第3章微分中值定理及其应用(2)

1、第3章 微分中值定理及其应用 （第二讲泰勒公式、函数极值等 ）3X+ 1)3。2一.应用麦克劳林公式，按X乘幕展开函数f（X）=（X - 解：f（X）是6次多项式,5+d6二 f(x)=f(0)+f'(0X+f)x2+f_)x3+)x42!3!4!5计算出：f(0) =1, f'(0)=3(x2 -3x + 1#2x-3?x才-9f "(O) = 60, f'"(0)= -270, f 伫0)= 720, f(mo)= -1080, f 00)=720故 f(X)= 1 - 9x + 30x2-45x3 + 30x4 - 9x5 + X6二当Xo =

2、 -1时，求函数 f（X）= 1的n阶泰勒公式。X解: f(x)=丄=x1Xf(x)= x2f(x)=(-1X-2)x3，f g(x)=(-1)kk!xn f( 1)= -1, f'(一1)1, f''(1)= -2f'"(1)3!,f(nn1)= -n!Rn(X)= fr )=（-1厂（n + 1!© 一卩七）=(_1广 n(x + 1)n=(匕在一1和X之间)1f"f_1f1n!f(1)+ f'( 1)(x + 1)+(x + 1)2+(x+1)n + R/x)X2!=-1 + (x + 1) +(x + lf + (x

3、+1)n+(T)n%7EXx + 1严三求函数f（X）= xex的n阶麦克劳林公式。解：f(x) = xe f'(x)=eXd + x) f (x)=eX(2+x)，f(k)(x)= ex(k+X)IIIIQf(x) = xe = f(0)+f(0%+ f(0)x k2!-f(n0)xn +f(MG)xn+1 n!(n + 1!=0 +1+ X2 +2!11kn xn +e (n + 1 + 匕“十1n!(n + 1!213=X + X2 + X3 +2!+(n + 1!-Mkn + 1)+ E xn岀©可表示为日X （0 <日吒1 ）兀2.当 0w x<2 时，

4、证明一xsinx。JI一、sinx 一 f , xcosx - sin x证：设 f(x)=,则 f(x)= 2XXg(x)= xcosx- sin x,g(X)= cosx - xsin x - cosx = - xsin x.兀'时,故gx）单调减少,g(0)= 0, g(x)< g(0)l即 XCOSX - sinx 0所以f兀0在（0,?上f（x）单调减少.f兀1f l-l12丿.当2时,fsflips i IX因此AX2 2 . 即-XF%、当X4时，证明 2XX2。f(X)二 xln 2 - 2ln x, f(4)= 0,i.n2 -上上=0X 2 X 24当xa4时

5、,f'(x)：>0,所以f(x)为单调增加 f(x)> f(4)= 0 xin 2-21 n x > 0,即 in 2 > in X2 in x 为增函数， - 2 x2三.试证方程sinx= X仅有一个实根。解：显然X = 0为方程f(x)= x-sinx的一个根又f ' (X ) = 1 - COS X3 0, X壬(r +-(-处，+处)时,f(x)单调增加厂f(x)=x-sinx在(-广-)仅有一个零点.即方程sinx= X仅有一个实根五.f (X)、g (X)在a,b上存在二阶导数且g”(x) H 0, f (a) = f (b) = g(a)

6、 = g(b) = 0，证明：(1)在(a,b)内 f(E) f )g(x)H0。(2)(a,b)内至少存在一点巴，使得g( ) g (J分析：(1)要证g(X)在(a, b)上非零,用反证法更方便，若不然,至少有一 个零点C"(a,b)，则由g( X)的三个零点，可推出g'(x)有2个零点,从 而g "(X)有一个零点与已知矛盾.fC) f"C)''''要证 K = 页；，即证方程f(X)g(x)-g (x)f (x)= 0有解，则gr)g r)取 F(x)= J( f(X )g(x)-g(x )f(X )dx=f'

