物体运动的描述

1、第一章 第一章 物体运动的描述§1-1 描述质点运动状态的物理量【基本内容】一、位置矢量1、 1、       质点 如果物体的大小和形状对所研究的问题没有影响，则可将物体看成一个具有质量的点。2、 2、       参照系 为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参照系。3、 3、       位置矢量 如图1.1所示，从坐标原点O到运动质点P的有向线段称为质点P的位置矢量。运动方程 质点的位置矢量与时间的

2、函数关系。轨迹方程 运动方程消去时间参量后，各坐标间的关系式，即由消去t得轨迹方程f（x，y，）=0。二、位移矢量设t时刻，质点处于P点，位置矢量为。经时间t后于t+t时刻运动到P/点，位置矢量为，则从初位置P到未位置P/的有向线段：叫质点在时间内的位移，如图1.2。它描述质点位置的变化。说明：（1）与的区别位移的大小，位矢长度的改变量。（2）位移与路程的区别路程表示质点在时间内越过的轨迹，即曲线的长度。是矢量，是标量，且当时，,但三、速度1、平均速度定义：质点在时间内的位移与时间的比值，叫质点的平均速度：其方向与的方向相同，如图1.3。平均速率：质点在时间内的位移与时间的比值，叫质点的平均速

3、率： 2、速度定义：时的平均速度。方向：沿轨迹切线且指向质点前进的方向。一般，但在直角坐系下的表示四、加速度1、平均加速度设t时刻，质点的速度为。经时间t后于t+t时刻质点的速度为，则质点的速度增量与时间间隔t的比值，叫质点的平均加速度。2、加速度定义：时的平均加速度。大小：，方向：是时，的方向，指向曲线凹侧。在直角坐标系下的表示大小：方向：与X轴的夹角【典型例题】【例1-1】一质点的运动方程为，求：（1） （1）               &

4、#160;     轨道方程并画出其轨道；（2） （2）                     及时质点的速度和加速度；（3） （3）                  

5、0;  第2秒内质点的平均速度；（4） （4）                     何时质点离坐标原点最近？并求出这个距离。【解】（1）运动方程的分量形式为消去时间后可得轨迹方程由于，所以不能取负值。轨道如题解例1-1图所示。（2）由速度的公式：代入和，其速度分别为和由加速度的公式：（3）第2秒内的位移：平均速度：（3） （3）    

6、0;        质点离原点距离：令可解出（舍去）故在时质点离原点最近：【讨论】（1）作图时，应在图上标明特殊位置的坐标值。如本题标明图线与横坐标和纵坐标的交点值。（2）表示质点的径向速度为0，它实际上是速度由正变负（或者由负变正）的转折值，因此此时所对应的值应该是局部最大或最小。在数学中，为确定是极大值还是极小值，需进一步求二阶导数。此题中，已经确定必无极大值，故将“驻点”代入比较就可求出极小值。【分类习题】【1-1】 对于质点，下列表述正确的是 ：（1） （1）     

7、;                加速度恒定不变时，运动方向不变。（2） （2）                     平均速度的大小等于平均速率。（3） （3）       &

8、#160;             平均速率表达式可写我为（分别表示始末时刻的速率）。（4） （4）                     速度不变时，速率不变。【1-2】一人自原点出发，内向东走，又内向南走，再内向正西北走。求在这内：（1） （1）  &#

9、160;                  平均速度的的大小和方向（2） （2）                     平均速率。【1-3】 一质点的位置矢量为（为常量）。则该质点作 （填匀速、变速） （填直线、曲线）运动。【1

10、-4】 质点运动方程为，求（1） （1）                     此质点的轨迹方程；（2）时刻质点的速度和加速度。【1-5】在质点运动中，已知。求质点的加速度和它的轨道方程。§1-2、直线运动【基本内容】一、直线运动的分类=0匀速直线运动 a与v同向匀加速直线运动a=c匀变速直线运动a与v反向匀减速直线运动c非匀变速直线运动二、运动图线表示质点在运动过程中，位置、速度随时

