2定积分——微积分基本公式

1、第二讲第二讲 微积分基本公式微积分基本公式 内容提要内容提要 1.1. 变上限的定积分；变上限的定积分； 2.2.牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式 。 教学要求教学要求 1.1.理解作为变上限的函数的定积分及求导方法；理解作为变上限的函数的定积分及求导方法； 2.2.熟悉牛顿莱布尼兹公式熟悉牛顿莱布尼兹公式 。 21)(ttdttv)()(12tsts 一、变上限的定积分一、变上限的定积分).()()(1221tstsdttvtt ).()(tvts 其中其中一般地，若一般地，若 baafbfdxxf)()()()()(xfxf ? 设物体作直线运动，设物体作直线运动， 其速度其速度 ， )(

2、tvv 则在则在 时间间隔时间间隔 若已知路程函数若已知路程函数, )(ts的路程也可表示为的路程也可表示为在解决这个问题之前，先讨论原函数存在问题在解决这个问题之前，先讨论原函数存在问题.,21tt内所经过的路程为内所经过的路程为,21tt则在则在 时间间隔时间间隔 内经过内经过记为记为.)()(xadttfxfabxyo)(xfy ,)(上上连连续续在在设设函函数数baxf,上上任任一一定定值值时时取取当当bax xaxdttf,)(对对应应有有唯唯一一确确定定值值与与 xadttf在在因因此此)(称它为变上限定积分所确定的函数称它为变上限定积分所确定的函数, (变上限定积分变上限定积分)

3、.,的的函函数数上上确确定定了了一一个个 xbax ,bax x x)(xf上可积，上可积，在在设函数设函数 ba xf ,)(定理定理1xabaxdttfxf,)()(;,)()1(上上的的连连续续函函数数是是 ba xf 则则上可微，且上可微，且在在上连续，则上连续，则在在若若 ba xf ba xf ,)(,)()2()()( xfxf)()(xfdttf xa即即关于定理的说明：关于定理的说明：式式。的的另另外外一一种种新新的的函函数数形形是是不不同同于于初初等等函函数数拓拓展展了了函函数数的的形形式式，它它xadttf)()1(上上的的一一个个原原函函数数，在在正正是是时时，定定理理

4、说说明明了了当当,)()(,)()2(baxfdttfbacxfxa即即任何一个连续函数必存在原函数。任何一个连续函数必存在原函数。的的一一个个原原函函数数是是如如xaxxdtttsinsin处处的的导导数数在在计计算算例例0sin)(.102 xdttxx)(x 解解)0( )()(xfdttfdxdxa xdttdxd02sin2sin x 20sin 0 的导数。的导数。计算计算例例 dttxf x20sin)(. 2,sin)()(0udttugxf则则由复合函数求导法则，由复合函数求导法则，)( )()(xuugxfxuxu2sin2xxsin2,2xu 令令解：解：).()(32x

5、feedttfxax，求，求已知已知例例解解)( axdttfdxd)( xadttfdxd)(xf )(2 eexxe22 )(xf xe22 )( xadttfdxd)(xf即即xe22 例例4 求极限求极限xtdtxx2020coslim解解型）型）（00 xtdtxx2020coslimxtdtxx2020)cos(limxx2cos2lim202又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已已知知)(xf是是)(xf的的一一个个原原函函数数， ,)()(cxxf ,bax 证证二、牛顿二、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式令令ax ,)()(caaf 定理定理

6、2上上的的在在区区间间是是连连续续函函数数如如果果,)()(baxfxf，任一原函数任一原函数 aadttfa)()(0 . )(afc . )()()(afxxf 再令再令bx )()()(afbbf dttfba )(即即).()()(afbfb )()()(afbfdxxfba 故故)()()(afbfdxxfba 则则牛顿：英国数学家牛顿：英国数学家莱布尼兹莱布尼兹：德国数学家德国数学家)()(afbf )()()(afbfdxxfba 说明：说明：)()(,)(,afbfbaxf 上上的的改改变变量量在在使使用用时时.)()(babaxfxf或或通常记为通常记为babaxfdxxf)

7、()( 这样，牛顿这样，牛顿 莱布尼兹公式又可写成莱布尼兹公式又可写成babaxfdxxf)()( 或或dxx 1021计算：计算：例例解解cxdxx 3321031023xdxx 31 解解dxx 0sin2计算：计算：例例牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 00)cos(sinxdxx20coscos .2cos302dxx 计算计算例例解解dxx2cos02 dxx 02cos1dxx 0)cos1(21)cos(2100dxxdx 00sin21xx 2 .141024dxxx 计算计算例例解解dxxx 10241dxxx 1024111dxx 10211dxxx 1022111dxx

