推理证明算法复数复习资料

1、第 3 讲程序框图与算法语句【高考会这样考】1程序框图作为计算机科学的基础，是历年来高考的一个必考点，多以选择、填空题的形式出现，一般中档偏易，多与分段函数、数列、统计等综合考查2重点考查程序框图的应用，有时也考查基本的算法语句注重程序框图的输出功能、程序框图的补充， 以及算法思想和基本的运算能力、逻辑思维能力的考查【复习指导】1本讲复习时，准确理解算法的基本概念、理解程序框图的含义和作用是解题的关键，所以复习时要立足双基，抓好基础，对算法语句的复习不需过难，仅需理解几种基本的算法语句2复习算法的重点应放在读懂程序框图上，尤其要重视循环结构的程序框图，弄清当型与直到型循环结构的区别，以及进入、

2、退出循环的条件、循环的次数基础梳理1算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成2程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形 通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤，流程线带方向箭头， 按照算法进行的顺序将程序框连接起来3三种基本逻辑结构(1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构其结构形式为(2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式其结构形式为(3)循环结构是指从某处

3、开始，按照一定条件反复执行处理某一步骤的情况反复执行的处理步骤称为循环体循环结构又分为当型(WHILE型 )和直到型(UNTIL 型)其结构形式为4输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句INPUT “提示内容”；变输入信息量输出语句PRINT “提示内容”；表输出常量、变量的值和系统信达式息赋值语句变量表达式将表达式代表的值赋给变量5.条件语句(1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应(2)条件语句的格式及框图 IFTHEN 格式 IFTHEN ELSE 格式6循环语句(1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应(2)循环语句的格式及框图 UNTIL 语句 WHILE

4、语句一条规律顺序结构、循环结构和条件结构的关系顺序结构是每个算法结构都含有的，而对于循环结构有重复性， 条件结构具有选择性没有重复性， 并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体循环结构和条件结构都含有顺序结构两个注意(1)利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量； 第三要注意在哪一步开始循环， 满足什么条件不再执行循环体(2)关于赋值语句，有以下几点需要注意：赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3 m 是错误的赋值号左右不能对换， 赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如 Yx，表示用

5、 x 的值替代变量Y 的原先的取值，不能改写为x Y.因为后者表示用Y 的值替代变量 x 的值在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现一个或多个“”双基自测1(人教 A 版教材习题改编 )关于程序框图的图形符号的理解，正确的有()任何一个程序框图都必须有起止框；输入框只能在开始框之后，输出框只能放在结束框之前；判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号；对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的A1 个B2 个C3 个D4 个解析任何一个程序都有开始和结束，因而必须有起止框； 输入和输出可以放在算法中任何需要输入、输出的位置；判断框内的条件不是唯一的，如ab，亦可写为 a b.故只有对答案

6、B2.程序框图如图所示：如果输入x5，则输出结果为 ()A109B325C973D2 917解析第 1 次运行后， x5×3213 200，第 2 次运行后， x13×3237 200，第 3 次运行后， x 37×32109 200，第 4 次运行后， x 109×32 325200，故输出结果为 325.答案B3.当 a1，b3 时，执行完如图的一段程序后 x 的值是 ()A 1C 4B3D2解析13，x 1 34.答案C4(2011 ·天津 )阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 ()A 3B4C 5D6解析因为该程序框图

7、执行4 次后结束，所以输出的i 的值等于4，故选择B.答案B5(2011 ·湖南 )若执行如图所示的框图，输入x11， x2 2，x3 3，x 2，则输出的数等于_解 析 算 法 的 功 能 是求 解 三个 数 x1 ， 2 ， 3 的 方 差 ， 输出 的是Sxx12 2 22 2 32 2233.2答案3考向一算法的设计【例 1】?已知点 P(x0，y0)和直线 l ：AxByC0，求点 P(x0，y0 )到直线 l 的距离 d，写出其算法并画出程序框图 审题视点 利用点到直线的距离公式可写出算法，而程序框图利用顺序结构比较简单解算法如下：程序框图：第一步，输入 x0，y0 及直