11、间的变化关系。1、位置时间图线（xt图）速度：由曲线的斜率表示。平均速度：由曲线中相应割线的斜率表示。2、速度时间图线（vt图）由vt图求a：由曲线的斜率求出。由vt图求位移：vt图线与t1、t2两纵坐标之间的面积。【典型例题】【例1-2】 有一小球沿斜面向上滚动，小球离开初位置向上滚动的距离与时间的关系为，求：（1） （1）                     初速度；（2） （2）

12、0;                    小球何时开始下滚；（3） （3）                     在内的位移和路程。【解】 （1）由代入得小球的初速度为（2）小球开始返回时，即运动方向的转折

13、点，对应速度为0，故即所以小球开始下滚的时间为（3）内的位移由于在时速度方向改变，因此内的路程应为和两段时间内位移大小之和：小结：本题中，速度表示速度方向的转折点，从而求得了小球返回处的时间。【例1-3】 一质点在轴上作加速运动，开始时。（1），求任意时刻的速度和位置，其中均为常量；（2），求任意时刻的速度和位置，其中均为常量；（3），求任意位置的速度其中均为常量。【解】（1）由加速度的定义式得两边积分，并代入初始条件得：由速度的定义式得：两边积分，并代入初始条件得：（2） （2）         

14、60;           由可得两边积分：，可得再由可得两边积分：（3）由于，于是两边积分有：,故 【讨论】（1）由于是一维运动，不必写出矢量形式，因为可以视直线运动为复杂运动中的一个分运动。（2）常见错误：不管加速度的形式，盲目使用中学的匀变速直线运动的三个公式。综合上面两例题：运动学的习题有两种基本类型：（1）已知运动方程，求速度、加速度、位移及轨迹方程；（2）已知加速度，求速度、运动方程。前者用微分法，后者用积分法。注意积分时应正确运用初始条件。【例1-4】在离水面高为的岸边上，有人以匀

15、速0拉船靠岸（例1-4图）。求船距岸边处时，船的速度和加速度。【解】以为坐标原点，指向船的方向为轴正方向建立坐标系。由勾股定理有两边对时间求导，得明显，船速，绳子速率，故式中负号表示船的速度方向与方向相反。加速度 【讨论】这类题看似无从下手，但某时刻三边构成明显的几何关系（本题是勾股定理），对等式两边求导就求出了速度间的关系，于是，路子就通了。说明：对一边求导时，要求只有一端运动，另一端静止，此时求导所对应的速度才为移动端的速度。【分类习题】【1-6】一小球沿斜面向上运动，其运动方程为，则 时小球达到最高点。【1-7】一质点运动方程为，求由至内，质点位移和所经历的路程。【1-8】 两车与同时出

16、发，沿直线作同向运动，其行使距离随时间变化关系分别为和。则刚出发时运动在前的是 ；出发后， 时两车行驶相同的距离；出发后， 时两车等速。【1-9】 一质点作直线运动，其运动规律为(为常量），当时，求时刻的速度。【1-10】 一质点沿轴运动，其加速度与时间的关系为，如质点的初速度为，求时质点的速度。【1-11】一质点沿轴运动，其图如（图1-11）所示。如时质点位于原点，则时质点在轴上的位置。【1-12】 一质点沿直线运动，其图如图1-12。则该质点第 秒的瞬时速度为0，第 秒至 之间速度与加速度同向。（提示：分析曲线切线斜率的增量）。【1-13】 灯距地的高度为，身高为的人在灯下以匀速沿水平直线

17、行走（图1-13），求他头顶影子点沿地面移动的速度。提示：建立坐标系，找出点所遵守的几何关系，再由速度的定义通过求导而得【1-14】 距河岸（看成直线）处有一艘静止的船，船上的探照灯以匀角速度旋转照射河岸，求当光束与岸边成角时，光沿岸边移动的速度。§1-3 曲线运动【基本内容】一、曲线运动1、自然坐标系研究曲线运动时，把坐标原点取在运动质点上，该点处的切线与法线构成正交坐标轴，如图1.4。切线坐标轴正方向：规定为质点前进的方向，其单位矢量为。法线坐标轴正方向：规定为指向曲线凹侧的方向，其单位矢量为。显然：和是随时间变化的。2、位置的自然坐标表示设质点沿曲线L运动，t=0时，位于P0点

