证四边形ABCS为平行四边形，故有C£ = = 25二活（2分）,二 C75二口且十方二93 8十25=1188kli9g丽 （2 分）答：支架CD的高妁为11%用.口分）/【解析】过A作AF CD于F ,根据锐角三角函数的定义用此 他表示出DF、EF的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有 EC=AB=25cm再再根据 DC=DE+ECS行解答即可.814.如图，在4ABC中，AB=7.5, AC=9,生abc=一 .动点P从A点出发，沿 AB万向以每秒 45个单位长度的速度向 B点匀速运动，动点 Q从C点同时出发，

7、以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点 P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以 PQ为边作正4PQM （P、Q、M按逆时针排序），以 QC为边在AC上方作正QC、设点P运动时间为t秒. （1）求cosA的值；（2）当4PQM与4QCN的面积满足Sapqm = 9Saqcn时，求t的值；5（3）当t为何值时，4PQM的某个顶点（Q点除外）落在 4QCN的边上.【答案】(1) coaA=4; (2)当 t=3 时，满足 Szxpqm=9sx qcn； (3)当 t= 27 3而 s 或 5552627 3瓦时,4PQM的某个顶点(Q点除外)落在 4QCN的边上.26【解析】分析：(1)如图

8、1中，作B已AC于E.利用三角形的面积公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解决问题；9(2)如图2中，作PHXAC于H.利用Sapqm=- Sqcn构建方程即可解决问题；5(3)分两种情形 如图3中，当点M落在QN上时，作PHXACT H.如图4中，当点M在CQ上时，作PHI±AC于H.分别构建方程求解即可；详解：(1)如图1中，作BEX AC于E.Sa abc= 1 ?AC?BE=81 ，249 .BE=-,2 在 RtABE 中，AE=Jab2 be2 =6，AE 64coaA=.AB 7.5 5(2)如图2中，作PHXAC于H.,.vHEq图2PA=5t, PH=3t, AH

9、=4t, HQ=AC-AH-CQ=9-9t, .PQ2=PH2+HQ2=9t2+ (9-9t) 2,29- Sa pqm= Sa qcn,5 整理得：5t2-l8t+9=0,解得t=3 (舍弃)或.9d必 PQM= S QCNI.5当点M落在QN上时，作PH, AC于H.3 一 . .当t=3时，满足5(3)如图3中,图3易知：PM/AC,/ MPQ=Z PQH=60 ,° .PH=HQ, -3t= 73 (9-9t), , ,t= 27 3 3.26如图4中，当点M在CQ上时，作PHXACT H.同法可得ph=J3qh, -3t= 73 (9t-9),27+3 .3t=,26综上所

10、述，当t= 27236 s或27+3® s时,4PQM的某个顶点（Q点除外）落在 4QCN 的边上.点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.5.如图，在 4ABC中，/ABC=/ACB,以AC为直径的。分别交 A® BC于点M、N,点P在AB的延长线上，且 / CAB=2/ BCP（1）求证：直线CP是。的切线.（2）若 BC=275, sin/BCP=5 ,求点 B 到 AC 的距离.（3）在第（2）的条件下，求 4ACP的周长.【答案】（

11、1）证明见解析（2） 4 （3） 20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判断出/ ACP=90 即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可.试题解析：（1）ZABC=Z ACB,，AB=AC,.AC为。O的直径，/ ANC=90 ；c C CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB, / CAB=2/ BCP, / BCP玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP之 ACN+Z CAN=90 ； 点D在。O上，直线CP是。的切线；(2)如图，作BF,AC . AB=AC, /ANC=90； 111

12、.CN，CbK,团 / BCP=Z CAN, sin/ BCP=5 ,脚 sin/CAN= ,.AC=5,.AB=AC=5,设 AF=x,则 CF=5- x,在 RtABF 中，BF?=AB2-AF2=25-x2,在 RtCBF中，BF2=BC?-CF?=2O- (5x) 2, .-25-x2=2O- (5-x) 2,.x=3,.BF2=25- 32=16,BF=4,即点B到AC的距离为4.考点：切线的判定6.如图，湿地景区岸边有三个观景台且、E、C.已知上出=1的0米，7c = 1000米，百点位于以点的南偏西6S7*方向，C点位于且点的南偏东（56_方向.求且3c的面积；（2）景区规划在线

13、段BC的中点管处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 .试求达、D间的 距离.（结果精确到米）（参考数据： 加汉cos53.r0.60 ,向丽丁人037,85曲丁书0一49,瓠166mo$1, a>sW.l°0.41,A一 ）心二 1一3【答案】（1） 560000 （2） 565.6【解析】试题分析：（1）过点C作CE_艮4交互巨的延长线于点E,然后根据直角三角形的内角和求出/ CAE,再根据正弦的性质求出 CE的长，从而得到 4ABC的面积；（2）连接 屈,过点D作DF_ A3 ,垂足为 尸点，则DF/ CE .然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可