8、线方程的系数A，B，C.第二步，计算 Z1Ax0By0C.第三步，计算 Z2A2 B2.第四步，计算 d |Z1| .Z2第五步，输出 d.给出一个问题，设计算法应注意：(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；(3)将解决问题的过程划分为若干个步骤；(4)用简练的语言将各个步骤表示出来【训练 1】 已 2， x 0，知函数 y0，x0，写出求该函数函数值的算法及程序框图2，x0，解算法如下：第一步，输入 x.第二步，如果 x0，则 y 2；如果 x0，则 y0；如果 x0，则 y2.第三步，输出函数值y.相应的程序框图如图所示考向二基本逻辑

9、结构【例 2】?(1)(2011 福·建 )阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是()A3B11C38D123log2x，x2，(2)(2010 北·京 )已知函数 y如图表示的是给定x 的值，求其对应2x，x2.的函数值 y 的程序框图处应填写_；处应填写 _ 审题视点 (1)注意循环结构的三个方面： 循环变量和初始条件、 循环体、终止条件； (2)为分段函数的条件结构解析(1)a 1 10，a12 2 3 10，a32 2 1110.故输出结果为 11.(2)由框图可知只要满足中的条件则对应的函数解析式为y2x，故此处应填写 x2，则处应填写ylog2x.

10、答案(1)B(2) x 2？ylog2x算法与程序框图是算法初步的核心，其中条件结构与循环结构是高考命题的重点，尤其是循环结构的程序框图是历年命题的热点要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节【训练 2】 (2011 ·辽宁 )执行右面的程序框图， 如果输入的 n 是 4，则输出的 p 是()A 8B5C 3D2解析第一次运行： p1，s1，t 1，k2；第二次运行： p2，s1，t 2， k3；第三次运行： p3，s2，t 3， k4，不满足 k<n，故输出 p 为 3.答案C考向三程序框图的识别及应用【例 3】?(2010 ·陕西 )

11、如图是求 x1，x2， x10 的乘积 S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 ()A SS*( n1)BSS*xn 1C SS* nDSS* xn 审题视点根据已知条件结合程序框图求解解析由题意可知，输出的是10 个数的乘积，故循环体应为SS*xn，所以选D.答案D识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点解决这类问题：首先，要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行程序框图，理解框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答对框图的考查常与函数和数列等结合，进一步强化框图问题的实际背景【训练 3】 某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表

12、所示：队员i123456三分球个数a1a2a3a4a5a6如图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，判断框应填 _，输出的 S_.则图中解析由题意可知，程序框图是要统计6 名队员投进的三分球的总数， 由程序框图的循环逻辑知识可知， 判断框应填 i 7？或 i6？，输出的结果就是6 名队员投进的三分球的总数，而6 名队员投进的三分球数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，故输出的 Sa1 a2 a6.答案i 7？(i 6？)a1a2 a6考向四基本算法语句【例 4】?设计一个计算1×3×5×7×9×11×1

13、3 的算法图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是()S1i3WHILEiSS×ii i2WEND PRINT S ENDA13B13.5C14D14.5 审题视点 根据计算结果，必须保证最后一次运行程序时i13，据此进行分析判断解析当填 i 13 时， i 值顺次执行的结果是5,7,9,11，当执行到 i 11 时，下次就是 i 13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×3×5×7×9×11，故不能填 13，但填的数字只要超过13 且不超过 15 均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是 1×3×5

14、15;7×9×11× 13.答案A解决算法语句有三个步骤，首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题【训练 4】 (2011 ·福建 )运行如图所示的程序，输出的结果是_解析a1，b2，把 1 与 2 的和赋给 a，即 a 3，输出的结果是3.答案3难点突破 26高考中算法交汇性问题的求解方法算法是新课标的新增内容之一， 是新课标高考的一大热点， 其中算法的交汇性问题正是在这种背景下成为新课标高考的一大亮点 这类问题，常常背景新颖， 交汇自然，很好地考查了考生的信息处理能力及综合运用知识解决问题的能力

