带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动分析与编程演示

1、带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动分析与编程演示物理系 任海林 指导教师:王维青【摘 要】分析了带电粒子在不同的均匀稳定电磁场中受力时的各种特殊的运动情况,并用MATLAB 软件编程实现运动轨迹演示。实现人机互动,即可根据需要输入不同的电场和磁场分量及带电粒子初速,由计算机演示出运动轨迹图.【关键词】 带电粒子,均匀稳定电磁场,运动轨迹 , 计算机演示0 引言带电粒子在电磁场中的运动时要受到电场和磁场对它的作用力,而且有许多的应用如:回旋加速器、磁聚焦、电子荷质比测定、质谱仪等等,这些应用都涉及到粒子的运动轨迹,可见研究此问题也有重要的理论和实际意义。随着现代科技的发展,多媒体计算机已不再是原来

2、作为辅助者出现的MACI (Multimedia Computer Assisted Instruction ,而是全方位地渗透在物理教育教学之中。当前在新教育思想和理念的指导下的新课程改革,是要造成一种多媒体技术与物理整合的新局面。所以将一些物理知识制成物理课件已成为一种必然趋势。但应用MATLAB 软件编程并演示粒子的运动轨迹图,至今还没有较全面的文章。这篇文章体现了传统知识与先进技术的结合,它不仅详细介绍了不同初始条件下有关于带电粒子在均匀稳定电磁场中运动的知识,而且还运用了MATLAB 软件(可以对微分方程进行求解,读者也可以修改原程序来制作新程序等对运动轨迹图进行了形象生动的演示。它

3、既可以为学生学习提供帮助也可以为老师进行多媒体教学提供参考。1 带电粒子在均匀稳定电磁场中受力分析: B V q E q a m+=2 带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动微分方程为:B V q E q dtrd m +=22 可将上式分解在直角坐标系展成标量式:-+=+-+=-+=(222222xy z x zy y z x B dt dy B dt dx m q m qE dt z d B dt dz B dt dxm q m qE dt y d B dt dzB dt dy m q m qE dt x d 令1=m qB x 2=mqB y 3=m qBz 则化简为:-+=-+=-+=dt

4、dydt dx m qE dt z d dt dx dt dz m qE dt y d dt dzdt dy m qE dt x d z yx 122231222322 令dt dx y xy =21 dt dy y y y =43 dtdz y zy =65则得出程序认可方程:-+=-+=-+=41226652y y mqE dtdy y dt dy y y mqE dt dy y dt dy y y m qE dt dy y dt dy zy x 根据上方程组进行编程,观看运动情况,做出运动轨迹立体图(如图1,此时取 B (x =1 B(y=1 B(z=1 E(x=1 E(y=1 E(z=

5、2 q=1.6e m=0.02kg立体图(1: 在XY 面上的投影(2: 图1 图2粒子在各个时刻的运动曲线的曲率与0,V B E相关,这里不做具体讨论。下面我们对情况1进行分析和讨论:情况1 B(x=B(y=0 B(z0 E(x=E(z=0 E(y不定所以式可化为=-=022322322dtzd dt dxw m qE t d dydt dy w t d dx 式可化简为 =-=06652344343221dtdy y dt dy y w m qE dt dy y dtdy y w dt dyy dt dy此时设计不同的0V 和y E 的值就可以得到不同的轨迹图 0,00=y x E V 作

6、图3: 图3由于0,000=z x V V ,所以粒子运动只限于YZ 平面,它的轨迹参量方程为:=-=-=dt v z t qBmEdt v t t m qBqB mE dt v z t x tx 00cos 1(sin ( 由X ,Y 的方程可以看出它的轨迹是一条摆线,但又由Z 的方程可知粒子的摆线轨迹有Z 方向的位移。0,0,0000=y z y x E V V V 时粒子的轨迹立体图,如图4;平面图,如图5: 图4 图5分析:由于B V 0,洛仑兹力F 永远垂直于磁感应强度B 的平面内,而粒子的初速度V也在这个平面内,因此它的运动轨迹不会越出这个平面。又因为洛仑兹力F 永远垂直于粒子的速

7、度,它只改变粒子的方向,但不改变其速率V ,因此粒子在上述的平面内作匀速圆周运动,但圆的半径与荷质比有关,这也是质谱仪的工作原理。 当V 与B 有一定夹角,可将V 分解为:sin ,cos /v v v v =。(即0,0,0z y x v v v ,粒子的轨迹图又该如何? 若只有分量v ,带电粒子将在垂直的平面内作匀速圆周运动,若只有分量/v ,粒子将沿B 方向作匀速直线运动,当两分量同时存在时,带电粒子轨迹将是一条螺旋线, 图6其螺距为:qBmv T v h /2=,带电粒子运动一周所前进的距离与v 无关,所以若从磁场中某点A 发射出一束很窄的电子流,使它们的速度很接近,并与B 的夹角都很

8、小,则v v v =cos /。它们具有近似相同的螺距h ,尽管它们的 v v v =sin 不同,各粒子会沿不同的半径的螺旋线运动,但各粒子经过距离h 后又重新会聚在一起,这就是磁聚焦。 当0,0z y B E 情况下的轨迹立体图如图7: 图7分析:求解该情况下的微分方程可得:t B E v c zy x sin =,式中mqB zc =称为回旋频率。解得的轨迹参量方程为-=-=tc zy y c tzz y x t qB m E dt v y t t m qB qB m E dt v x 022cos 1(sin (这是摆线的参量方程。当;0,0=z y x v v v y 时; zc y

