第三章离散傅里叶变换(new)

1、本章主要内容本章主要内容 几种傅里叶变换的形式几种傅里叶变换的形式 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（dftdft） 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 有限长序列的循环卷积与线性卷积的关系有限长序列的循环卷积与线性卷积的关系第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(dft)(dft)dftdft变换的实质：变换的实质： 有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样 ( (时域和频域都是离散化的有限点长的序列时域和频域都是离散化的有限点长的序列) )dftdft变换的意义：变换的意义： 开辟了频域离散化的道

2、路，使数字信号处理可以在频域中进行开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进行处理，增加了数字信号处理的灵活性。处理，增加了数字信号处理的灵活性。 dftdft具有多种快速算法具有多种快速算法(fft)(fft)，实现了信号的，实现了信号的实时处理实时处理和设备的和设备的简化。简化。3.1 3.1 几种傅里叶变换的形式几种傅里叶变换的形式时间信号时间信号频谱函数频谱函数变换关系变换关系连续连续离散离散周期周期非周期非周期连续连续离散离散周期周期非周期非周期一、连续非周期时间信号的傅里叶变换( )()jtx t exjdt ()1( )2jtxjex td 是模拟角频率是模拟角频率时间

3、函数时间函数频率函数频率函数连续性连续性非周期性非周期性非周期性非周期性连续性连续性02021()( )pptjkttpx jkx t edtt00( )()jktkx txjke二、连续周期时间信号的傅里叶变换( )xtpt的周期为的周期为0()x jk为傅里叶级数的系数为傅里叶级数的系数02pt为相邻两谱线的角频率间隔为相邻两谱线的角频率间隔时间函数时间函数频率函数频率函数连续性连续性非周期性非周期性周期性周期性离散性离散性周期的连续时间信号可以分解为无穷次谐波叠加而成周期的连续时间信号可以分解为无穷次谐波叠加而成( )()jj nnx n ex e1()2( )jnjx edx ne()

4、()j tjn tnx nt ex e221()()ssj tn tsjx edx nte三、离散非周期时间信号（序列）的傅里叶变换t x(n)=x(nt)时间函数时间函数频率函数频率函数离散化离散化周期性周期性非周期性非周期性连续性连续性四、离散周期时间信号的傅里叶变换四、离散周期时间信号的傅里叶变换总结总结时间函数时间函数频率函数频率函数离散化离散化周期性周期性周期性周期性离散化离散化离散周期序列离散周期序列周期离散频谱周期离散频谱规律规律总结出的一般规律：总结出的一般规律：时间函数时间函数频率函数频率函数连续、非周期连续、非周期非周期、连续非周期、连续连续、周期（连续、周期（tp）非周期

5、、离散（非周期、离散（0= 2/tp)离散（离散（t）、非周期）、非周期周期（周期（ s=2/ t）、连续）、连续离散离散(t)、周期、周期(tp)周期周期( s=2/t)、离散、离散(0=2/tp)3.2 3.2 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数一、离散傅里叶级数的获得一、离散傅里叶级数的获得非周期序列非周期序列x(nx(n) )ft等间隔采样等间隔采样时域的周期延拓时域的周期延拓22( )( )()jknjknz ex kx zx e( )x k 1 1、怎样得到怎样得到x(n)的傅里叶变换：的傅里叶变换：()( )jwjwnnx ex n e202( )()()()jkn

6、jkjwwknx kx ex ex e离散化：离散化：002( )()( )( )jknjkjknnnnx kx ex n ex n e202( )()()()jknjkjwwknx kx ex ex e002( )()( )( )jknjkjknnnnx kx ex n ex n e( )x k=02n 对对x(n)的的ft在每个周期内进行在每个周期内进行n点等间隔点采样：点等间隔点采样： 对对x(n)的的z变换变换x(z)在单位圆的在单位圆的n个等间隔点上采样：个等间隔点上采样：结论：结论：频域的离散化造成了时域信号的频域的离散化造成了时域信号的周期延拓，或周期延拓，或频域周期序频域周期序

7、列在时域上对应的就是周期序列。列在时域上对应的就是周期序列。2221100( )( )nnjknjkmjknnnnkkmx k ex m ee 21()0( )njk m nnmkx me210( )()njknnkrx k enx nrn2101( )()( )njknnkrx k ex nrnx nn( )x k2 2、对、对 进行进行处理处理002( )()( )( )jknjkjknnnnx kx ex n ex n e( )x k=3、周期序列的几个概念、周期序列的几个概念 主值序列主值序列：主值区间上的序列：主值区间上的序列x(n)( )x n 主值区间主值区间：周期序列：周期序列

