2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题2数列第4讲数列求和教学案理

1、第 4 讲数列求和考细笈求真题统计弟题规律锁定题型了解敎科前谨堆关系能 卑黑差、竿比数列前n项 和公弍举一些特珠数列 的和.2017在I卷丁屮2017年U卷几；201石年U卷T“20】5年I巻T“2015年D卷T/20口年I卷几*2013年I巻丁才分析近五年全国卷发现裔考命 题有以下挽律：数列求和常取口与S询羌義为nn載体伐盒鳶査分塑转牝朮和、 製项相涮法求和及需位相航法 求和， 难度中零.L旣列中現与n2.裂项相涓法求和3.错也柘减进求和题型 1 数列中 an与 S 的关系（对应学生用书第 11 页）核心知识储备.1.数列an中，an与$的关系:Sin= 1 ,an=SS1n?：2 .2求数

2、列an通项的方法:（1）叠加法形如anan1=f（n）（n2）的数列应用叠加法求通项公式,（2）叠乘法形如 西=f（n）（n2）的数列应用叠乘法求通项公式，an=a-却an1a1a2求）.（3）待定系数法形如an=入a-1+卩（n2,入工 1,卩工 0）的数列应用待定系数法求通项公式，an+土=入 Jan1+J勾造新数列 ian+丁二|为等比数列）典题试解寻法.【典题 1】（考查已知an与$的递推关系求S）已知数列an满足an+1= 3an+ 2.若首项a1=2，则数列an的前n项和 S=_.解析 因为an+1= 3an+ 2,所以an+1+ 1 = 3（an+ 1），故an+ 1是以 日+

3、1 = 3 为首 项，3为公比的等比数列，所以an+ 1 = 3n,所以an= 3n 1.12n12nS=a1+a2+ -+an= (3 1) + (3 1) + (3 1) = (3 + 3 + 3 ) n=+133 3n=n,nan=a1+Ef(k)(和可求).k=2anan1（积可2n+1n+1所以S= T3n=322n3【典题 2】（考查已知an与S的递推关系求an）数列an中，ai= 1,S为数列an的前n项S S1所以s$1s S=1，又S=a1= 1,1、1所以数列f是首项为 1，公差为 2 的等差数列,11n+1所以S=1+2（n-1）=2,即Sn=n+1答案3_；n_3和，且

4、满足2ananSn Sn1（n2）.求数列an的通项公式.解由已知，当n2时,2an ”anSnS2=1,即匚；1= 1,所以SS1 1丁2.3所以当n2时,an=SnSi1=2n+ 12n n+11, n= 1,因此an=2n n+1类题通法给出S与an的递推关系，求an,常用思路：一是利用SS1= ann2 转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出S与n之间的关 系，再求an.提醒：在利用 an=SnSn-1n沁求通项公式时，务必验证n= 1 时的情形 对点即时训练.111.已知数列an满足an+1=，若a1=-，贝Ua2。代=（1 an2A. 1B.c.D.

5、, 1 1由a1=2an+1=口，得a2=1 1 1百=2，a3=口=xa4=i3=2a5=1a442._已知数列an前n项和为S，若 S= 2an 2n，贝US=_ .n*nn2（n N）由S=2an 2 得当n= 1 时，S=31= 2 ;当n2时，S=2（SST）一 2n，即爭一爭二=1，所以数列S是首项为 1，公差为 1 的等差数列，贝U爭=n, S=n2（n2），当n= 1 时，也符合上式，所以S=n2（n N）.题型强化集训.（见专题限时集训T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T11、T12）题型 2 裂项相消法求和（答题模板）（对应学生用书第 12 页）裂项相消法是指把数列

6、与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于，r或，（其中an为等差数列）等形式的数列求3n3n+1anan+2和.（2017 全国n卷 5、2015 -全国I卷 T17、2015 -全国H卷 6）典题试解寻法.【典题】（本小题满分 12 分）（2015 全国I卷）$为数列an的前n项和.已知an0，2an+ 2an=4S+ 3（1）求an的通项公式;1设bn=矿，求数列bn的前n项和.【导学号：07804027】审题指导题眼挖掘关键信息2看到an+ 2an= 4Sn+ 3，想到a+1+ 2an+1=4S+1+ 3,两式作差，求a.1看到bn=，anan+1想到先求bn

7、，想到能否裂项.规范解答(1)由an+ 2an= 4Sn+ 3，可知an+1+ 2an+1= 4Sn+1+ 3 .1 分两式相减可得a2+1an+ 2(an+1an) = 4an+1,=2,于是归纳可得1Qn2=2 ,a3n-1= 2 ,a3n= 一 1 , 因此32018=33X2 2=an+1an=an+1+anan+1an即an+1+an5由于an 0，所以an+1an= 2.4 分又由ai+ 2ai= 4ai+ 3,解得ai= 1(舍去)或ai= 3.5 分所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为an= 2n+1.6 分1=1( 11T 2n+l 2n+： =2(2!+