18、，t时刻位于P点。则在时间t内，质点运动的路程（弧长）能确定质点的位置3、速度的自然坐标表示4、加速度的自然坐标表示其中：切向加速度反映速度大小的变化。法向加速度反映速度方向的变化。大小：方向：与夹角：二、圆周运动的角量描述如图1.5，质点在O-XY平面内作圆周运动。质点的运动状态可以用线量描述，也可用另一类物理量（角量）描述。1、角位置确定运动质点的位置的正负：逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。单位：弧度（rad）2、角位移描述质点位置的变化的正负：与规定一致。3、角速度描述质点转动的快慢大小：方向：由右手定则确定单位：rad/s或1/s4、角加速度描述质点角速度变化的快慢大小： 方向：作

19、加速转动时，与同方向；作减速转动时，与反向。单位：rad/s2或1/s2三、角量与线量的关系1、与s的关系，如图1.62、与的关系3、与a关系四、刚体的运动1、平动刚体平动的特征：刚体中的任一条直线，在刚体运动过程中始终保持平行。刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。2、定轴转动刚体转动的特征：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。描述刚体转动的物理量角位移角速度角加速度刚体匀变速转动公式【典型题例】【例1-5】质点作半径为R的圆周运动，其运动方程为，、均为大于的常数，求其切向加速度和法向加速度。【解】由速度定义式，得切向加

20、速度为法向加速度为【讨论】 对于圆周运动，无论求切向加速度还是法向加速度，应首先速率的表达式。【例1-6】 热气球在无风时以速度从地面匀速上升。但由于风的影响，随着高度的增加，气球的水平速度按的规律增大（为大于0的常数），求任一时刻气球的切向加速度、法向加速度和轨道的曲率分别与气球高度的关系。【解】由题意：可知又所以在任一时刻（高度），加速度的大小为，方向沿轴，与高度无关。任一时刻气球的速度大小为由此可求出切向加速度为：将代入上式，可得与高度的关系：而法向加速度可由式求出：再由，可得轨道曲率半径为【讨论】 对于一般曲线运动，写出速率的表达式，就可以方便地求出切向加速度。但是，在求法向加速度时，

21、因为曲率半径的数学计算比较复杂，一般不按定义式来求，而是根据总加速度、法向加速度和切向加速度的关系进行计算。【例1-7】质点作半径为的圆周运动，其角运动方程为，求质点的法向加速度和角加速度。【解】 角速度：角加速度：法向加速度：【例1-8】一质点从静止开始作半径为米的圆周运动。且，求其角速度和切向加速度。【解】由角加速度的定义：切向加速度：【讨论】 综合【例1-7】和【例1-8】两例题，由求求用微分；反之，由求求用积分，积分时，要求正确运用初始条件。注意：对于圆周运动，由于角量的方向均在一直线 (转轴) 上，因此，求角量间的关系时不必用矢量形式。【分类习题】【1-15】 质点作变速圆周运动，已

22、知圆周半径为，时刻质点速率为。求时刻其加速度的大小。【1-16】以初速度，抛射角斜抛一物体，求其轨道最高点处的曲率半径。【1-17】质点作半径为的圆周运动，其路程（为大于0的常数，且）。则时刻质点的切向加速度大小 ，法向加速度的大小 ；当 时。【1-18】 半径为20cm的主动轮与半径为50cm的从动轮，用无相对滑动的皮带连接。主动轮从静止开始作匀角加速转动，在内从动轮角速度达。求在这内主动轮转过多少圈。【1-19】 飞轮作匀角减速转动，角速度在内由减少到。飞轮在这内共转过 圈，再经过 时间才停止转动。【1-20】 一质点作半径为的圆周运动，角位移。求时其法向加速度大小和切向加速度大小。【1-21】 一质点以绕轴转动，此质点某时刻的位置矢量。求该时刻质点的速度。提示：利用角量与线量间的矢量关系。§1-4相对运动【基本内容】一、位矢相对性质点在系的位矢，等于质点在中的位矢与系的坐标原点相对于系的位矢的矢量和。如图1.7：二、速度的相对性质点相对于系的速度，等于质点相对于的速度与系相对于系的速度的矢量和。三、加速度的相对性质点相对于系的速