15、一、算法与统计的交汇问题【示例】 ? (2010 ·广东 )某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法， 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4 位居民的月均用水量分别为x1，x4(单位：吨 )根据如图所示的程序框图，若x1，x2，x3，x4 分别为 1,1.5，1.5,2，则输出的结果 S 为 _二、算法与函数的交汇问题【示例】 ? (2011 ·天津 )阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为 4，则输出 y 的值为 ()A0.5B1C2D4 算法与不等式的交汇问题(教师备选 )【示例】 ? (2010 ·山东 )执行如图所示的程序框图

16、，若输入x10，则输出 y 的值为 _第 1 讲合情推理与演绎推理【高考会这样考】1从近年来的新课标高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主2演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题【复习指导】本讲复习时，要注意做好以下两点：一要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题二由于归纳、类比、演绎推理思维方式贯穿于高中数学的整个知识体系， 所以复习时要有意识地培养逻辑分析等方面的训练基础梳理1合情推理(1)归

17、纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由

18、一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提 已知的一般原理；小前提 所研究的特殊情况；结论 根据一般原理，对特殊情况作出的判断一条规律在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑， 否则，只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误两个防范(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性双基自测1(人教 A 版教材习题改编 )数列 2,5,11,20， x,47，中的 x 等于 ()A28B32C33D

19、27解析从第2 项起每一项与前一项的差构成公差为3 的等差数列，所以x201232.答案B2某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36 个圆的颜色应是()A白色B黑色C白色可能性大D黑色可能性大解析由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷57 余1，所以第36 个圆应与第1 个圆颜色相同，即白色答案A3给出下列三个类比结论： (ab)n anbn 与(a b)n 类比，则有 (ab)n an bn； loga (xy)logaxlogay 与 sin( )类比，则有 sin( )sin sin ； (ab)

20、2 a22ab b2 与(a b)2 类比，则有 (ab)2 a2 2a·bb2.其中结论正确的个数是 ()A 0B 1C2D3解析正确答案B4“因为指数函数 y ax 是增函数 (大前提 )，而 y1x 是指数函数 (小前提 )，所3以函数 y1 x是增函数 (结论 )”，上面推理的错误在于 ()3A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错解析“ 指数函数 yax 是增函数 ” 是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的答案Ax5(2011 ·山东 )设函数 f(x)x2(x&

21、gt;0)x观察： f1(x) f(x)，xf2(x)f(f1(x) 3x 4，xf3(x)f(f2(x) 7x 8，xf4(x)f(f3(x) 15x 16，根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN* 且 n2 时， fn(x)f(fn1(x)_.解析根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，可知 fn(x)的分母中常数项为2n，分母中 x 的系数为 2n 1，故 fn(x) nxn.2 1 x 2答案x2n 1 x2n.考向一归纳推理【例 1】?观察下列等式：可以推测： 1323 33 n3_(n N* ，用含有 n 的代数式表示 ) 审题视点 第二列的右端分别是12,3

22、2,62,102,152，与第一列比较可得解析第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15× 15，1,3,6,10,15，第 n 项 an 与第 n1 项 an1(n2)的差为： an an1n，a2a1 2，a3a23，a4 a34， anan1n，各式相加得，n n12an a123 n，其中 a11，an123 n，即 an，an 22 2 4n (n 1) .11 22答案4n (n1)所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论【训练 1】 已知经过计算和验证有下列正确的

23、不等式：3 172 10， 7.512.52 10， 8 2 12 2 2 10，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数 m，n 都成立的条件不等式 _解析 观察所给不等式可以发现： 不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数 m， n 都成立的条件不等式是：若m，nR，则当 mn20 时，有mn2 10.答案若 m，nR ，则当mn20 时，有m考向二类比推理n2 10【例 2】?在平面几何里，有“若 ABC 的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为1r ，则三角形面积为 S ABC2(ab c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个

