二重积分的计算方法(1)

1、1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决.在直角坐标系下，被积分函数(x, y)1(x) x 2(x), a x b ,f（x, y）在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1）,即D其中1（x）, 2（x）在a,b上连续,则有f (x,y)dbdxa2 (x)(X、 f (x, y)dy ;1( x)(1)若D为y型区域（如图2）,即D(x, y) i(y) y2(y),c y d1（y）, 2（y）在c,d上连续,则有计算 gxdy,其中D x分析利用公式f(x,y)dDD是由x 2,积分区域如图3所示，

2、为x型区域（1）进行求解.解 积分区域为x型区域D= x, y 1 x 2,- y2y , dxdyD x2dx12x y1 2dy x x3 y 3x2dcdyx,2 (y)1(y) f(x,y)dx -i(2)及xy 1所围成.D= x, y 1 x 2- y.确定了积分区域然后可以图33x5dx12x42764欢迎下载10是简单的x型或y 是可以将复杂的积f (x, y)dD3(3)1.2 积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这 分区域划分为若干x型或y型区域，然后利用公式f(x, y)d

3、 f(x, y)d f (x, y)dDD1D2进行计算,例2计算二重积分d ,其中D为直线y2x,x 2y及x y 3所围成的区域.2x均为x型区3 x域，进而通过公式是x型区域也不是分析：积分区域D如图5所示，区域D既不y型区域，但是将可D划分为_. xD1x,y 0 x 1- y2D2x, y 1 x 3,2y y（3）和（1）可进行计算.解D划分为cc/ xcD1x, y 0 x 1， y 2x ,D2 x, y 1 x 3,2y y 3 x1c 1.2x dx022 - x .3 x dxd d dDD1D21 2x23 xdx x dy dx x dy1-22123 2c3 23

4、x3x _ x404121.3被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出,这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算.例3计算二重积分Dy x2|dxdy ,其中D为区分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发22划分为D1x y 2, D20 y x两部分后,1 x 11 x 1分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得.接求得，以至于不能现当我们把积分区域被积函数在每一个积x2 x解区域D如图6可分为Di U D2 ,

5、其中2D1x112, D2由公式(3)则2 .y x dxdy. y x2 dxdyydxdyDiD212 2-1dx x2 , y x dy1x2-2-1dx ° x ydyy u,v ,将u,v平面按段光滑封闭,y u,v在 内分别具有一阶连续2利用变量变换法计算定理1设f (x,y)在有界区域D上可积，变换T : x x u,v , y曲线所围成的区域一对一地映成x,y平面上的区域D,函数x u,v偏导数且它们的雅克比行列式J u,v0, u,v .则u,vf (x, y)dD(4)式叫做二重积分的变量变换公式，f x u,v , y u,vJ u,vdudv(4)2.1 根据

6、被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转 化为新的积分区域，进而利用公式进行计算.x yexdxdy,其中D是由x 0, y 0,x y 1所围曲线（图7）D分析 由于被积函数含有e的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T : u x y,v x y.在变换T作用下区域D的原像 如图8所示，根据二重积分的变量变换公式,积分计算就简单了.所以解做变换T:1212-1,ev dudv2du1 vduevdu0 v0v e1 .e dvu f x, y ,v g x, y 且2.2 根据积分区域选

7、择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有m u n, v ，则把xy平面上的积分区域D对应到uv平面上简单的矩形区域，然后根据二重积 分的变量变换公式（4）进行计算.例5求抛物线y2mx, y2 nx和直线y x, yx所围区域D的面积 D .分析D的面积D dxdy.实际是计算二重积分D却比较复杂，观察积分区域不难发现2y n,nx解D的面积dxdy作变换所以dxdyD3x23d y xydxdy .分析dxdy,其被积函数很简单,2,vx但是积分区域T:u2 vvm,n积分区域的处理与上题类似,应到uv平面上的矩形区域在变换T作用下，区域D的原像u

8、,v所以3x -3 dxdyd y xyu,vu,vu .dudv v21,xy 3,ydv4 vnudu=m22:n m7336x, y2 3x所围区域.可以做变量替换T: uxy, v上,它把xy平面上的区域D对 xu 3,1xy2 工xu,v13v-1 dudvv uv 3v3dv1du1 v v uv2.3利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有f x2 y2f 2或f 2形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较13方便，如圆形及圆形区域的一部分,可考虑用极坐标变换,0x r cosT :, 0y r sin这个变换除原点和正实轴外是一一对应的(严格来说极坐标变换在原点和正实轴上

