二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用

1、二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用作者：丁月明 指导老师：浦和平关键词：变量代换三重积分摘要：由课本上对二重积分变量代换的简介，我们可以看出此方法在某些情况下简化了积分运算，而在三重积分中是否也存在此类变量代换呢，本文将把变量代换推广至三重积分，并给出其存在性的证明，和具体应用。一对存在性的证明 记 F (u,v,w )= f (x(u,v, w), y(u,v,w), z(u,v,w) F 于有界集 Duv 连续，F 必一致连续,即 Vs :>0, 36 >0 对(ui, vi ), (u2, v2)忘 Duv,有当 J(u1-u2)2 -(v1-v2)2 -(c1-c2

2、)2时，F (u1,v1,w1)-F(u2,v2,w2 余 s 成立。由积分中值定理，得 = JJJF (u,v,w Jdudvdw-川 f (x,y,z pxdydzm f=送 I JJjFJdudvdw- JJJ fdxdydzi £ I diDi丿m=Z (F (li, big)川 Jdudvdw-f(©i,WE Di|) i im=Z)f CiM|Dii 1Di = UJdudvdw,由于Di是di的值域，巧，6,)di，使得di© =X(Ti,bi,«i ),勺=y(Ti,bi,©i ), Ai =Z(Ti,bi ,«i )

3、存在,F(Ti,bi,©i ) f(Ti,cri, IDi = F (u1,v1,w1 )-F (u2,v2,w2 ) csA <Z s DiDxyz,Vs >0,也=0 有川 f (x, y, z )dxdydz= JJjF (u,v,w Jdudvdw二变换方法的推导1 从几何角度的证明存在三个交线互不平行的曲面f(x,y,z)=u0, g (x, y,z)=v0 , q(x,y,z)=w0 ,三个曲面簇f (x, y, z) =u, g (x, y, z) =v, q (x, y, z) =w 交成空间曲面网构成新的 坐标，而体积元为一个交点处，三条交线弧微元构成的

4、空间的体积。以u方向为例求弧微元,Su0ui =uo+AS 22uxu (u,vo,wo) + yu (u,v0,w0)+zu (u,v0,w0)du=Jxu2(u0 + 弘 u,v0, w0) + yu2(u 0 + 0Au,v0, w0) + zu2(u 0 + 弘 u,v0, w0)Aus： Jxu22(u0, v0,w0) + yu2(u0,v0, w0) +zu2 (u0,v0,w0)iu由此可得dSu0ui于是体积微元为=rudu，类似的可以得出v,w方向的弧微元dV = dsu dsvdsw = rurvTc(x, y,z )rw J dudvdw =dudvdwc(u,v,w)

5、=ru .Au2用代数方法证明在坐标x，4x =4y，z下有向量 y =4z =x000yoo，体积微元为向量偏导数微元的混合积Z0v，w为x，y，z的参数，于是w为一组基dx dyXfC11C120311uy=C21C22C23vLz.1C31C32C33Lw.又，有u，C11C12C13C21C22C23C31C32C33在体积微元为H0的情况下，定u，dxIdx dy dz= 00dy0dz& -.:期今伽dudvdwdudvdw= d_%udvdw = |j 点(u,v,w )证毕如，常见坐标系柱坐标的变换X + y =u2z =v =X + y = pz =vy =wxX =

6、 p COS0 y = p sin 99 = tg 'wz = z川dxdydz = fff pdpd 日 dz-应用举例1,=ax (a>1, b>1, c>1 )所围区域体积,X = apsin 申 cos y =bsin cos日 z = c pcos®2,J =abcp2sin dddp，可得-兀= abcF兀d& f sinf二 00a2 sin 电os8-P2dp2x + 3y+z=0 求又曲面x + y+ z=12x+3y+z=3和x + y+ z=4 所围区域体积4x + y + 2z = -2 4x + y + 2z = 02x +

7、3y + z = u 设曲面簇X + y +z =v4x +y + 2z = w0v点（u,v,w）可做变换=JJJdxdxydz 飞0 4 31 1 18 dudvdw = X 3x 3x 2 = 53,求曲面zx2+ y2,zX2 +y2,xy=b ,y=ax,y = Px所围区域体积。2,v= xy,w/x/Vw32w"7wfw + I w2需f亠1u I w +I wuv2fwr 11-UwJ2w I w 丿b2-Pf 21 w3川 xyzdxdydz二丄udu ； v3dv f i w+ + dw &2 '后a叫 w w丿丄(丄32 Im2 nJ4)2)”贻

8、卜昭4,求积分 JJJx2dxdydz,受曲面 z =ay2,z = by2,z =ax,z = Px,z = h 限制 令,zzu =p,V=-,W=ZyxwwX = , y = J,z =wV ¥ uw2 V7w2u20127uw3_W232v2於,721 h _V = fff x dxdydz = - w2v201只 dvCt v43u ,5,55嶋h4耐-丄心a P3八需Tb丿5,求受曲面z =x2 + y2, z =2(x2 + y2), xy = a2, xy = 2a2, x = 2y,2x = y 限制的体积 V,v=xy,w = x = /Vw, y = J, z =u(vw +#) yV ww2 2w22a2=1 du t,2 v v9 4vr)d4a6,x求受曲面一ab一c , x=0 , z=0,y +Z =0,x + - =1 限制的体积 V。 + yb c a b ca b令 V = we则曲