8、 102dx 1010331x 10 x 10arctan x 432 .445312dxxx 计算计算例例解解dxxx 31244dxx 312dxx 21)2(dxx 32)2(dx 212dxx 21dxx 32dx 322212 x21221 x32221x 322x 5 例例6 6 设设 42,20,3)(2xxxxxf.)(40 dxxf求求解解 40)(dxxf 20)(dxxf 42)(dxxf 203xdx 422dxx20223x 42331x 3224 nnn 7n212111lim计算计算例例解：解： 将和式改写为将和式改写为nnnnnnnn11211111121211

9、1nnnnnnnn112111111212111的的等等距距分分割割后后，作作中中对对函函数数这这相相当当于于在在nxxxfi111)(1 , 0iiiixxx 上取上取在小区间在小区间,1和和的的riemannni), 2 , 1(niiixf0)( 于是于是nnn n212111limniiinx011lim 101xdx2ln)1ln(10 x3. 牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式1 . 变上限定积分变上限定积分 xadttfxf)()(2. 变上限定积分的导数变上限定积分的导数)()( xfxf)()()(afbfdxxfba 小结小结牛顿莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数牛顿莱布尼兹公

10、式揭示了定积分与原函数之间的关系之间的关系牛顿（牛顿（1642. 12. 251727. 3. 20）生平简介）生平简介牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。牛顿的幼年是不幸的，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有牛顿的幼年是不幸的，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有3磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小的可怜的头磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小的可怜的头脑里孕育着非凡的才智，他的思想影响了人类数百年。脑里孕育着非凡的才智，他的思想影响了人类数百年。 牛顿一生为近代自然科学奠定了重要的基

11、础，被益为牛顿一生为近代自然科学奠定了重要的基础，被益为“有史以来有史以来最伟大的科学家最伟大的科学家”。在。在60 多年的科学生涯中，牛顿共撰写专著多年的科学生涯中，牛顿共撰写专著12本本，其中科学著作，其中科学著作6本，年代学本，年代学2本，宗教著作本，宗教著作4本。作为数学家，牛本。作为数学家，牛顿从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何，顿从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何，有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面，有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面，都有创造性的成就和贡献。莱布尼兹曾说：都有创造性的成就和贡献。莱

12、布尼兹曾说：“在从世界开始到牛顿在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。” 牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯特大教堂内，参加吊唁的法国大文牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯特大教堂内，参加吊唁的法国大文豪伏尔泰评论说，英国纪念一位数学家就象其他国家纪念国王一样豪伏尔泰评论说，英国纪念一位数学家就象其他国家纪念国王一样隆重。牛顿墓碑上的拉丁碑铭的最后一句是：隆重。牛顿墓碑上的拉丁碑铭的最后一句是：“他是人类的真正骄他是人类的真正骄傲，让我们为之欢呼吧！傲，让我们为之欢呼吧！”莱布尼兹是德国数学家、哲学家，莱布尼兹出身于书香门第，莱布尼兹是德国数学家

13、、哲学家，莱布尼兹出身于书香门第，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲也出身于教授家庭。父母父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲也出身于教授家庭。父母亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染，使莱布尼兹从小就十分好学，亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染，使莱布尼兹从小就十分好学，并有很高的天赋。不幸的是，父亲在他六岁时去世，却给他留下了并有很高的天赋。不幸的是，父亲在他六岁时去世，却给他留下了比金钱更宝贵的丰富藏书。从此，知书达理的母亲担负起儿子的幼比金钱更宝贵的丰富藏书。从此，知书达理的母亲担负起儿子的幼年教育。年教育。1661年，年，15岁的莱布尼兹入莱比锡大学学法律，岁的莱布尼兹入莱比锡大学学法律，1663年年5月获学士学位；月获学士学位；1664年年1月获哲学硕士学位；月获哲学硕士学位；1667年年2月，获法学博月，获法学博士学位。士学位。莱布尼兹是一位百科全书式的杰出学者，他的研究领域及成果莱布尼兹是一位百科全书式的杰出学者，他的研究领域及成果遍及数学、物理学、逻辑学、生物学、地理学、航海学、法学、解遍及数学、物理学、逻辑学、生物学、地理学、航海学、法学、解剖学、哲学、历史和外交剖学、哲学、历史和外交，等等。其中以数学和哲学最为著名。等等。其中以数学和哲学最为著名。莱布尼兹一生没有结婚，没有在大学当过教授。但他的工作领莱布尼兹一生没有结婚