83平面向量的数量积

1、第3讲平面向量的数量积1.两个非零向量夹角的概念-7 -已知非零向量a与b，作OA = a , OB = b , 则 AO B=9(0W ewn)叫 a 与 b 的a与b，它们的夹角是 0，则数量特别提醒：向量a与向量b要同起点。2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 | a| b |cos _叫a与b的数量积，记作 a b，即有a b = | a| b |cos特别提醒:(1)(0< 0 w n ).并规定0与任何向量的数量积为 0(2) 两个向量的数量积的性质:1)2)3)4)b为两个非零向量，a e =| a|cos当a与b同向时，a b特别的a a = |cose是与

2、b同向的单位向量，a| b | ；当 a与 b 反向时，a b =| a| b |.a|2或| a |= ja aa| b |5)| a b | w |aI 论也 A方向上的投影Bi投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 =0时投影为|b| ;当=180时投影为|b|*4. 平面向量数量积的运算律交换律：_ a - b = b - a数乘结合律：（A a） b =几（a b ） = a （ z b ）分配律：(a + b ) c = a Q + b c5. 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量（x1,y1）,I 斗Ib单位向量，那么

3、a = xf + y1 j ,b =（X2, y2），设i是X轴上的单位向量，j是y轴上的44-= X2i +y2j 所以 a b = XiX yi y26. 平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（Xj yj、（x2, y2）,那么：|a|= J(X1 X2)2 +(% y2)27.向量垂直的判定：设 a -（xyj ,b =（X2，y2），则 a 丄 b-XiX2 + yy =08.两向量夹角的余弦（0 < 0 <兀）cos 日=a b重问题1:两个向量的数量积是一个实数难点突破向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。例：规定，a 0=0 a =0

4、（不是零向量0，注意与入0 = 0（入 R）区别）（2）向量数量积与实数相关概念的区别冋题2:表示方法的区别数量积的记号是a "b，不能写成axb，也不能写成ab（所以有时把数量积称为“点乘”记号a X b另外有定义，称为“叉乘”）.问题3:相关概念及运算的区别若a、b为实数，且 a b=0,则有a=0或b=0，但a b =0却不能得出a = 0或b =0 .因 为只要a丄b就有a b =0,而不必a = 0或b = 0 .热点考点题型探析考点一：平面向量数量积的运算题型1.求数量积、求模、求夹角【例1已知a(3)(2a-lb (a+3b) ； (4) ：【例1已知a =2,b| =

5、3,a与b的夹角为120o，求（1a b;（2）a -b;解析：彳斗 4斗.1(1 a b=|a blcosG0 =2咒3"M=3(2)a2 -b2 =诃幷_舟2=4一9 一5例2解析:已知a44 彳24 呻2(2%-b) (a 椁b) = 2a + 5a b-3b呻2'|bcos120o3|b|2右34 _I耳2 厂+b) =va + 2a b + b =74-6+9 =" 4 <4 _, 亠“=2 a +5$ 厂8-3 a +b =1, b =j2,且a-b与a垂直，求a与b的夹角。设a与b的夹角为日b与a垂直爲一鳥=0即a4I 4f a 一4 442 |

6、4/. a b = a = a2=1:濮0o,80oC 兀. d =4/. a与b的夹角为题型2。利用数量积解决垂直问题例3若非零向量:、P满足a +J.s-P，证明：a丄P解题思路:只须证明a m =0。证明由：M率胡得:展开得JR。,故:M解析:申审二(：+?)2 =(：耳2例 4在 ABC中，AB=(2, 3) , AC =(1, k)，且 ABC的一个内角为直角,求k值*3解析：当 A = 90 时，AB ”AC = 0 , 2X 1 +3 x k = 0 k =-2当 B = 90 时 AB BC = 0 ,BC = AC -AB = (1 -2, k3) = ( -1, k3) 2

7、X (-1) +3 X (k3) = 0 k =113当 C= 90 対，AC ”BC = 0 ,1 + k( k3) = 0.k =42届高三上学期第三次月考【新题导练】1.(广东省普宁市城东中学 2011已知向量 a =(1, 1) , b =(2,n)，若 I a + b 1= a ”b ,则n=(A. - 3 B . -1 C答案：D解析：j9 + (1 + n)2 =2 + n 解得 n=32.执信中学2009-2010学年度高三数学试卷知 a, b, c为 ABC的三个内角A, B，C边， 向量m =(虑-1),n = (cos A, sin A).若 m 丄 n，且 acs Bc

8、= C,则角A, B的大小分别为(A.B.2 n n5 36答案:解析:m丄n可得mn = 0即J3cos A- sin A = 0所以角兀A=3兀-C可得B =6范围是(兀A. 0,6B.切解析:由关于x的方程6X2 +1 a | X + a 七=0有实根，得：| a | -4a 七 > 0D.2兀且acosB +bcosA =csinC及 B =3考点2利用数量积处理夹角的范围题型1 :求夹角范围例5已知| a |=2 | b | H 0 ,且关于x的方程x2 + |a|x+a b = 0有实根，则a与b的夹角的取值4 4色,又 |a|=2|b|H0,|a|b|1彳4|a|2"os 处 177 -1 a| 2''【新题导练】1兀S， -.答案B.3设非零向量a = (x,2x ), b=( 3x,2 )，且a , b的夹角为钝角，求 x的取值范围解析广a,b 的夹角为钝角，a b =x (3x)+2x *2 = 3x2+4xc01|：|2.设向量為的夹角为0,则cos e十4由(1),(2)得x的范围是/OC