24、面的面积分别为 S1，S2， S3，S4，内切球的半径为 r，则四面体的体积为 _” 审题视点 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论解析三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的11面积，内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中2类比为三维图形中的3，得V四面体 ABCD134123(S SSS )r.答案V 四面体 ABCD 1 1 S2S3S43(S)r.(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3) 类比的结果是猜测

25、性的，不一定可靠，但它却有发现的功能【训练 2】 已知命题：“若数列 an 为等差数列，且 ama，an b(mn，m，n N* )，则 amnb·na·m”现已知数列 bn( bn0，nN* )为等比数列，且 bm nm a， bnb(mn，m， n N* )，若类比上述结论，则可得到bm n_.b n答案 a·a nm考向三演绎推理n2【例 3】?数列 an 的前 n 项和记为 Sn，已知 a1 1，an1nSn(nN )证明：Sn(1)数列 n 是等比数列；(2)Sn 14an. 审题视点 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成大

26、前提通常省略不写， 或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式n2证明(1)an 1 Sn1Sn，an1nSn， (n2)Sn n(Sn 1Sn)，即 nSn 1 2(n 1)Sn. Sn 1 2·Sn，(小前提 )n 1nSn故 n 是以 2 为公比， 1 为首项的等比数列 (结论 )(大前提是等比数列的定义，这里省略了)Sn1Sn1， 4·(2)由(1)可知 n1n1(n 2)Sn 1n 1 2 Sn14(n1) · 4··n 1n 1n 1S 4an(n 2)，(小前提 )又 a23S13，S2 a1a2 1

27、 344a1， (小前提 )对于任意正整数n，都有 Sn 1 4an.(结论 )(第(2)问的大前提是第 (1)问的结论以及题中的已知条件)演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时， 应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的， 则可以省略2x1【训练 3】 已知函数 f(x) 2x 1 (xR)(1)判定函数 f(x)的奇偶性；(2)判定函数 f(x)在 R 上的单调性，并证明x11 xx1解222(1)对 ? x R 有 xR，并且 f( x) x11 x x1 f(x)，所222以 f(x)是奇函数(2)法一f(x)在 R 上单调递增，证明如下：任取

28、 x1， x2R，并且 x1x2，2x112x21f(x1)f(x2 )2x11 2x21 2x1 1 2x2 1 2x21 2x112x11 2x2 12 2x12x2 2x1 1 2x2 1 . x1 x2 ， 2x1 2x2 0，即 2x12x20，又 2x110,2x210.2 2x12x2 2x1 1 2x2 1 0. f(x1)f(x2) f(x)在 R 上为单调递增函数x 12 ln x法二 f(x) 2x1 20 f(x)在 R 上为单调递增函数难点突破 25高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略从近两年新课标高考试题可以看出高考对归纳推理与类比推理的考查主要以填空题的形式出现

29、，难度为中等，常常以不等式、立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考查归纳推理与类比推理一、归纳推理【示例】 ? (2011 ·陕西 )观察下列等式1 123493456 72545678910 49照此规律，第五个等式应为_二、类比推理【示例】 ? 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，则 S4 ，S8 S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列 bn 的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，T16_， T12成等比数列第 2 讲直接证明与间接证明【高考会这样考】1在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法难度多为中档题，

30、也有高档题2从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法【复习指导】在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点， 把握三种方法在解决问题中的一般步骤， 熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的基础梳理1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：P? Q1 Q1? Q2 Q2? Q3 Qn? Q(其中 P 表示已知条件、已有的定义、

31、公理、定理等，Q 表示要证的结论 )(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法框图表示：Q?P1P1?P2P2?P3得到一个明显成立的条件.2间接证明一般地，由证明p? q 转向证明：綈q? r? t.t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法一个关系综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成， 对较复杂的问题， 常常先从结论进行分析， 寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明

32、时将两种方法交叉使用两个防范(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的(2) 用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“ 要证 ( 欲证 )”“ 即要证 ”“ 就要证 ” 等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立双基自测bd1(人教 A 版教材习题改编 )pabcd， qmanc·mn(m、n、a、b、c、d 均为正数 )，则 p、 q 的大小为 ()A pqB p qC p qD不确定madnbc解析qabn m cd ab 2 abcdcdmadabc ab cd p，

