B样条曲线与曲面

1、四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足:1)特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2)不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。E样条曲线的数学表达式为:nP,n(U)=2； Pdk、Nk,n(U)k=0,m所以可以看出：B样条曲线是分段定义的。在上式中，0 w u w 1 ; i= 0, 1,2,如果给定 m+n+1个顶点Pi ( i=0, 1,2,m+n)，则可定义 m+1段n次的参数曲线。在以上表达式中:N

2、<,n(u)为n次B样条基函数，也称B样条分段混合函数。其表达式为:1 n_kNk,n(u)=-2 (-1)j ch (u+n-k-j)n n!式中：0 w u w 1k = 0, 1,2,n1 .均匀B样条曲线1一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点P (i = 0 , 1,，n)定义n段一次(k = 0,1, n=1)均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段 Pi (u),其定义表达为:P(u) = u叩0【；i -4i=1,，n; 0<u<1=(1 - u) Pi -1 + UPi=No, 1 (u) Pi-1 +N1，1 (u) Pi形。第i段曲线端点位置矢

3、量：R(°)=Pg, P (1) = R，且一次均匀B样条曲线就是控制多边2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量 P （i=0,1,，n）定义 n 1 段二次（k= 0,1,2 ,n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi （u） （i=1，n 1）,其定义表达为:-2P（u）=1u2 u 1】-2 2 0Pi11 1 0.LP#111PJi = 1, . n.,1; 0 < u < 1丄2） Pi-1 +2 （1 + 2 u 2u2） P +12!u 2P + 1No, 2 （u）Pi-1 + N1，2 （ u） Ri + N2，2 （ u） R

4、 + 1Q】端点位置矢量：P（0） =0.5（也+ Pi）RO） =0.5（R + P叶），即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1 Pi和PiPi+1的中点。P、P寺三个顶点位于同一条直线上，P（U）蜕化成略R Pm直线边上的一段直线。端点一阶导数矢量：P（0）= Pi 一 Pm，RX Pt" Pi， P（0）= P* PiR（1） = Pi七-p十，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。二阶导数矢量：Pi（0）= P2 一 2 Pi + P叶二Pi=Pi （t），即曲线段内任何点处二阶导数相等，且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续。

5、3 三次均匀B样条曲线空间n+1个顶点的位置矢量 R （i=0 , 1 , 0 0 0 , n）构造n 2段三次（k = 0,1,2,3，四阶n=3）点处具有二阶导数连续(因R "=P ”(°)。r-1Pi JPi + 2Pig"13! (1 u)-3L13Pi-1+ 3-6PiPi屮i =1,., n 2;0 < u < 1(4 6u2 + 3u3)1R + 3! (1 + 3u +3u') R + 1 + 3! u 'No, 3( u)Pi- 1 + N1, 3 ( U) Pi + N2' 3( u)Pi + 1+ N3，3

6、( U)Pi + 2Qi+iHQiMlQi+i端点位置矢量：Pig%( P"4 i盼)旳=%(P,+4PP，Q，即起点位于三角形 仲i-1 PiPi+1中线PiM1的1/3处，终点位于三角形即iPi + 1Pi+2中线Pi+1M2的1/3处。可见B样条曲线的端点并不通过控制点。端点一阶导数矢量：对°) =( Pi十"Pi 4)/2 ,P(1) =(Pi42 - Pi)/2 = Pi(0)，即曲线起点的切矢平行于即i-1PiPi+1的底边Pi-1 Pi+1，其模长为底边Pi-1 Pi+1长的1/2，同样曲线终点的切矢平行于即iPi+1 Pi+2的底边PiPi+2，其

7、模长也为底边PiPi+2长的1/2。且相邻两曲线段具有一阶导数连续個 P (1)=Pi+(0)二阶导数矢量：Pi(°)=PgZPi+ Pf,Pi(1) Pi -2盼 + 卩违=R： (0)，即曲线段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成的平行四边形的对角线，且两曲线段在节若R、R、R +三个顶点位于同一条直线上，三次均匀R、Pi卡、R卡四点共线，则Pi(u)变成一段直线；若Pi、B样条曲线将产生拐点；若 RR、R出三点重合，则Pi(U)过Pi点。G)四顶点共线(b)二重顶点和三重顶点(J二重节点和三重节点(d)三顶点共线ffl.1.26三次E样条曲线的一些特例思考：用作图法绘制

