初中数学方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案

1、初中数学方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案一、选择题31 .设X1, X2是万程x2 x 2016 0的两实数根，则Xi2017x2 2016的值是()A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018【答案】C【解析】【分析】3米用 降次”思想，将X1转化为2017X1 2016,再利用根与系数的关系可得答案.【详解】2X1, X2是万程X X 2016 0的两实数根 2 X1+x2=1 , X1X1 2016 02x1 =x1 201632X1 =X12016X1=X1 2016 2016x1=2017x1 2016x13 2017x2 2016= 2017x1 2016

2、2017x2 2016= 2017 x x,=2017故选C.【点睛】b本题考查一兀二次万程根与系数的关系，熟记公式X x2= ，以及采用降次思想进行a转化是解题的关键.2 .代数式X2 -4X+5的最小值是()A. -1B. 1C. 2D. 5【答案】B【解析】2X -4x+52=X -4X+4-4+5_ 2=(x 2) +1 (x 2)2 Q， 一、2 (x 2) +11，代数X2-4X+5的最小值为1.故选B.个完全平方式”和 工个常数”的和的形点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为任何代数式的平方都式，再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由是非负数”可知原式的最小

3、值就是那个常数”.3 .已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是A. 6 或 8B. 10 或C. 10 或 8D. 2.7【答案】B【解析】【分析】先解方程x2-l4x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果 【详解】解：解方程 x2-l4x+48=0 得 xi=6, X2=8当8为直角边时，第三边J62 82 10当8为斜边长时，第三边相6 2/7故选B.考点：解一元二次方程，勾股定理点评：分类讨论问题是初中数学学习中的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，一般难度较大，需特别注意 .4 .方程x2+x -1

4、= 0的一个根是（）A. 1 -k5B. I C. 1+（5D.I【答案】D【解析】【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断.【详解】a= 1, b= 1, c= 1,.= b2 - 4ac= 12 - 4X（ - 1）=5,则x=所以x1 =故选：D.【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，解题关键在于掌握运算法则.5 .已知一元二次方程 a（x x）（x x2） 0 （awQ x22）与一元一次方程 dx e 0有个公共解X=Xi,若一元二次方程a(x x)(x X2)dx e 0有两个相等的实数根，则A. a x1 x2d2C. a x1 x2d【答案】B【解析】【分析】B.

5、a x2x d2D. a x2 x1d由x=xi是方程a(x x1)(x x2)0 (awQ xw2)与 dx e0的一个公共解可得 x=xi是方程 a(x x1)(x x2)dx e0的一个解，根据一元二次方程根与系数的关系可得xi+xi=(ax1 ax2 d),整理后即可得答案.a【详解】1 a(x x1)(x x2) 0 (aw。x#2)与 dx e 0有一个公共解 x=xi,，X=X1 是方程 a(x xi)(x x2)dx e0的一个解，2a(x Xi)(x X2)dx e ax (axi ax2 d)x axiX2 e 0,一元二次方程 a(x Xi)(x X2)dx e 0有两个

6、相等的实数根，. X1+X1=(aX1 ax2 d),al- a(x2-xi)=d,故选：B.【点睛】本题考查一元二次方程 ax2+bx+c=0(a卦啪系数的关系，若方程的两个根为xi、X2,那么bcX1+X2= , Xi X2=一；熟练掌握韦达TE理是解题关键.aa6.为执行 均衡教育政策，某县2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年 累计投入1.2亿元.若每年投人教育经费的年平均增长百分率为X,则下列方程正确的是()2A. 2500 1 X21.22B. 2500 1 X212000C. 2500 2500 1 x 2500 1 X21.22D. 2500 2500 1

7、x 2500 1 x 12000【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为X,根据题意可得，2017年投入教育经费+2017年投入教育经费X （1+增长率）+2017年投入教育经费X （1+增长率）2=1.2亿元，据此列方程【详解】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为X，由题意得，2500+2500X （1+x） +2500 （1+x） 2=12000.故选：D【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程7 某厂四月份生产零件100 万个，第二季度共生产零件282 万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为X,那么X满足的方程

8、是（）A100（1+x） 2=282B100+100（ 1+x）+100（1+x） 2=282C.100（1+2x） = 282D.100+100（1+x）+100（1+2x） =282【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量才曾长前的量X （1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为 x,那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出 方程【详解】五月份的产量=100 （1+x）,六月份的产量=100（1 x）2,根据题意可得：2100+100（ 1+x） +100 （1 x） =282.故选：B【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题