8、 中从中从n=0到到n-1的第一个周期。的第一个周期。( ) x n( )x n 则则x(n)和和 之间的关系：之间的关系：周期序列的方便表示形式：周期序列的方便表示形式：( )( )(3.1.7)nx nx nx(n)n2101( )()( )njknnkrx k ex nrnx nn21100( )( )( )( )nnjknknnnnnx kdfs x nx n ex nw2110011( )( )( )( )nnjknknnnkkx nidfs x kx k ex k wnn2jnnwe4、周期序列的离散傅里叶级数（、周期序列的离散傅里叶级数（dfs）表达式）表达式正变换：正变换：反变

9、换：反变换：周期序列可以用周期序列可以用其其dfsdfs表示它的表示它的频谱分布规律。频谱分布规律。 (1/)( )n x k意义意义：表明将周期序列分解成表明将周期序列分解成n次谐波，次谐波，第第k个谐波个谐波频率为频率为k=(2/n)k， k=0, 1, 2 n-1，幅度为，幅度为 ，基波分量基波分量的的频率是频率是2/n， 幅度是幅度是 (1/)(1)n x例：已知周期序列例：已知周期序列 如图所示，其周期如图所示，其周期n=10，求其离散傅里叶级，求其离散傅里叶级数的系数数的系数 。 解：解：( )x k( )x n2410 1410101000sin()2( )( )sin()10j

10、knjkknnnkx kx n week例：已知序列例：已知序列x(n) ，求其傅里叶变换，求其傅里叶变换 ，并在频率，并在频率 处对其进处对其进行等间隔采样。行等间隔采样。解解：1,04( )0,5,9nx nnk2k1054j2505sin()12(e )1sin( )2jj njjnexeeek4j102k105sin()10(e)sin()10jkkxek结论：周期序列的结论：周期序列的dfsdfs系数等于其主值序列的系数等于其主值序列的ftft的采样值的采样值二、频域采样理论二、频域采样理论 时域采样时域采样频域周期延拓频域周期延拓频域采样频域采样时域周期延拓时域周期延拓避免时域混叠

11、，条件是什么？避免时域混叠，条件是什么？频域采样定理解决频域采样定理解决 ksaajkjxtjx)(1)(避免频率混叠，避免频率混叠，fs2fc时域采样定理解决时域采样定理解决 ( )( )( )knknnz wnx kx zx n w101( )( )( )nknnnknidfsx kx k wnx11()0011( )( )( )nnknknk m nnnnnkmmknx m wwx mwnnx ( )(),nrnx nrnrx为整数( )( )nnx zx n z在单位圆上等间隔采样（在单位圆上等间隔采样（ftft等间隔采样）等间隔采样）在时域中有一序列与其对应，用在时域中有一序列与其对

12、应，用idfsidfs分析分析结论结论： x(z)在单位圆上的在单位圆上的n点等间隔采样点等间隔采样的的idfs得到得到 ，为原序列，为原序列x(n)以以n为周为周期的周期延拓序列。期的周期延拓序列。( )nnx频域采样定理频域采样定理l设设x(n)的长度为的长度为m，只有当频域采样点数，只有当频域采样点数nm时，可由频域采样序列时，可由频域采样序列 或其主值序列或其主值序列x(k)不失真地恢复出原信号。不失真地恢复出原信号。( )x kl如果如果nm时，时， x(n)以以n为周期进行周期延拓，会产生混叠，从为周期进行周期延拓，会产生混叠，从 中就不中就不能够不失真地恢复出原信号能够不失真地恢

13、复出原信号x(n) 。( )( )( )()( )( ),nnnnrnn r nx n rn r nx n nmxx( )nnxl如果如果x(n)是无限长序列，时域周期延拓后，必然会造成混叠现象。当是无限长序列，时域周期延拓后，必然会造成混叠现象。当n增加时增加时信号的衰减越快，或频域采样点数信号的衰减越快，或频域采样点数n越多（采样越密），误差就越小。越多（采样越密），误差就越小。例：序列例：序列x(n)的长度为的长度为m=9，分别以，分别以n=7，12为周期对序列为周期对序列x(n)进行进行周期延拓，并画出延拓后的序列，说明所得结果有何不同。周期延拓，并画出延拓后的序列，说明所得结果有何不