8、下图均匀三次B样条曲线。三重顶点Bezier曲线段与段之间B样条曲线段与段之间具有天然的连续性，具有整体的光滑特性，而必须光滑拼接。因此在商用系统中 B样条方法应用更为广泛。2. B样条曲线的性质1 局部性空间n+1个控制顶点P （i=0, 1,，n）构造（nk+ 1 ）段k次（k+ 1阶）B样条曲线段,Pi*等k +1个控制顶点确定,且每一曲线段 Pi ( u) (i = 1 ,，n k +1)由 Rd、Pi与其它控制点无关。2整体性和连续性般情况下（即无重节点、重顶点），n+1个控制顶点所构造的（n k +1）段k次（k +1阶）B样条曲线段组成一完整的B样条曲线，曲线段与段之间具有 C

9、k 1阶函数连续性（或G k 1阶几何连续性），当有K重顶点时，将可能产生尖点（前面已介绍），虽然仍满足函数连续，但不 满足几何连续。4 几何不变性改变坐标系不改变曲线形状。5变差缩减性与Bezier曲线性质相同。（5）造型的灵活性由于其良好的局部特性，可以方便构造低次的复杂曲线，且编辑顶点对曲线形状的改变是 局部的;由于其整体性和连续性，曲线具有整体的光滑性。正因如此，B样条曲线比Bezier应用更为广泛，为商用系统普遍采用。缺点：首末两端点不通过控制顶点，与其优点比较微不足道。3.均匀双二次B样条曲面已知曲面的控制点Pij（'“0,1,2）参数u,w，且u,w0，1】，k = l=

10、2，构造步骤是:a沿w向构造均匀二次B样条曲线,Po (w) = W21-21PoolPoo-220P.1=WMPo1L110-LP02.Po2 -即有:P01P02 M B wT经转置后:Po ( W) = V00同上可得:P1 ( W)= 1P10PiiP12 M BWTP2( W = P20P21P22 M BwT, 。b再沿U向构造均匀二次B样条曲线，即可得到均匀二次 B样条曲面:P1oP11P12P13 - 13-63oP 2oP21P22P 23M B =-B 6-3o3oLP3oP31P32P33 -L,141oiMPo ( w)S(u,w)=UM B R(w) =UM BPoo

11、PoLP2 简记为：S( u, w)=UMb pm TW T。P0IPlP2IP12 M TwP224.均匀双三次B样条曲面已知曲面的控制点Pij (I，"0,1,2,3)，参数U, w，且U,w b，1】,k = i = 3，构造双三次B样条曲面的步骤同上述。a沿w向构造均匀三次B样条曲线，有:Po ( w) Poo Po1 Po2Po3 M TwTP1( w)= lP1oP11P12pJm T w tP2 ( W) = P20 P21 P22P23 M TW TP3( W=叵0P31P32P33 M BW TB样条曲线，此时可认为顶点沿滑动，每组顶点对应相同的，当 值由0到1连续

12、变化，即形成均匀双三次 B样条曲面。此时表达式为：b再沿u向构造均匀三次P0(w)S(u,w) = UMP1(w)P 2(w)LP3(wL=UM BPMB W TPi,jP,j半Pi,jwP,j卡N0,3(W广PfjPfj屮P+I,j42Pi+I,j书N1,3（W）R半,jP半卄PH2, H2P*,j 书N2,3（W）LP 书,jP,jH4Pi 43, j 半Pi43,j43 ”N3,3（W）.B样条曲面其定义如下:，等3)6个控I = j，征网格顶点有关，女口： Sij（0, 0） = 1/36 （Pi, j +Pi, j+2 +Pi+2, j +Pi+2, j+2） + 1/9 （P i,

