直线与双曲线位置关系

1、0；直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1:直线与双曲线的位置关系1 .直线与双曲线的位置关系的判断x2 y222设直线y=kx+b,双曲线 孑版=1 ( a>°，b>0)联立消去 y得Ax+Bx+C=0 (aw0) , A= B 4AG若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若A >0,直线与双曲线相交，有两个交点；若A=0,直线与双曲线相切，有一个交点；若A<0,直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2 .弦长问题设直线l:y=kx+n ,圆锥曲线：F(x,y)=0 ,它们的交

2、点为 P1 (x i,y 1), P2 (x 2,y 2), 且由，消去 y-ax2+bx+c=0 (aw0) , A =b 2 4ac。弦长公式：|pip2|Jk2 |xix2JiJI yiy2( k 为直线斜率)例题选讲：例1：直线l : y = kx+1与双曲线C： 2x2-y2= 1的右支交于不同的两点 A B.数k的 取值围；解 (1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，2k -20, = (2 k)2 8( k22)>0 ,2kk22>0,2E >

3、0.解得k的取值围是2<k< <2.21 ，一 一 ,例2：已知中心在原点，顶点A,A2在x轴上，离心率为 的双曲线经过点 P(6,6)3(I)求双曲线的方程；(n)动直线l经过 AFA2的重心G ,与双曲线交于不同的两点 M , N ,问是否存在直线l 使G平分线段MN 。试证明你的结论。解设所求的双曲就银为,方且我曲线经过点F体.6).二双由豉方程为土 _二二1由条件汽4.4的坐标分别为(6.用-土仆卜色。).白点坐标为f工2】fi2x-9X =108 (1) '|2-Q=IO8(2)幅近存在直缉使小工2产5湮段设比N的坐标5冽为(物,n% & / JQ)

4、-得©)95一曲(再4均网-/)-纺卢为Xa-小又 看 * _ 又/：-外=2,即马一/ - I,M +8一，.，.为一心=12X1 -9/ =108."曰沈桂为卜一2二不工4 as4整理得必-也+18=0,所求宜我不存田y-l= (jc-2)x2 2例3:已知椭圆C的方程为z+y2=1,双曲线C的左、右焦点分别是 G的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是 G的左、右焦点.(1)求双曲线G的方程；(2)若直线l : y= kx + 2与双曲线 G恒有两个不同的交点 A和B,且OA Ob>2 (其中O 为原点)，求k的取值围.解(1)设双曲线。的方程为a2-b2=1,则

5、 a2=41=3, c2 = 4,由 a2+b2=c2,得 b2=1,X22故C2的方程为y = 1.32(2)将 丫=卜* + 近代入行一丫2=1,得(1 3kjx26V2kx9=0.3由直线l与双曲线G交于不同的两点，得1 3k2w0.A = (- 6 平k)2+ 36(1 3k2). k2w g 且 k2<1.2=36(1 k )>0.、一一_6/2k-9设 A(X1, y1) , B(X2, y2),则 xdX2=1 ?3k2, X1X2= 1 _ 3k2.X1X2+ y1y2= X1X2+ ( kx1 +小)(kX2+艰).2L.3k2+7=(k +1)X1X2+心k(X

6、1 + X2) + 2= 3k21.又. OA Ob>2, 得 X1X2+ y1y2>2, 223k2+7口 -3k2+9-1 231 >2,即 kT>0，解得/ <3,由得1<k2<l.故k的取值围为 1,今 u 1 .例4:已知双曲线的中心在原点,焦点Fi,F2在坐标轴上，离心率为J2,且过点4, 屈 .(1)求双曲线方程;(2)若点M 3,m在双曲线上,求证:(3)对于(2)中的点M ,求 F1MF2的面积.解：（1）由题意，可设双曲线方程为x2 y2,又双曲线过点4,。而，解得 6双曲线方程为x2y2 6；（2）由（1）可知，a b 66, c

7、 28，F12瓜0 , F2 273,0MF12733, m , MF22#3, m ,MF,MFm23,又点M 3,m在双曲线上，9 m2 6, m2 3 ,即 MF1 MF2 0；，一、11 II 1 L L(3) S、F1MF2-|F1F2|m- 4出 336 F1M52的面积为6.知识点2:抛物线及其标准方程1 .抛物线定义平面与一个定点 F和一条定直线1（1不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点，直线 1叫做抛物线的准线.2 .抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2= 2 Px(p>0)y2= 2px( p> 0)图形围x>0, y C Rx

