典型例题：抛物线问题

1、抛物线问题典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.（1） x2 4y x ay2（a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p,再写出焦点坐标和准线方程.（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a进行讨论，确定是哪一种后，求 p及焦点坐标与准线方程.解：（1） p 2,焦点坐标是（0, 1）,准线方程是：y 1（2）原抛物线方程为：y2 -x, 2p - aa当a 0时，p工，抛物线开口向右，2 4a1 . 、一一1焦点坐标是（一,0）,准线方程是：x .4a4a当a 0时，p抛物线开口向左，2 4a11焦点坐标是（，,0）,准线方程是：x .4a4a1综合上述，

2、当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为（，,0）,准线方程是: 4a1x 一.4a典型例题二例2若直线y kx 2与抛物线y2 8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2, 求此直线方程.分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用 作差法”求k.y kx 2I 2 2解法一：设 A(xi,yi)、B(X2,y2),则由： 2 可得：kx (4k 8)x 4 0. y 8x;直线与抛物线相交，k 0且 0,则k 1 .AB中点横坐标为：x_3竺一 2, 2k2解得：k 2或k 1 (舍去).故所求直线方程为：y 2x 2 . 22解

3、法一：设 A(xi,yi)、B(x2,y2),则有 yi 8x1 y 8x2 .两式作差解：(yiy2)(yi y2)8(xx2),即"y一y2一8一 .xi x2yi y2xi x2 4yiy2 kxi 2kx22 k(xi x2) 44k 4 ,8k 故k 2或k i (舍去).4k 4则所求直线方程为：y 2x 2.典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为y2 2Px(p 0) .如图所示，只须证明四 |MMi ,则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切. 2证明：作AA l于ABB! l于B1 . M为AB中点，作MM于Mi ,

4、则由抛物线的定义可知：|AA| |AF , BBi| |BF|在直角梯形BB1A1A中：111MMi 2(AA| |BBi) 2( AF BF) 2 AB1 MMi -AB ,故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切. 2说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4 （1）设抛物线y2 4x被直线y 2x k截得的弦长为3芯,求k化（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.分析：（1）题可利用弦长公式求k, （2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标.y2 4x -22

5、解：（1）由） 得：4x （4k 4）x k 0y 2x kk2设直线与抛物线父于A（x1，y1）与B（x2, y2）两点.则有：x x2 1 k, x x2 一AB|J(122)( x薪，5(x1x2)24x#2V5(1 k)2k25(12 k)AB 375, <5(1 2k) 3痣，即 k 4.、2 9 6 53,55(2)S 9,底边长为3J5 , .三角形高h J9 82 点P在x轴上，设P点坐标是（x0,0） 则点P到直线y 2x 4的距离就等于h,即空于0T，22 12xo1或xo5 ,即所求P点坐标是（一1 , 0）或（5, 0）.典型例题五 例5已知定直线l及定点A (A

6、不在l上)，n为过A且垂直于l的直线，设N为 l上任一点，AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证P的 轨迹为抛物线.分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的 定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由 A为定 点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA PN且PN l即可.证明：如图所示，连结PA、PN、NB.由已知条件可知：PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P.一AN也垂直平分PB.则四边形PABN为菱形.即有PA PN .AB l. PN l.则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相

7、等，所以P 点的轨迹为抛物线.典型例题六例6若线段P1P2为抛物线C: y2 2Px(p 0)的一条焦点i , 112弦,F为C的焦点，求证：;一 ;r/、二刁|PiF| IP2FI P/)(/分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离日* "加表示出来，其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知 识，把结论证明出来.证法一：F (会,0),若过F的直线即线段P1P2所在直线斜率不存在时，则有 PiF|P2Fp,piF一设112pppy k(x 7P)(k 0),且若线段P1P2所在直线斜率存在时，设为k,则此直线为: 设 P

8、 (x1, y1), P2(x2 , y2) .I / p、 y k(X).2 2由2 得：k2x2 p(k2 2)x 0p4y k(x )2p(k2 2)X X2 -2 k2x1 x2 4根据抛物线定义有：|P1F| x1 Jp, P2Fx1 £, |幽 x1 x2 p川 11|PF| 1P2F|x x2 px x2 p请将代入并化简得:_1_ _1_2响即一 P证法二：如图所示，设P、P2、F点在C的准线l上的射影分别是P、P2、F，且不妨设P2P2 n m PP1，又设P2点在FF、RR上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知,P2F n, PF m, FF| p又 P2AF s

9、 P2BP1,即Uq m n m np(m n) 2mn工 1 2m n pAF BF|BP| IP2P1I丽丽而屋手? 一夕耳故原命题成立.典型例题七例7设抛物线方程为y22,2、.sec 4 p cot (1 cot ) 21 sin2Psin2 2 Px(p 0),过焦点F的弦AB的倾斜角为,求证:焦点弦长为AB2p2 sinWord资料分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一：抛物线y2 2Px(p 0)的焦点为 唱0), 过焦点的弦AB所在的直线方程为：y tan (x )由方程组y.(x y2 2px?)消去y得:22,2、4x tan 4 P(tan