13、 j+1 +Pi+1, j +Pi+2, j+1 +Pi+1, j+2）+ 4/9 Pi +1,j+1，同理可得 S j （ 0, 1 ） ' Si j （ 1 ,（2）均匀双三次B样条曲面的边界曲线仍为0)、 Sij (1,B样条曲线,1 ）。该边界B样条曲线由对应的三条边上式也可表达为:S（ U,W） = N0,3（U）Ni,3（U）N0,3（U）N0,3（U） Pi j 4x4 N 0,3（W）Nl,3（W） N 2,3（W）N3,3（W）T对于由控制点Pij('二0,1，m, j二0,1，,n)组成的均匀双三次Si,j（u,w） = No,3（u） Ni,3（u） N2

14、,3（u） N3,3（u）即任意单张均匀双三次B样条曲面片Si,j(u, w)是由Pk,i(k = i, . , i+3,制点定义而成。仍以均匀双三B样条曲面具有B样条曲线的多种性质， 曲面片与片之间具有天然的连续性。次曲面为例的说明B样条曲面的性质。9个特(1)均匀双三次B样条曲面的顶点不经过任何特征网格顶点，且仅与各角点对应的界特征网格顶点确定，由 B样条曲面得定义可得:Si,j（u,0） = No,3（u）Ni,3（u） N2,3（u） N3,3（u）Pi,jPi,j 卅P,j42Pi,j Jf1/6P也PH1,jH1PiHt,j42Pi+,H32/3P七,jR七,j十Pi七,j七P42

15、,j七1/6LP知PH3,j41P也j七Prte,H3 ”_ 0 .=N0,3（u）同理可得Si j( u，丨 1/6Pi,j +2/3Pi,j 十 +1/6Pi,j421/6Pi 也 +2/3Pi 十,M +1/6Pi也七1/6Pi 也j + 2/3Pi 也M +1/6Pi 七,j 七L1/6Pi 也 +2/3P 七,j41+1/6Pi 七,jj1 ）、Si j （0, w）、Si j （1, w）。推广之：沿B样条曲面任何等参数的截线Ni,3（u） N2,3（u） N3,3（u）均为一 B样条曲线(读者证明)。(3)均匀双三次B样条曲面边界的跨界一阶切矢只与定义该边界的顶点及相邻二排顶点(

16、共三排顶点)有关,S'i,jdu,1） = No：3（u） Ni：3（u） N2,3（u） N3,3（u）-Pi'jP,jRmP,j 卡 10】Pi*j_1P*jP+I,j 半PH1,j421/6Pi卡,jP42,jR42,j 申PH2,H22/3%訂_1P43,jPi 43, j 屮P,j42 _1/6”= N0,3（u） Ni：3（u） N2,3（u）N3,3（u）S'i,j（u,O） = N0,3（u） Ni：3（u） N2,3（u） N3,3（u）1/6Pi,j +2/3P 1/6R 旳 1/6Pi杓 L1/6Pi 和Pi,jPH4,jR也j» +1/

17、6R,j 卡中2/3P#j屮杓/旳屮,j4£+ 2/3p 卡卄 +1/6P42,j42中2/3p书,j唏+/旳帕佯=NO,3 （u） Ni：3（u） N2,3（u）N3,3（u）LP43,j1/6Pi,j1/6Pi,j1/6Pi 也 jRmPi,j 卡P,j书P也+R*H,j42R+'j 书P也j +Pi42,佯P临,j卡PH3,j +PH3,j42P 也，j43+ 2/3P,j1/6R,j书+ 2/3越卄 +1/6P 也 42Ti/612/31/6+ 2/3R七卄+1/6R也j七 Ll/6Pi 相 j +2/3R 书卄+1/6R 知厢=Su i 丄 j （u,1） 依次可得