9、不是一对一的,但可以证明公式(1)仍然成立)，其雅可比行列式为r .示为则有(1)如果原点0 D,且xy平面上射线常数与积分区域D的边界至多交于两点，则必可表1f x, y dxdyD1f r cos , r sin rdr(5)类似地，若xy平面上的圆r常数与积分区域D的边界至多交于两点，则必可表小为f x,y dxdyD02rdr r1rf r cos , rsin r(6)(2)如果原点。为积分区域D的内点,D的边界的极坐标方程为则有rf x, y dxdy 0Drdrf r cos , r sin01(3)如果原点O在积分区域D的边界上，则那么欢迎下载f x,y dxdyDf r co

10、s , r sin rdr (8)0例7计算I 1d ，其中D为圆域:x2 y2 1d .1 x2 y2分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为f(x2 y2),且原点为D的内点，故可采用极坐x r cos 0 r 1标变换T:，,可以达到简化被积函数的目的.y rsin ,02解作变换x T:yr cosr sin,0,0则有11.rdr02,1 r、1 r2例8计算二重积分ydxdy ,其中D是由直线2,y 0,y 2,以及曲线, 2y y2所围成的平面区域.分析 首先根据题意，画出积分区域，由于 一起围成规则图形正方形，且5为半圆区域，根 被积函数.解 积分区域如图15所示，D D1

11、为正方形域，则有ydxdy ydxdy ydxdy , DD DiDi而积分区域D与Di据极坐标变换简化区域，Di为半圆区图822ydxdy ?dx ° dy 4 ,D D1D1:0 r2sin , 2故原式欢迎下载8 sin4 d3 2x, y dxdyf ar cos,brsin(9)22例9计算I cJ1与2-dxdy,其中d ， a babrdrd1 二0 x aD x, y 0 y b分析根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换ar cos ,0 r 1br sin ,0,可以达到简化积分区域和被积函数的目的.2作广义极坐标变换x ar cos ,0

12、T:y br sin ,0J u,v abr由（9）abc 02 dc1 x： d - ar1 r2dr02y dxdyb22d001c.1r2abrdr一 abc 62sinydxdy d o r sin rdrD128/ c c1 cos 21 2cos 23 4 222.4利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换:ar cos ,0br sin ,0并且雅可比行列式J u,v abr同样有3某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算欢迎下载16么有如果D可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分Di和D2,那如果f

13、 x,y在Di上各点处的值与其在D2上各对称点处的值互为相反数，那么f x, y d 0D如果f x,y在Di上各点处的值与其在D2上各对称点处的值恒相等，那么x, y d 2 f x, y dD22y 1及y 0,y 1所围成区域.f x, y d 2 fDDi例10计算x2ydxdy,其中D为双曲线x2D分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域,观察到f x, y x2y为x的偶函数，另一方面D关于y轴对称，且f x,y在Di在D2上各点处的值与其在D2上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算.解 积分区域如图ii所示：Di为D在第一象限内的部分，D关于y轴对称，又f x, y x

14、2y为x的偶函数，由对称性有22x ydxdy 2 x ydxdyDDi宜选择先对x后对y的积分次序故原式x2ydxdyD22 x ydxdyDi1 1y222 ° dy ° x ydx2 i2 -oy 1 y2dy32 1 15 4.2 1153.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成 若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论.被积函数带绝对值时，首先去掉绝对信号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区 域上被积函数的取值不变号.例11求 x2 y2 4 dxdy ,其中D为x2 y2 9围成的区域. D分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得x2 y2 4 0及x2 y2 4 0的两部分，在两部分上分别积分后，再相加.解 为去绝对信号，将D分成若干个子区域，即22D1 ：x yD2:4y2 9在Di内在D2内故原式4 dxdydxdy4 dxdy ,D1D2利用极坐标计算有dxdyrdrDi2 xD24 dxdyrdr252故原式8252例12求 f41 .2x, y dxdy,其中f x, yx ye ,x0,其他0，y 0, d