10、 )2 .2p tanXiX2设 A(Xi,yi),Bd,y2),则Xi X2p(tan22) c 2、2-pp(1 2cot )tan2p4即AB2P sin2又 y1y2 tan (x1 x2)ABJ(1 tan2 )(x1 x2)2,. 2 . ,、2.(1 tan)(Xi X2)4x1X2.i'(1 tan2 ) p2(1 cot2 ) 4 4证法二：如图所示，分别作AA、BB1垂直于准线1.由抛物线定义有:AF| AAj |AF| cos p_P_1 cosBF| |BB1| p |BF| cos于是可得出:AB AFAF p BF1 cosBFp p1 cos 1 cos2

11、P21 cos2P故原命题成立.sin2典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点P(3,2<3),它的一个焦点为F (1, 0),对应于该 焦点的准线为x 1 ,过焦点F任意作曲线C的弦AB,若弦AB的长度不超过8, 且直线AB与椭圆3x2 2y2 2相交于不同的两点，求(1) AB的倾斜角 的取值范围.(2)设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程.分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其 斜率为k,弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得 的 取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简 即可.解：

12、(1)由已知得|PF 4.故P到x 1的距离d 4,从而|PF d曲线C是抛物线，具方程为y2 4x.设直线AB的斜率为k,若k不存在，则直线AB与3x2 2y2 2无交点.；k存在.设AB的方程为y k(x 1),y 4x2由可得：ky2 4y 4k 0y k(x 1)4设 A、B坐标分别为(x，yi)、(x2,y2),则：yy2yiy24kAB Y(1 J)(yi v2s1 k22. (yi y2)4yiy2 k4(i k2) k2 -二.弦AB的长度不超过8,4(i 2k ) 8即k2 ik2y k(x i)由 22 得：(2k2 3)x2 4k2x 2(k2 i) 03x2 2y2 2

13、AB与椭圆相交于不同的两点，k2 3由k2 i和k2 3可得：i k 73或J3 k i故 i tan 或 33 tan i23又0，所求的取值范围是：一 一或一 -4334(2)设 CD 中点 M(x,y)、C(x3,y3)、口函邛)2(k2 i) 0r y k(x i) m 222由 22 得：(2k2 3)x2 4k2x3x2 2y2 2X35则254k2 2,X3 Xi2k 32x3 x42k22k2 31 3 2k2 3k2 3一 2 一 一 2k 3 91 T2k2X42(k2 1)2k2 32k22k2 3224 (x 1)222上(x 1)2化简得：3x222y2 3x;所求轨

14、迹方程为：3x2222.2V之 3x 0(- X -) 53典型例题九例9定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2 x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时 AB中点的坐标.分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值.这是中点坐标问题，因此只要研究 A、 B两点的横坐标之和取什么最小值即可.解：如图，设F是y2 x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是 AC、BD ,又M到准线的垂线为MN , C、D和N是垂足，则1MN112(AC IBD) 2(aFBF)设M点的横坐标为x ,纵坐标为y ,等式成立的条件是AB过点F .5 -当 x 5 时，yy24222(y

15、v2* y22y1y2 2xABMN2,一 5、 2所以%，三）,3一.21mH 315 x x 42 4 4此时M到y轴的距离的最小值为5说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简.典型例题十例10过抛物线2Px的焦点F作倾斜角为 的直线，交抛物线于A、B两点,求AB的最小值.分析：本题可分一两种情况讨论.当2鼻时，先写出| AB的表达式,再求范围.解：（1）若此时AB若 2因有两交点，所以0.AB: y tan(x ),即 x y 2tan代入抛物线方程，有y例11过抛物线y 2px(p 0)的焦点F作弦AB , l为准线，过A、B作l的垂线，垂足分别为A、B

16、,则AFB为()，AF 8为().A.大于等于90B.小于等于90C.等于90 D不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识， 关键是求角 的大小以及判定直线与圆是否相切.二py p2 0. tan故(y2 yi)24p2 tan24p2224p csc(X2 Xi)2(y2 y1)2tan24p22 csctan2故 AB2 4 p2 csc2 (1 2) 4p2 csc4 . tan所以AB 3- 2P .因 一，所以这里不能取= sin22综合(1)(2),当万时，|AB最小值2P.说明：此题须对分一和一两种情况进行讨论;22从解题过程可知，抛物线点弦长公式为l -

17、p ;sin当 ,时，AB叫做抛物线的通径.通径是最短的焦点弦.典型例题十一解：点A在抛物线上，由抛物线定义，则 AA AF 12, '又 AA x 轴 13 . 23,同理 46,而 2364 180 , . 36 90 , AFB 90 .选 C.过AB中点M作MM ' l ,垂中为M ',1 ,_ ,1 ._K1_则 MM(AABB )(AFBF )-AB.222以AB为直径的圆与直线l相切，切点为M .又F在圆的外部， AF B 90 .特别地，当AB x轴时，M'与F'重合，AFB 90 .Il'X即 AF B 90 ,选 B.典型例题十二例12已知点M(3,2), F为抛物线y2 2x的焦点，