33、当且仅当 n m 时取等号答案 Bx 2设 alg 2lg 5，be (x 0)，则A aba 与 b 大小关系为 ()BabDab解析alg 2 lg 5 1，b ex，当 x 0 时， 0b1.ab.答案A3否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A a，b，c 都是奇数Ba，b，c 都是偶数C a，b，c 中至少有两个偶数D a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数解析a，b，c 恰有一个偶数，即a，b，c 中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D 正确答案D4(2012 ·广州调研 )设 a、bR，若 a |b|0，

34、则下列不等式中正确的是()A ba0B a3 b30Ca2 b20Dba 0解析a|b|0，|b| a，a0，aba，ba0.答案D5在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确例如：在 ABC 中，若 ABAC，P 是 ABC 内一点， APB APC，求证： BAP CAP，用反证法证明时应分：假设 _和 _两类答案 BAP CAP BAP CAP考向一综合法的应用a2b2c2【例 1】?设 a， b，c0，证明： b c a abc. 审题视点 用综合法证明，可考虑运用基本不等式证明 a， b， c0，根据均值不等式，222

35、abc有 b b2a， c c2b， a a 2c.a2b2c2三式相加： b c a abc 2(ab c)当且仅当 ab c 时取等号a2b2c2即 b c a a b c.综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立 因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确， 推理合乎规律， 才能保证结论的正确性【训练 1】 设 a，b 为互不相等的正数，且ab1，证明：114.a b11 11b a证明 ab a b ·(a b)2ab224.1 1又 a 与 b 不相等故 ab4.考向二分析法的应用2

36、2a mb 2a mb 审题视点 先去分母，合并同类项，化成积式证明 m 0， 1m0.所以要证原不等式成立，222只需证明 (amb) (1m)(a mb )，22即证 (ab) 0，而 (ab) 0 显然成立，逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键【训练 2】 已知 a，b，m 都是正数，且a b.ama求证： bmb.ama证明要证明 bm b，由于 a，b，m 都是正数，只需证 a(b m)b(am)，只需证 ambm，由于 m0，所以，只需证a b.已知 ab，所以原不等式成立(说明：本题还可用作差比较法、综合

37、法、反证法 ) 考向三 反证法的应用xx2【例 3】?已知函数 f(x) a x1(a1)(1)证明：函数 f(x)在( 1， )上为增函数(2)用反证法证明 f(x)0 没有负根 审题视点 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x00 后，应推导出 x0 的范围与 x00 矛盾即可证明 (1)法一 任取 x1 ，x2(1， )，不妨设 x1 x2，则 x2x1 0， ax2x1 1，且 ax10.x2 2x12所以 ax2ax1ax1(ax2x1 1)0.又因为 x1 1 0，x210，所以 x2 1 x11x22 x11 x12 x213 x2x1 0，21 x1 1x21

38、x11x于是 f(x212ax1x2 2120，ax x)f(x )x2 1x11故函数 f(x)在 (1， )上为增函数法二f(x) ax320，ln ax1 f(x)在 (1， )上为增函数x0 2(2)假设存在 x0 0(x0 1)满足 f(x0)0，则 ax0 x0 1，又 0ax01，所以x0 210 x0 11，即2x02，与 x0 0(x0 1)假设矛盾故 f(x0) 0 没有负根当一个命题的结论是以“至多 ”， “至少 ”、 “ 唯一 ” 或以否定形式出现时，宜用反证法来证， 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些 “疑难 ”问题的有力工具， 是数学证明中的一件有力武器【训练 3】 已知 a，b 为非零向量，且 a，b 不平行，求证：向量 ab 与 ab不平行证明假设向量 a b 与 ab 平行，即存在实数 使 a b (a b)成立，则 (1)a(1)b0， a， b 不平行，10，1，得10， 1，所以方程组无解，故