7、;(xgx)- J f'(x)g'(x)dx-g'(x)f(x)+J f'(x)g'(x)dx-f'（xgx）-g'（x）f（X）从而可以证明结论.证明：（1）反证法：若不然，则在（a,b）内至少有一点C,使得g（c）0,于是由已知g（x）在/c】,Qb】上均满足罗尔定理条件, 因此必存在 ©1"（a,c）2"（C, b），使得 g'®）= 0,0,进一步知g'（x）在区间 气,2上满足罗尔定理的条件， 因此，必存在"（匕1,匕2）（a,b）使得g"（©

8、 ） = 0 , 与已知g"（x） K 0矛盾。因此在（a,b）上g（x） H 0o（2）设 F（x2 f '（X）g（x）- f（x）g'（x）,由已知，在a,b上连续可导，F（a2 F（b）= 0,满足罗尔定理的条件，因此，至少存在一点巴壬（a,b）使得FG）= 0 ,n f（r） W） ）f（=0，也即而=玮g（a），试证IIII即：f代）g（E）- g忆六.f'（x）g（x），且f(a) =（1）当Xa时，f(x)>g(x)；（2）当 X a 时，f(x)<g(x)o分析：对于这种题显然用反证法 证明：（1）设当x> a时f（x）兰g

9、（x），任意取一点xj（ a严）fX）- f（a）由导数的定义知：f（a）= xima 1xi a将-（2）得：f'g(Xi ) f(a)g (a)二 lim' (2)人Ta咅一aF .'f , f (Xi)- f(a)- g(Xi)+ g(a)(a)- g (a )= lim ''XiTa因为当X A a时f(X)兰 g(x)f(xi)兰 g(xi)且 f (a)= g(a)-f （Xi）- f （a）-=f（X!）- g（x1）】+ 0 兰 0与条件相矛盾所以假设不成立原命题成立即:gy )+ g(a )= f (咅)gW )+f (a) g(a)当

10、 X > a时，f(X)> g(X)（2）设当X丈a时f（x）二g（x），任意取一点X2 " （-ra）由导数'f（x2）- f（a）的定义知：f（a）7maX2 - ag(x2)- f(a)g(a)= lim x2TaX2 - a将_(4得 fSgSlim gmaX2T aX2 - a因为当X吒a时f（X）工 g(x)，f(x2P g(X2)且f (a) = g(a)所以f(X2)- f (a)- g(x2)+=f(洛)-gX)】+ 0 H 0g(a2f(X2)- gx +f (a)- g(a)与条件相矛盾所以假设不成立原命题成立即:当X a时，一、求函数yf

11、(xr g(x)2=2 -(X - 1)3 的极值。2解：y = -3X(-3,)1（1,+处）y+y最大极值点亠T，X0 =1点导数不存在，而函数有意义（x 作极大值：y （0 = 2二.试证明：如果函数 y = ax3 + bx2 + CX + d满足条件b2 - 3ac < 0，那末这函数没有极值。2bx + C，由条件b2 - 3ac吒0，推出a工0,c工0,证明：y、3ax2 +y 为二次三项式，心-(2b )2 - 43a fc = 4(b2 - 3ac)< 0当a > 0时，y>0,潜严），从而y（x）为单调增加当a < 0时，y<0,XS-j

12、"），从而y（x ）为单调减少故无论对怎样的y（x）在2严）总是单调的，y（x）在-）无极值。（1）讨论f（x）在x = 0处的连续性。f x + 1 xZ二、设 f（X）= （ x"lx X > 0,（2） X取何值时f（X）取得极值。lim （x+1）= 1Xt0 -limZX中丄e x解：（1）由连续的定义知:lim xXXT 0十I- xin X lim eXT 0十1lim+晋XT0+1lim Xxt0（-2）：X1-limx = 02 XT0所以xim异In xlim X卫+丄XJ xim* f（x）=xm-f®而 f（0） = 1.所以 lim