14、.试题解析：过点C作随_交及4的延长线于点E ,在中，/C4E1MJ6，7J661° = 53T,所以 CE = AC sin53.2 » 1000*。£ =却。米.所以 S-但二 CE- :m 1400x SOD 二 5的心0。（平方米）.22（2）连接二口 ,过点口作D尸一4 ,垂足为F点，则。尸” CE .因为口是用中点，所以DF = ：t?E = 4M米，且F为期中点，AE 二勾C-co$53_2% 如。米，所以 BE =BA AE = L400 - 配。=200。米.所以* =；加-N£ = 4M米，由勾股定理得,AD = 7400= -h 4

15、00:= 4006制 565f 米.答：幺、口间的距离为5前一6米.考点：解直角三角形7.如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中/ BAC=45°, /ACD=30°,点E为CD边上的中点，连接 AE,将4ADE沿AE所在直线翻折得到 AD耳D'咬AC于F 点.若 AB=6y?cm.(1) AE的长为 cm；(2)试在线段AC上确定一点 巳 使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D'到BC的距离.ED<【答案】【解析】BD_eI(1) 4" ( 2) 12cm； ( 3) 3V7" Vcm.试题分析：

16、(1)首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出 CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：rz / BAC=45 ,° / B=90 ； . AB=BC=6 cm,，AC=12cm.AC 12cn =尔cos30C cm),点(2)于点E为CD边上的中点，AE=DC= cm.首先得出4ADE为等边三角形，进而求出点E, D'关于直线 AC对称，连接 DD交AC(3)/D'P,根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案.连接 CD, BD,过点D'作D'吐BC于点G,进而得出 ABDCBD ( SSS ,则BG=45 D&

17、#39; G=GBS而利用勾股定理求出点 D到BC边的距离. / ACD=30 ； / DAC=90 ,° AC=12cm, 试题解析：解：(1)(2) .RtADC 中，/ACD=30,/ ADC=60 ,.E为CD边上的中点，DE=AE4ADE为等边三角形.将4ADE沿AE所在直线翻折得 AAD'AAD'的等边三角形，/AED' =6 0 / EAC=Z DAC- / EAD=30 / EFA=90, °即 AC所在的直线垂直平分线段ED：.点E, D'关于直线AC对称.如答图1,连接DD交AC于点P, 此日DP+E唯为最小，且 DP+E

18、P=DD.ADE是等边三角形,AD=AE= V",即DP+EP最小值为12cm.（3）如答图2,连接CD, BD,过点D'作D' d BC于点G,. AC垂直平分线 ED； .AE=AD,' CE=CD,',.AE=EC .AD' =CD V'=.AB = BC*0' = BDr.一 t= c/r A -t在ABD和 CBD 中，,AABDACBD（SSS , ./D' BG =D' BC=45 . . D' G=GB设D' G长为xcm,则CG长为'xcm,cm.在RtAGtD C中，由

19、勾股定理得工+（62-幻二O/T, 解得：恒=3d2 祝=3*2 +收（不合题意舍去）.考点：1 .翻折和单动点问题；2.勾股定理；3.直角三角形斜边上的中线性质；4.等边三角形三角形的判定和性质；5.轴对称的应用（最短线路问题）；6.全等三角形的判定和性质；7.方程思想的应用.8 .如图，某公园内有一座古塔AB,在塔的北面有一栋建筑物，某日上午 9时太阳光线与水平面的夹角为32 ,此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD.中午12时太阳光线与地面的夹角为 45°,此时塔尖 A在地面上的影子 E与墙角C的距离为15米（B、E、C在 一条直线上），求塔 AB的高度.（结果精确到0.0

20、1米）参考数据：sin32 ° =0.529SCos32° 0.8480tan32° =0.6249亚 1.4142 .【答案】塔高 AB约为32.99米.【解析】【分析】过点D作DHLAB,垂足为点H,设AB= x,则AH= x- 3,解直角三角形即可得到结论.【详解】解：过点D作DHLAB,垂足为点 H.Z ABC =/ AHD = 90 ；由题意，得 HB = CD = 3, EC= 15, HD = BC,设 AB = x,则 AH = x - 3.AB 在 RtABE中，由 Z AEB = 45 ；得 tan AEB tan45 1EBEB = AB =

21、 x.HD = BC = BE + EC= x + 15.在RtAHD中，由Z AHD = 90 ；得 tan ADHAHHD即得tan32x 3x 15解得x15 tan323 32.99 .1 tan32AB约为32.99米.本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键.9 .许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A, B两点之间的距离他沿着与直线 AB平行的道路EF行走