9、，一般形式为a（1 x）2 b ， a为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量8 .关于x的方程（a 5）x2 4x 1 0有实数根，则a满足（）A a 1B a 1 且 a 5C a 1 且 a 5D a 5【答案】A【解析】【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当aw5时，根据判别式的意义得到ani且aw5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围.【详解】1当a=5时，原方程变形为-4x-1=0,解得x=;4当aw5时，= (-4) 2-4 (a-5) X(-1)解得a|即al且aw5时，方程有两个实数 根，所以a的取值范围为a

10、1故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 (awp的根的判别式 =b2-4ac：当0,方程有两个 不相等的实数根；当 上。，方程有两个相等的实数根；当 0C. xi?x20D. xi0, x2 0【答案】A【解析】分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出 q。,由此即可得出xiW2,结论A正 确；B、根据根与系数的关系可得出xi+x2=a,结合a的值不确定，可得出 B结论不一定正确；C、根据根与系数白关系可得出xi?x2=-2,结论C错误；D、由xi?x2= - 2,可彳#出xi0,结论 D错误.综上即可得出结论.详解：A,., = （ - a） 24Xix（2）

11、=a2+80,- 1-xi2,结论A正确；B、二“、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，- -xi+x2=a,. a的值不确定，- .B结论不一定正确；G .xi、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，X1?X2=- 2,结论 C 错误；D、LX1?X2=- 2,XK0, X20,结论 D 错误.故选A.点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记 当4 0时，方程有两个不相等 的实数根”是解题的关键.13.如图，过点C 1,2分别作x轴、y轴的平行线，交直线 y x 5于a、B两点,k .若反比例函数y (x 0)的图象与VABC有公共点，则k的取值范围是() xC. 2

12、 k 4D. 4 k 6由点C的坐标结合直线 AB的解析式可得出点 A、B的坐标，求出反比例函数图象过点C时的k值，将直线 AB的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式可可求出k的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB上，综上即可得出结论.【详解】解：令 y=-x+ 5 中 x=1,则 y=4, B (1, 4);令 y=-x+ 5 中 y=2,则 x= 3, A (3, 2),k. k当反比例函数 y (x 0)的图象过点 C时，有2=一，x1解得：k=2,kc将y=-x+ 5代入y -中，整理得：x2- 5x+ k= 0 ,= ( -5) 2-4k当k=

13、 25时，解得：x=|,. K 5 v 3,2k 2f，右反比例函数 y （x 0）的图象与AABC有公共点，则k的取值范围是2W k工 故选：A.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A、C时的k值以及直线与双曲线有一个交点时k的值.14.已知关于x的一元二次方程 3x2+4x-5=0,下列说法正确的是（）A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【答案】B【解析】试题分析：先求出 上42 - 4 X 3X（ - 5） =76 0,即可判定方程有两个不相等的实数根.故 答案选B.考点：一元二次方程根的判别式.

14、15 .关于x的一元二次方程 x2+ax- 1=0的根的情况是（）A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根【答案】D【解析】=a2 4 0, 方程有两个不相等的实数根.故选D.216 .已知b 4ac是一兀二次万程 ax bx c 0 a 0的一个实数根，则 ab的取值范围为（）,1,1,1,1A ab -B ab -C ab D ab 8844【答案】B【解析】【分析】设u=Jb2 4ac，利用求根公式得到关于 u的两个一元二次方程，并且这两个方程都有实,，-r 一一 1根，所以由判别式大于或等于 。即可得到abJ.8【详解】因为方程有实数解，故 b2-

15、4ac 02a由题意有： b-4ac b2 4ac或-b-J、4ac b2 4ac,设 u=x/b4ac ， 2a则有 2au2-u+b=0 或 2au2+u+b=0, （aw, 因为以上关于u的两个一元二次方程有实数解，1-8ab0,所以两个方程的判别式都大于或等于0,即得到,1所以ab0,解得kb0, b0时，一次函数y kx b的图象过一三四象限，当k0时，一次函数y kx b的图象过一二四象限，故答案选B.20.已知Xi、X2是一元二次方程x2 2x 0的两个实数根，下列结论错误 的是()A.x1x2B.x22Xi0 C.xix22 D.x1x22【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系 逐一进行分析即可.【详解】x