13、 fM = lim f（x）= f（0）= 1XT 0XT 0所以f（X）在x = 0处连续（X > 0）要使g（x）取得极值 则必须使设 h（x）= xIn x,1-要使gx）取得极值/X、r / I Xxl nxxin x在X > 0处取得极值.（2）设 g（x）= X - eII则 h（X）= In X + 1, h（X）=则有 h'（x）h'（x）兰 0，而 x> 0 所以 h''（x）= - > 0X11因此h（x）=lnx+1E0,所以In x兰-1 x乞一. 所以当x等于一eeX 时，xX取得极值，由于（x+1）、1 >

14、; 0即为单调增函数 所以只要X1取得极值即可。所以当X等于e时f（X）取得极值。.利用函数的凹凸性，证明不等式xln X + y In y A(X +X + yy)lnh (XA0,y>0)解军：设 f (t)= tl nt, f (t )= I n t + 1,+ oC1由f(t)=t：>0知f (t )是上凹的,所以对任意X, y壬(0,+之)(XH r<即:四.解:IIyxy)f(X)+ f(y)xln X + yIn y(X + y)ln求函数yxXtx = t2,y = 3t + t3 的拐点。ytXt3+ 3t22t2t±1时，IIyx曰12lt丿3t

15、2T)_ 3(t TXt + 1)4t34t3=0,又当t = 0时，y不存在但注意到t = 0时曲线上的对应点（0,0）为边界点，因为曲线上的横坐标都大于等于0，所以点（0,0）不能是拐点，故曲线上可能是拐点的点为t = 1时的点（1,4）及 t = -1时的点（1-4 ）,经过验证二者都是拐点。32五问a及b为何值时，点（1,3）为曲线y=ax + bx的拐点?IQII解:y - 3ax + 2bx, y = 6ax + 2b = 6a x +r 工3a丿令 y =0 得 Xo =-bb厂，由于aH 0，在x。八一的领域内，3a3aIIy 在X0的两侧变号，所以x。=b3a ，这时对应的y

16、0"b2V 3a丿 V 3a丿2b327a2要使（1,3）为拐点，则r 3=1I a =-3a；2b3。解得：I .9=3b =匚27a3L 2六.设f（X）二阶可导，若 lim若 XTO x，f(0)= 0,厂(x)> 0,证明：f （xp X。证明：由导数的定义：lim 通=lim 皿XTO XXTOX 0血Llim=f'=1EO X应用麦克劳林公式将 f(X)展开得:f(x) = f (0) +f (0)x + x2 + R2(x)2! 2因为 f (0) = 0,f"(x)>0 f'(0)=15所以 f(x)= X +2!+ R(e)3

17、X +SX 2!(2)设 f (X)、g (X)互为反函数，f (X)- f (- X)，且均在(_oC,+K)上存在二阶导数，于是(A 若 x> 0, f (X)>0,则 XV 0，f ( X)< 0 ；B 若 x> 0, f ( X)>0,则 x< 0，f ( X)> 0 ；c 若 f (X)> 0,则 g (X)> 0 ；D 若 f ( X)> 0,则 g (X)< 0 ；分析：依题意，f (X)为奇函数，图形关于原点对称，对称点处 A正确，故取 A，而 函数曲线y二f (X)与曲线凸凹性相反，即二阶导数异号，因此f (X

18、)、g (X)互为反函数的条件， (X)的凸性关系与其单调性相关， D做判断。法对C,(5)在不明确单调性情况下， 无(X)在(1 - J1 +冷内具有二阶导数， 厂(X)严格单调减少, =f' CD = Sx )。A.在(1- 5,和(1,1 + H 内均有 f (X)<x ；且f (1B.在(1- 51 和(1,1 + 5)内均有 f(X)>x ;C.在 (1 - 3,内，f ( X) <x ,在(11 十 6)内，f (X)>x ;D在(1-M 内，f (X)>x，在(1,1+ 6)内，f (X) <x。f(x),分析：由几何直观考虑，如图，在 x = 1处，切线为y = X，且曲线y= f(x)上凸，从而知切线在曲线 y=