8、<0, yC R对称轴x轴顶点坐标原点O0,0)焦点坐标p, 0p-2,0准线方程x=-pxp x-2离心率e= 1题型1 :抛物线的定义灵活应用例1 : (1)(2011 高考)已知F是抛物线丫2=*的焦点，A, B是该抛物线上的两点，|AF十 | BF| =3,则线段AB的中点到y轴的距离为3A.4B. 15C.4(2)(2012 曲阜师大附中质检)在抛物线C:2 .y= 2x上有一点P,若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线 C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A (2,1)B.(1,2)C. (2,1)D. (1,2)自主解答(1)如图，由抛物线的定义知，|AM+|BN=|

9、AF + |BF=3, |CD=2，所以中点C的横坐标为2 4=4.(2)由题知点A在抛物线部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P,使得该点到点 A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点 P是直线x= 1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2).答案(1)C(2)B练习1 ： (2012 高考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于 A, B两点.若|AF|=3,则 | BF =解析：由题意知，抛物线的焦点由抛物线定义知，点A到准线x=-F的坐标为(1,0),又.| AF =3,1的距离为3,，点A的横坐标为2.将x = 2代入y2=4x得y2=8,由图知，y=2/2,.A(

10、2,242) , 直线 AF的方程为 y=22(x1).y=2 啦 x- 11 x=5,y2=4x,y =42x= 2, y= 2/2.由图知,占八、B的坐标为12'. | BF3(-1) = 2.答案：2题型2:抛物线的标准方程及几何性质22例2: (1)(2012 高考)已知双曲线 G： a2-b2= 1(a>0, b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2 = 2py ( p>0)的焦点到双曲线 C的渐近线的距离为2,则抛物线 G的方程为()2832 16. 3A. x =-yB. x y33C. x2= 8yD. x2= 16y(2)(2012 高考)已知抛物线

11、关于x轴对称，它的顶点在坐标原点Q并且经过点 M2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为 3,则101Ml=()A. 2 2B. 2 3C. 4D. 2 5自主解答(1) ,双曲线g： a2b2=i(a>0, b>0)的离心率为2，.;a=q式a2, b= 3a,.双曲线的渐近线方程为 ，3x±y=0, .抛物线C2: x2=2py(p>0)的焦点0,考到双曲0± p 线的渐近线的距离为 2=2,p= 8.，所求的抛物线方程为x2= 16y.(2)依题意，设抛物线方程是y2=2px( p>0),则有2+P=3,得p=2,故抛物线方程是y2 = 4x,

12、点 M的坐标是(2 , ±2小)，| OM= >22+8 =273.答案(1)D(2)B练习2:若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM | J17,| AF | 3,求此抛物线的方程解析设点A'是点A在准线上的射影，则|AA'| 3,由勾股定理知|MA'| 2J2 ,点A的横坐标为(2 ¥2,3 艮)，代入方程x2 2py得p 2或4,抛物线的方程x2 4y或x2 8y 2题型3:直线与抛物线的位置关系1 .设抛物线方程为 y2=2px(p>0),直线Ax+ By+ C= 0,将直线方程

13、与抛物线方程联 立，消去x得到关于y的方程my+ ny+q=0.(1)若亦0,当A>0时，直线与抛物线有两个公共点；当A = 0时，直线与抛物线只有一个公共点；当AV0时，直线与抛物线没有公共点.(2)若 m0,直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行.2 .与焦点弦有关的常用结论. (以右图为依据)2/ p(1) yiy2= p , xiX2=.2p(2)| AEB=xi + x2+p= -4-( e 为 AB的倾斜角). sin B2 S>A AOB='1年( e为ab的倾斜角).2sin 01 1 、,、- 2|AFf +丽为7直p.(5)以AB为直径

14、的圆与准线相切.(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切. /CFD= 90° .例3:(2012 高考)如图，等边三角形 OAB勺边长为8/3,且其三个顶点均在抛物线 E： x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=- 1相交于点Q 证明以PQ为直径的圆恒过 y轴上某定点.自主解答(1)依题意，|OB=8小，/ BOy= 30°.设 B(x, y),则 x= | OBsin 30 ° = 40 y= | OBcos 30 ° = 12. 因为点 B(4，3, 12)在 x2 = 2py 上，所