14、同。11( )( )kdfsnxx22( )( )kdfsnxx三、离散傅里叶级数的性质三、离散傅里叶级数的性质1( )nx2( )nx设设 和和 都是周期为都是周期为n n的周期序列，其的的周期序列，其的dfsdfs为为1212( )( )( )( )dfs ananakakxxxx（1）线性）线性bb2()( )( )jkmkmnndfs x n mwx kex k（2）序列的移位）序列的移位ln( )()ndfs wx nx kl （3）调制特性）调制特性 （4 4）周期卷积）周期卷积12( )( )( )y kkkxx1120( )( )( )()nmy nidfs y kx m x

15、nm1210( )()nmx m x nm3.3 3.3 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（dftdft）一、周期序列与其主值序列的关系 注意：注意：(n)n表示表示n对对n求余，即求余，即:如果如果n=rn+n1，0n1n-1，r为整数，则：为整数，则：(n)n=n1例例：设设n5，5)()(nxnx设55(5)(5)(0)(6)(6)(1)xxxxxx55(5)(5)(0)(6)(6)(1)xxxxxx, ,则有：则有：x(n)是周期为是周期为n有周期序列有周期序列 的主值序列的主值序列5)()(nxnx设( )(),rx nx nrn r为整数5)()(nxnx设( ),01( )0,x

16、nnnx n其他n5)()(nxnx设( )( )nx kx k( )( )( )nx kx k r k同理同理( )( )( )nx nx n r n 5)()(nxnx设( )( )nx nxn5)()(nxnx设(k)5)()(nxnx设(k)5)()(nxnx设二、从离散傅里叶级数到离散傅里叶变换21100( )( )( )( )nnjknknnnnnx kdfs x nx n ex n w2110011( )( )( )( )nnjknknnnkkx nidfs x kx k ex k wnn已知：已知：周期序列的主值序列周期序列的主值序列x(k)时域周期序列时域周期序列( )x n

17、求和只限定求和只限定在主值区间在主值区间周期序列的主值序列周期序列的主值序列x(n)频域周期序列频域周期序列( )x k注意：注意： l n n为变换区间的长度；为变换区间的长度； 定义有限长序列的离散傅里叶变换210( )( )( )njknnnx kdft x nx n e10( ),01nknnnx n wkn正变换：正变换： 2101( )( )( )njknnkx nidft x kx k en101( ),01nknnnx k wnnn逆变换：逆变换： l 不是不是x(n)的频谱，它只是有限长序列的频谱，它只是有限长序列x(n)的频谱在一个周期的频谱在一个周期 (02)上上的的n点

18、采样。当点采样。当n大于序列的长度大于序列的长度m时，时，x(k)可以代表可以代表x(n)的频谱。的频谱。x(k)l 涉及到有限长序列的涉及到有限长序列的dft，认为该序列是周期为，认为该序列是周期为n的周期序列的主值序列，的周期序列的主值序列，因此，离散傅里叶变换因此，离散傅里叶变换隐含着周期性隐含着周期性。例例 序列序列x(n)=r4(n)，求，求x(n)的的8点和点和16点点dft 。 解解: (1) 设变换区间设变换区间n=8， 则则：273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnnj kx kx n wekekk273880038( )( )sin()

19、2,0,1,7sin()8jknknnnj kx kx n wekekk273880038()()sin()2,0,1, 7sin()8jknknnnjkxkx n wekekk 3273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnnj kx kx n wekekk 0,1,.15k ,)16sin()4sin()16sin()4sin(11)(x(k)16316828483016215016 kkekkeeeeewnxkjkjkjkjkjnknjnkn 0,1,.15k ,)16sin()4sin()16sin()4sin(11)(x(k)163168284830

20、16215016 kkekkeeeeewnxkjkjkjkjkjnknjnkn 结论：离散傅立叶变换(dft)结果与变换区间长度n有关。(2) 设变换区间设变换区间n=16， 则则dftft 三、有限长序列的三、有限长序列的dft与与z变换，傅里叶变换的关系变换，傅里叶变换的关系1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kn-1nnnnknnnx zzt x nx n zx kdft x nx n w1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kn-1nnnnknnnx zzt x nx n zx kdft x nx n w22( )( ),0kn-1(3.1.3)( )(),0kn-1(3.1.4)jknz ejknx kx zx kx z22()(),0kn - 1( 3 .1 .3 )()(),0kn - 1( 3 .1 .4 )jknzejknxkxzxkxz22( )( ),0kn-1(3.1.3)( )(),0kn-1(3.1.4)jknz ejknx kx zx kx ze22( )( ),0kn-1(3.1.3)( )(),0kn-1(3.1.4)jknz ejknx