函数一致连续性ppt课件

1、2.9 2.9 函数的一致延续性函数的一致延续性一、定义一、定义121220,0,|,:x xE xx 定定义义 ：总总有有.上上一一致致连连续续在在称称If,| )()(|21 xfxf 0000:,0,0,|,fERxExxExxx 0 0定定义义：假假设设总总有有 f f( (x x) )- -f f( (x x ) )则则称称函函数数在在连连续续. . 00,xEx = =i in nf f 0 0, ,则则有有下下面面结结论论 x xyox 几何解释几何解释上上不不一一致致连连续续在在If, 0*0ItsNnnn 都都有有 ，满满足足ntsnn1| .| )()(|0 nntfsf但

2、但是是. 2例例1.1.证明：证明：,21Rxx 2sin2cos2sinsin212121xxxxxx , 取取21212sin2xxxx .|sinsin|21 xx总总有有,21时时当当 xx.sin)( 上上一一致致连连续续在在求求证证Rxxf 二、例题二、例题.cos)( 上上一一致致连连续续在在Rxxf 几何解释几何解释 x xxfsin)(x 例例2.2.上上一一致致连连续续在在),0)( xxf证明：证明：21212121| )()(|xxxxxxxfxf , 02, 1 xx而而对对任任意意的的,012212xxxxx ，此时，此时无妨设无妨设21221xxxxx 易易见见2

3、1212121)()(xxxxxxxfxf 时时，当当对对 2121 ,0,xxxx.|212121 xx, 0 ,2 取取21xx 总总有有几何解释几何解释 x x xxf)( 23( )0,.f xx 例例 ：讨讨论论，在在上上一一致致连连续续 x x 2)(xxf,21,nntnsnn .121nntsnn . 121)212()21()()(22 nnnnnntfsfnn证明：证明： ., 0)(2上上不不一一致致连连续续，在在 xxf例例3. ., 0上上不不一一致致连连续续在在进进而而 nx?一一致致连连续续性性 x14( )(0,1).f xx 例例 ：讨讨论论在在上上一一致致连

4、连续续 x xyox xxf1)(.(0,1)1)(上上不不一一致致连连续续在在xxf ，令令ntnsnn1,11 .1)1(1111nnnnntsnn .1)1()()(0 nntfsfnn但但解：解：例例4.例例 )0.(,1)( 上一致连续上一致连续在在xxf证明：证明： ., tstsststtstfsf 2111)()( 时，时，当当 2 ts.)()( tfsf例例6.6.条条件件：上上满满足足在在设设LipschitzIf,)()(,212121xxLxfxfIxx 有有证明：证明：.)()(,02121 xxLxfxf为为使使.即即可可取取L .上上一一致致连连续续在在求求证证

5、：If可以看出，可以看出， 一致延续要求函数变化不要一致延续要求函数变化不要“太陡太陡, 0 L2( )sinf xxR 例6：讨论在 上一致连续性. x x 2( )sinf xx 2( )sinf xx 例例6 6：0(1)1,22nnnnst 取取在上的一致延续性在上的一致延续性证明：证明：(1)222(1)(1)22nnnnstnnn 22sinsin1nnst 在上不一致延续在上不一致延续8( )sinf xx 例例 ：讨讨论论函函数数一一致致连连续续性性x x ( )sinf xx （2 2）81( )sin( )sinf xxxf xx 例例 ：（），（2 2）讨论在定义域一致延续性讨论在定义域一致延续性 11112,02222222sin 212nnnnnnsttsnnnnnnf tf sn 解解 ： （ 2 2）因此一致延续因此一致延续无界函数可以一致延续；无界函数可以一致延续；有界函数可以不一致延续有界函数可以不一致延续例例9：讨论以下函数的一致收敛性：讨论以下函数的一致收敛性 11cos01xfxexx（）（） 1211,212110nnnnnxtnnnfxf ten 21,0,1