22、，走到点C处，测得/ACF=45,再向前走300 米到点D处，测得/BDF=60.若直线AB与EF之间的距离为200米，求A, B两点之间的 距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米.【解析】【分析】过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，根据RtACM和三角函数tan BDF求出CM、DN,然后根据 MN MD DN AB即 可求出A、B两点间的距离.【详解】解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点E CD N 产在 RtACM 中， ACF 45 , .AM=CM=200 米，又.口二？。米，所以 MD CD CM 100米,

23、在 RtBDN 中，/BDF=60, BN=200 米 DN BN o 115.6 米， tan 60 MN MD DN AB 215.6 米即A, B两点之间的距离约为 215.6米.【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键10. 2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出郑州都市区主城区停车场专项规 划，将停车纳入城市综合交通体系，计划到 2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN/AD,AD± DE,CF± AB,垂足分别为 D,F,坡道AB的坡度为1:

24、33 ,DE=3米，点C在DE上，CD= 0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米）， 如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据正=1.41百1.73【答案】该停车库限高约为2.2米.【解析】【分析】据题意得出tan B ,即可得出tanA,在RtADE中，根据勾股定理可求得DE,即可3得出Z1的正切值，再在 RtCEF中，设EF=x,即可求出X,从而得出J5x的长.【详解】解：由题意得，tanB 3/MN / AD,Z A= Z B,tanA= 回 3.DEXAD,DE在 RtA ADE 中,tanA=， AD1 .DE

25、=3,又 = DC=0.5,2 .CE=2.5,.CF1AB,Z FC&Z CE3 90 ,.DEXAD,Z A+Z CEF 90 ,Z A= Z FCE3 .tanZ FC .3在 RtCEF中，设 EF=x, CF= 73 x (x>0) , C$2.5,5代入得(-)2 = x2+3x2,2解得 x= 1.25, CF=x 2.2该停车库限高约为 22米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角 的正切值.1 211.如图，已知二次函数 y x bx c的图象经过点 A (-3, 6),并与x轴交于点B 2(-1, 0)和点C,

26、顶点为点 P.(1)求这个二次函数解析式；(2)设D为x轴上一点，满足 /DPO/BAC求点D的坐标；N,使(3)作直线AP,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线AP上是否存在点AM+MN的值最小？若存在，求出 M、N的坐标：若不存在，请说明理由.S1)点 C坐标为(3, 0),点 P (1, -2);(2)点 P (7, 0) ; (3)点N (-714、一，一)55【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解;(2)利用c 1一 1"Saabc= X ACX BH= X BC>Ay 求出 Sin aBH221皿=rl/=,贝UtanAB2、105MD

27、 x 1r - PMD中，tan a =尸 二，即可求解;PM x 2.22(3)作点A关于对称轴的对称点A' (5, 6),过点A作A吐AP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小，即可求解.【详解】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：故：抛物线的表达式为：y=1x2-x-,223令 y=0,贝U x=-1 或 3,令 x=0,贝U y=,2故点C坐标为(3, 0),点P (1, -2)；96 m 3b 32,解得:10- b c(2)过点B作BH，AC交于点H,过点P作PG，x轴交于点 G,设：/DPC=/BAC=a,由题意得：AB=2j10, AC=6j2，BC

28、=4, PC=2 四,11S；aabc= - >AC>BH= - >BC沟a,解得：BH=2&,sinBH 221 ntt=-= ,贝UAB 2 .1051 tan (% -,2由题意得：GC=2=PG,故 / PCB=45°,延长PC,过点D作DM，PC交于点M,则 MD=MC=x,在4PMD 中，tanMD= =产=,PM x 2、2 2解得：x=2 衣，则 CD= J2 x=4,6),交AP于点N,此时AM+MN最小,直线AP表达式中的k值为:故点 P (7, 0)；(3)作点A关于对称轴的对称点 A' ( 5, 过点A作ANXAP分别交对称轴

29、与点 M、8 ，1一二-2,则直线AN表达式中的k值为一，42设直线A N的表达式为：y= 1 x+b2将点A'坐标代入上式并求解得：b=-,故直线AN的表达式为：y=x+22当 x=1 时，y=4,故点 M （1, 4）,同理直线AP的表达式为：y=-2x，联立 两个方程并求解得：x=-7,57 .714故点 N （-7, 14）. 55【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3）,利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法.12 .现有一个Z型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中 AB为20cm, BC为60cm, Z ABC= 90,