18、 Su i，j （u,1）, SwiHQw）,Sw i，j (1,w)。可见均匀三次B羊条曲面具有一阶函数连续性。同理可得 Su i，j （u,0）, Su i，j （u,1）,SWi，j(0,w), Swi，j(1,w)，其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点(共三排顶点)有关，且均匀三次B样条曲面具有二阶函数连续性。泛。(4)几何不变性。(5)对称性。(6)凸包性。B样条曲面的线框图绘制方法：先沿等参数方向离散成网格点，然后依次连线绘制。由此可见，B样条方法能够很方便绘制复杂曲面，显然比Bezier方法更灵活，因此应用更广15. B样条曲线与曲面的递推表达1） B样条曲线的定义定义:

19、由前面的内容得知，三次均匀 B样条曲线的基函数为:No，3(u)=13! (1 u)3N1，3 ( u) =3! (4 6u2+ 3u3)N2，3( u)=13! (1+3u+ 3u2 3u3)N3, 3 ( U)=13!u 3上述基函数图形如下图所示:已知n+1个控制点P （i=0，1,000，n），也称为特征多边形的顶点,K次（k + 1阶）B样条曲线的表达式是:nC(u) =2 PiNi,k(u)i=0k <= n其中Ni，k（u）是调和函数,也称为基函数，按照递归公式可定义为:Ni,o(u)1°若 ti <u Yti其它(u-ti)Ni ,k (u)丄(臥勺u)N

20、 (u)Ni,k (u)k aO=十ti* -titj栋 + -tj+l0/0=0式中ti是节点值，且为非减序列，T二虹我1，,*勺'构成了 K次（k + 1阶）B样条基函数的节点矢量，每一基函数由对应的 K + 2个节点决定;上式也表明，高次B样条函数可用低次的B样条函数来表示，由此式可得其递推计算方法。由基函数的示意图可知B样条基函数具有局部支撑特性，即B （ ） I-0xpki'ti七十Bi，k（u"UxitiZ节点矢量所含节点数目由控制顶点Pi （i= 0， 1,000， n）和曲线次数k所确定（节点数=n+ k + 2）,显然，基函数个数=控制点数。当节点沿

21、参数轴是均匀等距分布的，则表示均匀B样条函数，其节点值ti ti 1 =常数;例如：当k = 3, ti ti1 = 1，b,1 ，则上述基函数可表示为均匀三次 B样条函数,并通过变换可得如下表达:Ni, 3 (U)=3! (1 U) 3Ni+1 , 3(U)丄3!(4 6u2 + 3u3)Ni+2，313!(1 + 3u+ 3u2一 3u3)Ni+3，3(U)13!当节点沿参数轴的分布是不等距的，则表示非均匀B样条函数，即节点值ti ti 1工 常数。均匀B样条和非均匀B样条曲线一般不通过控制多边形首末两点。若需B样条曲线具有较好的端点性质（即通过端点），实际应用中常引入准均匀 B样条，即在

22、节点矢量中两端节点具有k+ 1个重复度:tot1=t k.t n+1 = t n+2 =t n+k+1 。F图为例：构造n=5, k = 2这样构造的准均匀B样条曲线将通过控制多边形首末两点。图3.1.24推均匀三次E样条曲线0， 0， 1, 2，当门=乙k = 3的准均匀三次B样条曲线的节点矢量可定义为U = 0，0, 3， 4， 5， 5， 5， 5。若门=3，k = 3的节点矢量U = 0，0，0，0，1，1，1，1 ，此时三次B样条曲线转化为三U = 0,30,14,1k+ ，此时K次B样条曲线次Bezier曲线。推而广之，若n = k ,节点矢量为为K次Bezier曲线。性质:局部性:K次B样条曲线仅在K + 1个区间内非0。换句话说，每段k次B样条曲线只涉及k + 1个基函数,并由k+ 1个顶点所定义。第i段K次B样条曲线仅由Pi, Pi+1 , 0 0 0 , Pi + k共 k + 1个顶点所控制，与其它点无关；反之,修改一个控制顶点，其影响范围为与该顶点有关的k+ 1段。凸组合性质(凸包性)连续性:在无重节点的情况下，K次B样条在节点处具有k 1次连续性，如三次B样条具有二阶连续;若在某节点处具有 m重节点，则K次B样条在该节点处连续性K 1 阶。利用重节