81向量及其线性运算

1、第八章第八章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第二节第二节 向量的坐标向量的坐标第三节第三节 向量的乘法运算向量的乘法运算第四节第四节 曲面及其方程曲面及其方程第五节第五节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程本章主要内容：本章主要内容：第六节第六节 平面及其方程平面及其方程第七节第七节 空间直线及其方程空间直线及其方程第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算一、一、向量的概念向量的概念 .a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21mm记作向量:(又称矢量). 1m2m既

2、有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,.a或记作 a零向量: 模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 m1 m2 ,或 a ,a或.a或规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共

3、面 .记作a ;二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的减法向量的减法三角不等式ab)( ab有时特别当,ab aa )( aababaabababa0babaaa3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa

4、总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 例例1. 化简).5321(5abbba解：解：babaabbba252) 1251() 31 ()5321( 5例例2. 设 m 为mbacd解解:abcd 对角线的交点,ba,aab ,bdaacmc2ma2bdmd2mb2.,mdmcmbmaba表示与试用baab)(21bama)(21abmb)(21bamc)(21abmd定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则,0故.即abab设 abba取正号, 反向时取负号

5、, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而“ ”则,0 时当,0 时当,0 时当已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab 注：定理1是建立数轴的理论依据。我们知道，确定一条数轴，需要给定一个点、一个方向及单位长度。由于一个单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，因此，只需给定一个点及一个单位向量，就能确定一条数轴。o1ixpx如右图，设点o及单位向量i确定了数轴，则对于轴上任意一点p，对应一个向量op由于iop/，故必存在唯一的实数x,使得ixop其中x称为数轴上有向线段 的值。opop这样，向量 就与实数x一一对应，从而 xi xp实数向量点op即数轴上的点p与实数x一一对应，我们称实数x为数轴上点p的坐标。例例3. 如图，在x轴上取定一点o作为坐标原点，设a，b是x轴上坐标依次为x1，x2的两个点，i是与x