30、 / BCA 60°,求该工件如图摆放时的高度（即 A到CD的距离）.（结果精确到 0.1m,参考数据：、5=1.73【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【解析】【分析】过点 A 作 AP, CD 于点 P,交 BC 于点 Q,由/CQP=/AQB、/ CPQ= / B= 90° 知 / A= / C = 60°,在4ABQ中求得分别求得 AQ、BQ的长，结合 BC知CQ的长，在4CPQ中可得PQ,根据AP = AQ+PQ得出答案.【详解】解：如图，过点 A作AP, CD于点P,交BC于点Q, AC-FD/ CQP= / AQB, / CPQ= / B=

31、 90 :/ A= / C= 60 °,AB 20,.A . - -j- = 40 /、在ABQ 中，,. AQ=es月1(cm),2BQ=ABtanA= 20tan60 =20 (cm), .CQ= BC- BQ=60- 20R (cm), 在ACPQ中，. PQ= CQsinC= ( 60 20*3) sin60 = 30 ”2-1) cm, .AP = AQ+PQ= 40+30 (*3-1) = 61.9cm), 答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题 的关键.13 .如图，在菱形ABCD

32、中，B 60 , AB 4.点P从点A出发以每秒2个单位的速 度沿边AD向终点D运动，过点P作PQ AC交边AB于点Q ,过点P向上作PN AC ,且PN 正PQ ,以PN、PQ为边作矩形PQMN .设点P的运动时间为t 2(秒)，矩形PQMN与菱形ABCD重叠部分图形的面积为 S.(1)用含t的代数式表示线段 PQ的长.(2)当点M落在边BC上时，求t的值.(3)当0 t 1时，求S与t之间的函数关系式，(4)如图，若点。是AC的中点，作直线 OM .当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1：2时，直接写出t的值图1图2(1) PQ 2内；(2) 4 ； (3)5-2-21973t

33、40%/3t 1673 ; (4) t ;或38t 一 .7【解析】【分析】(1)由菱形性质得 /D=/B=60°, AD=AB=CD=4 4ACD是等边三角形，证出 4APQ是等腰三角形，得出PF=QF PF=PA?sin60 后,即可得出结果；(2)当点M落在边BC上时，由题意得： 4PDN是等边三角形，得出 PD=PN,由已知得PN=32PQ=3t,得出PD=3t,由题意得出方程，解方程即可;(3)当 0Vt般时，PQ=2j3t, PN=Y3PQ=3t, S却形PQMN的面积=PQX PN即可得出 524结果；当 _vtvl时，4PDN是等边二角形，得出 PE=PD=AD-PA

34、=4-2t5/FEN=/ PED=60,° 得出 NE=PN-PE=5t-4 FN=V3 NE=V3 (5t-4) , S或巨形 PQMN 的面积-24EFN的面积，即可得出结果；(4)分两种情况：当 0Vt舱时，4ACD是等边三角形，AC=AD=4,得出OA=2, OG是5 MNH的中位线，得出 OG=4t-2, NH=2OG=8t-4,由面积关系得出方程，解方程即可；,4,，一 八 EF OF . EF 2 t当vtw对，由平行线得出 OED4MEQ,得出 ，即 ，5EQ MQ EF 、, 3t 3t解得 EF=2 3t -3 ,得出 EQ=J3t 2'3t 3t ,由三

35、角形面积关系得出方程，解方 4t 24t 2程即可.【详解】(1) :在菱形 ABCD 中，/B=60°,/ D=Z B=60 ； AD=AB=CD=4 ACD是等边三角形,Z CAD=60 ；.PQXAC, .APQ是等腰三角形， .PQ=2出 t；(2)当点M落在边BC上时，如图2所示:CA图2由题意得：4PDN是等边三角形, .PF=QF PF=PA?sin60.PD=PN, PN=PQ=-3 X 2、3 t=3t, .PD=3t, . PA+PD=AD 即 2t+3t=4 ,4 解得：t=.5(3)当Oct时，如图1所示:PQ=2 出 t, PN= PQ= X 2>/3

36、 t=3t,22S族巨形 PQMN 的面积=PQX PN=/3 t x 3t=Q3 t2 ；4当vt<1时，如图3所示:PDN是等边三角形，PE=PD=AD-PA=4-2| Z FEN=Z PED=60 ,NE=PN-PE=3t- (4-2t) =5t-4 ,.FN=V3 NE=73 (5t-4),.S软巨形PQMN的面积-24EFN的面积=673 t2-2J- X73 (5t-4) 2=-19t2+40 <3 t-16 V5 , 2即 S=-19t2+40>/3t-16 73 ;4所示:ACD是等边三角形,.AC=AD=4, .O是AC的中点，OA=2, OG是4MNH的中位线， .OG=3t- (2-t) =4t-2, NH=2OG=8t-4, .MNH 的面积=1MNX NH