8、!2!T3.阅卷者说易错点防范措施忽视 an与 S 的关系导致思路不清.anSnSn1(门 2)是联系Nn与S的桥梁，常借助其实现互化关系.忽视化简、因式分解致误.当等式中出现二兀二次方程时， 常考虑因 式分解.忽视题设条件an 0，导致增解.对题设条件可适当标注，以引起注意，冋 时解题后要反思总结.忽视裂项或裂项后与原式不等价.1 、形如t泊勺数列常用裂项相消法求和，an+k裂项后要注意系数的变化.类题通法裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+kbnk 1,kN*的形式，常见的裂项方式有:(1)-FT=-r _-7 !;R I帀n + kJ(2) _ _冲丄丄-l)(2n +

9、l )22n-2n + 1丿- =4(、h + k一Jfi) +jn + /n + k K提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数对点即时训练.(2017 郑州第三次质量预测)已知数列an的前n项和为S,a1= 2，且满足 S= fan+1+n+ 1(n N*).(1)求数列an的通项公式；由an= 2n+ 1 可知bn=1Si an+112 分设数列bn6若bn= log3(an+ 1)，设数列一的前n项和为Tn,求证：TnV弓.bnbn+2471*1*解由S=qan+i+n+ 1(n N)，得S 1= 2&n+n(n2,n N),两式相减，并化简，得an+1=3an2,即an+1 1 =

10、3(an 1)，又a1一 1 = 2 1 = 3 工 0, 所以an 1是以一 3 为首项，3 为公比的等比数列， 所以an 1 = ( 3)nT = 3.故an= 3n+ 1.2n+ 33rn+0, S= 2a2 2, $=a4 2.(1)求数列an的通项公式；设bn=，求bn的前n项和Tn.an解(1)S2= 2a2 2，S3=a4 2，2一得a3=a4 2a2,贝Uqq 2 = 0,又Tq0,q= 2.S2= 2a2 2,a1+a2= 2a2 2,二a1+ aq= 2ag 2,a1= 2.nan= 2 .(2)由(1)知bn=尹123Tn= 1+ +尹+n 1nn1 + -n,2 2 1

11、0故选 A.【导学号：07804029】a3=a+2d=3,由仁4X3S=4a1+d=10,可得Tn= 2 nr2.题型强化集训（见专题限时集训4）三年真题|验收复习效果（对应学生用书第 14 页）1 .（2017 全国I卷）几位大学生响应国家的创业号召， 开发了一款应用软 件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活 码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是 2，接下来的两项是 2 2，再接F 来的三项是 20,21,22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N: N 100 且该数列的前

12、A. 440B. 330C. 220D. 110则第n组的项数为n, 前n组的项数和为2.由题意知，N100,n+n*令2 100?n14 且n N, 即卩N出现在第 13 组之后.12n? I2n第n组的各项和为-一 =2n 1,前n组所有项的和为一 n= 2n+1 2 n.1 2 1 2n1|n设N是第n+ 1 组的第k项，若要使前N项和为 2 的整数幕，则N-2-项的和kk*即第n+ 1 组的前k项的和 2 1 应与一 2 n互为相反数，即 2 1 = 2 +n（k N ,n14),k= log 2(n+ 3) ?n最小为 29,此时k= 5，贝 VN=1+292+ 5= 440.2.

13、（2017 全国n卷）等差数列an的前n项和为S,as= 3, S= 10，则2nn+ 1设等差数列an的公差为d,则ai=1,d= 1.44* *itN项和为 2 的整数幕那么该款软件的激活码是（A 设首项为第 1 组，接下来的两项为第 2 组，再接下来的三项为第 3 组，依此类推,112n121 =2= 2，1 丄Snn n+n n+1 1111 1、 =S+S2+S3+Snk(11111 1 1 =212+2 - 3+3 一 4+n/1 、2n n+ 1厂n+ 13._(2015 全国n卷)设 S 是数列an的前 n 项和，且 a = 1, an+1= SS+1，则 S=_ .1 1 1 _ - an+1=S+1 S, an+1= SS+1, S+1 S= SS+1.T SM0,. 7： 一 = 1,即nS+11 1=1.S1+1S111、又S= 1，臣 f 是首项为一 1,公差为一 1 的等差数列.1 1 =1+(n1)x(1)= n,.S=4. (2016 全国n卷)S 为等差数列的 的前n项和，且a= 1,S?= 28.记bn= lgan,其中x表示不超过x的最大整数，如0.9 = 0, lg 99= 1.(1