15、以(4，3)2=2pX12,解得 p=2. 故抛物线E的方程为x2= 4y.1 2,1(2)证明：由(1)知 y = x , y = 2x.1yyc=2ac(x xc),即y = lx0x- 1x0由24y= 一 1，设 P(xc, yc),则 x°w0, y°=x0,且 l 的方程为11 2y = -x0x -xg. 2 24一 2.xc 一 4x=得2xoy= 1.2_x。一 4所以Q为-一，一1 .2xc设MP , y”,令MP 京Q = 0对满足yc = x2(xoWO)的xc, y。恒成立.,、Tx2-4由于 MP = (xc, yc- y。, MQ =_, 1

16、y1 ,2x0由=0,得2X0 42y0 y0yi + yi + yi = 0,即(yi + y1一 2) 十 (1 yi)y0=0.(*)1 2由于(*)式对满足y°= 4X0(X0W0)的y0恒成立,所以1 yi= 0,2 .yi + y i _ 2 = 0)解得yi= 1.故以PQ为直径的圆恒过 y轴上的定点M(0,1)练习3： (2012 模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线 C：21y2 = 4x的焦点F.(1)若点O到直线l的距离为求直线l的方程；(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点.点 B是以点F为 圆心，|FA为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物

17、线C的位置关系，并给出证明.解：(1)抛物线白焦点F(1,0),当直线l的斜率不存在时，即 x= 1不符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线 l的方程为：y=k(x1),即kx - y - k= 0.所以，号解得故直线l的方程为：y=±x- 1),即 x±43y1 = 0.(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：2设 A(x0, y°),则 y0 = 4x°.因为 | BF = | AF =x0+1,所以 B( - x0,0).所以直线AB的方程为：y= B(x + x0),2x03 e/口2x°y整理得：x = -x。 y0把方程代入 y2 =

18、 4x 得：y°y28x0y+4x0y0=0,2222A = 64x0 - 16x0yo= 64x0 64x0= 0,所以直线AB与抛物线相切.基础练习:1. (2012 模拟)抛物线的焦点为椭圆 +看=1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线49方程为()A. x2=-45yB. y2= 4啊C. x2= 4413yD. y2=-413x解析：选A由椭圆方程知，a2=9, b2=4,焦点在y轴上，下焦点坐标为（0, c）, 其中c= aja- b2.，抛物线焦点坐标为（0, 。5）,，抛物线方程为 x2 = -4/5y.2. （2012 东北三校联考）若抛物线y2=2px（p>0

19、）上一点P到焦点和抛物线的对称轴的 距离分别为10和6,则p的值为（）B. 18D. 4 或 16A. 2C. 2 或 18,p “Xo+ 2= 10,解析：选C设Rxo, yo),则 八|yo| = 6,2yo= 2pxo,.-36 = 2p 10 p ,即 p2-20p+ 36 = 0,解得 p=2 或 18.3. (2013 模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y26x7=0相切，则p 的值为()B. 11D.4A. 21 C.2解析：选A 注意到抛物线y2=2px的准线方程是x=-|,曲线x2+y2-6x-7 = 0,即 （x3）2+y2= 16是圆心为（3,

20、0）,半径为4的圆.于是依题意有号+3 =4.又p>0,因此p有2+ 3=4,解得 p=2.212,则此弦所在直线的倾斜角是4. （2012 模拟）已知过抛物线 y =6x焦点的弦长为B.3C.23兀D.万解析：选B由焦点弦长公式| AB = sin ? 得sin 2 =12,所以sin e =乎,所以0 =或法.5. （2012 模拟）抛物线y2=2px的焦点为F,点A、R C在此抛物线上，点 A坐标为（1,（2） 点F恰为 ABC勺重心，则直线 BC的方程为（A. x + y= 0B. x-y= 0C. 2X+ y1 = 0D. 2xy1 = 0解析：选C二点A在抛物线上，4=2p,

21、 p= 2,抛物线方程为y2=4x,焦点F(1,0)设点 Rxi, yi)，点 C(X2, y2),则有 y2=4xi,2.小y2= 4x2,由一得(yi y2)( yi + y2)= 4(xi x2)得 kBC=vy2xix24yi + y2yi+yz+2一一 ，.又- -= 0, - yi+ y2= - 2, - kBc= - 2.3 xi+x2+i .又.-=i,xi+x2=2,3BC中点为(i , i),则BC所在直线方程为 y+i = - 2(x-i),即2x+y 1 = 0.6. (20 i3 模拟)已知直线y=k(xm与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点，且 OA±OB ODLAB于D.若动点D的坐标满足方程 x2+y2-4x=0,则m=()A. iB. 2C. 3D. 4b i.=一 丁，km解析：选D设点Ra, b