9、zy B E n t B E x 2=。如果粒子在原点有初速,那么对它的运动情况的描述,只不过是在上面讨论的结果中加一个Z 方向的位移,它的值为t v z z =。 当0,0=z y B E 情况下的轨迹立体图为:V (Z 0时,粒子的轨迹图是XY 平面内的一条直线,V (X 0时,粒子在XY 平面内的作平抛运动,它的轨迹图是一条抛物线(图8。 图8情况2B 不垂直于E 时,我们选择B 的方向为Z 轴的方向,而选择通过B 及E 的平面为YZ 平面。即0,0,0,0,0=z y x z y x E E E B B B这时其运动方程的标量形式为： d 2 x qB z dy = × 2

10、2 dt qE m dt qB dx d y y z× 2 = m m dt dt d 2 z qE z = m dt 2 y1 = x 令 y3 = y y4 = dy dt y5 = z y6 = dz dt y2 = dx dt 则式可化为 dy1 dt dy 2 dt dy 3 dt dy 4 dt dy 5 dt dy 6 dt = y2 = qB z y 4 m qB y q Ey z 2 m m qE z m = y4 = = y6 = 对上面微分方程进行编程，就可以得出该情况下的轨迹图。下面我们就对粒子的轨 迹进行分析：由式第三个方程，我们可以看出，电荷以等加速度沿着

11、 Z 轴方向运动， 就是说， z= qE z 2 t + v0 z t 2m 用 i 乘式中的第二个方程，我们得到 d q ( x + iy + i ( x + iy = i E y dt m （ = qB m = ）将 x + iy 当作未知量，上面方程的积分就等于上面的方程略去右边项的积 t 分 与 该 方 程 保 留 右 边 项 的 一 个 特 别 积 分 的 和 。 第 一 积 分 是 ae ，第二个积分是 qE y m Ey B 。因此， x + iy = ae iwt + Ey B ia 常数一般来说是个复数。将 a = be 的形式，其中 b 及 a 为实数，我们可以看出， 既然

12、 a 被 e 乘了，那么，只要我们选择时间计算起点得当，就可以赋予位相 A 以任意 一个值。我们适当选择时间计算起点，使 A 为实数。将 x + iy 分解为实数及虚数两部分， 我们便得到 6 iwt x = a cos wt + Ey B , y = a sin wt 在 T=0 时，速度是沿着 X 轴，其轨迹不定，但在 XY 平面上的投影有规律可依：将方 程 2 再积分一次，并这样来选择积分常数，使当 T=0 时，X=Y=0，我们就可以得到： x= y= a a sin t + Ey B t (cos t 1 将以上二式看作一个曲线的参数方程，这两个方程定义一个所谓次摆线。其轨道在 XY

13、平面上的投影是看 A 的绝对值是大于或小于 Ey Bz 。 假如 a = Ey Bz ，那么式就变为 x= mE y qB 2 (t sin t , y = mE y qB 2 (1 cos t 就是说，轨道在 XY 平面上的投影是一个摆线，如下图 9 E( x 0,E (y neq 0,E (z neq 0,B( x o,B(y o,B(z neq 0 1 0 -1 -2 -3 y -4 -5 0 5 10 15 x 20 25 30 35 40 图9 当a > mE y qB 2 1 时，如图 10；当 a < mE y qB 2 2 时，如图 11： E(x 0,E(yneq

14、 0,E(zneq 0,B(x o,B(y o,B(zneq 0 E(x 1,E(y 1,E(z 1,B(x o,B(y o,B(z 1 0 0.5 -2 -4 y 0 -6 y -8 -0.5 0 5 x 10 15 20 25 -10 0 10 20 30 x 40 50 60 70 图 10 图 11 7 上面我们就将带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动轨迹进行了全面的分析：不同的 B，E，V 都可以改变带电粒子的运动状态。下面我们将附上 MATLAB 的编辑程序，以供大 家参考： 3 参考程序 主程序文件： B1=input('请输入数字=' B2=input('请

15、输入数字=' B3=input('请输入数字=' e1=input('请输入数字=' e2=input('请输入数字=' e3=input('请输入数字=' c=input('请按此格式依次输入x(0,vx(0,y(0,vy(0,z(0,vz(o=' q=1.6e-2; figure strd1='E(xneq 1,E(yneq 1,E(zneq 1,B(xneq o,B(yneq o,B(zneq 1' t,y=ode23('dcc9fun',0:0.001:20,c,q,

16、m,B1,B2,B3,e1,e2,e3; title(strd1,'fontsize',12,'fontweight','demi' xlabel('x' view(-51,18; comet3(y(:,1,y(:,3,y(:,5; plot3(y(:,1,y(:,3,y(:,5; grid on 函数文件： function ydot=dcc9fun(t,y,flag,q,m,b1,b2,b3,e1,e2,e3 ydot=y(2; q*e1/m+q*b3*y(4/m-q*b2*y(6/m; y(4; q*e2/m-q*b3*y(2/m+q*b1*y(6/m; y(6; q*e3/m+q*b2*y(2/