函数的奇偶性----教案

1、函数的奇偶性-教案南宁市第四十一中学：吴艳梅一、 教材分析：（1）函数的奇偶性是函数的重要性质之一: 一方面,奇偶性是初中学习的图象对称性内容的延伸, 另一方面, 奇偶性是学生在学习了函数的有关概念和单调性的基础上，对函数知识进一步深入研究和拓广。学习奇偶性也为进一步研究基本初等函数等内容做好准备,它是今后研究各种基本初等函数的一个工具。（2） 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。二、学情分析：（1）我所任教的学生是中考七、八等的学生，学生数学基础非常薄弱，虽然高一已学习了一段时间，但学生还处在适

2、应期，大部分学生的抽象思维能力和演绎推理能力较弱，所以在授课时注重从具体的例子出发，即先给出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的感性认识,然后在这个基础上形成概念，教学过程中注重引导、启发、研究和探讨以符合我校学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。（2） 学生已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性已有一定的感性认识；（3） 在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识； 我校高一

3、学生的依赖性较强，不愿意动手，更不愿意动脑，因此，我们设置一些他们能够完成的问题，引导他们完成学习任务。三、教学目标：1、知识与技能：初步了解函数奇偶性的概念，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性2、过程与方法：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，利用几何画板、实物投影仪等辅助教学，激发学生积极主动地参与教学活动，培养学生的类比、观察、归纳能力，感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法，教学中渗透数形结合的思想方法。3、情感态度与价值观：培养学生合作、交流的能力和团队精神；培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；同时通过欣赏生活中一些对称的图形，使学生感受到

4、数学美，陶冶情操。四、教学重点和难点：重点：形成奇偶性的形式化定义。初步掌握函数奇偶性的判别方法难点：形成奇偶性定义的过程中，如何从图象的直观认识过渡到函数奇偶性的数学符号语言表述。五、教学过程教学环节教师活动预设学生行为设计意图创设情景引入新课展示问题请同学们填写下表并画出下列函数图象:(1) ;二次函数f(x)=x2+1;x-3-2-10123f(x)(2) ;分段函数f(x)=|x|；x-3-2-10123f(x)(3) 一次函数f(x)=-2x+1;x-3-2-10123f(x)(4) 正比例函数f(x)=2x； x-3-2-10123f(x)(5) 反比例函数；x-3-2-10123

5、f(x)师：这些图形不仅显示了增减性，还显示了其他特征，尤其是有一种我们初中就学过的优美的对称性轴对称和中心对称。今天我们就来研究这种性质。（板书课题）学生动手填表并画图(1)(2) (3)(4) 来源: (5) 通过填表和作图,让学生获取函数性质的直观认识,从而引入新课.所列出的五个函数,恰好包括了函数奇偶性的三种类型:奇函数、偶函数、既不是奇函数也不是偶函数。（既奇又偶函数在后面另外讨论）探索研究发现规律学生填写表格后引导学生观察表格1、 观察（1）（2）两个表格，注意它们函数值的变化，能发现它们有什么共同特征吗？引导学生观察图象的对称性，2、 再观察函数(1)(2)的图象,你能发现它们有

6、什么共同特征吗？（可用几何画板演示图象的对称性）引导学生把图象特征跟函数值的变化联系起来。图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗？3、 象（1）（2）这样的偶函数，我们称它为偶函数；（3）不是偶函数由全体学生观察表格，并说出自已的看法。学生观察图象左右两半的特征，并回答问题。（图象是关于y轴对称的）学生尝试把几何特征跟代数特征联系起来。函数（1）（2）有f(-x)=f(x)图象关于y轴对称的函数（3）看不出f(-x)与f(x)有什么关系。图象也没有关于y轴对称。启发学生由图象的对称性,联系到函数值的变化,为进一步学习定义奠定基础.几何画板的使用，会使数与形的结合表现得更加自然。指导

7、学生从定性分析到定量分析几个函数的共性特点。从直观认识过渡到用数学符号表述，用数学符号表述图象特征.引导学生观察表格4、 观察（4）（5）两个表格，注意它们函数值的变化，能发现它们有什么共同特征吗？引导学生观察图象的对称性，5、 再观察函数(4)(5)的图象,你能发现它们有什么共同特征吗？（可借助几何画板演示图象的对称性）引导学生把图象特征跟函数值的变化联系起来。6、 图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗？象（4）（5）这样的函数，我们称为奇函数。学生观察图象左右两半的特特征，并回答问题。（图象是关于原点对称的）由学生尝试把几何特征跟代数特征联系起来。函数（4）（5）有f(-x)

8、=-f(x)图象关于原点对称的定义引导学生归纳总结定义，教师补充，并根据学生回答进行板书。由学生说出(1)如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数；偶函数图象关于y轴对称。(2)如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；奇函数图象关于原点对称。从具体到一般引出奇偶函数的定义. 让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。定义的理解师：函数奇偶性的定义，由两名话组成，一句描述自变量，一句描述函数值。各用了一个关键的字眼：“任意”（一个x）、“都有”（一个恒等式）。对这两个关键词

9、同学们都要真正理解，这两句话中，哪一句对函数性质的刻划更实质？对我们掌握这个概念更重要？师：对。为了判断一个函数是否有奇偶性，我们要去验证恒等式：f(-x)=f(x)是否成立。反过来，若已知函数有奇偶性，便必有上述恒等式成立。现在，我们就根据这个标准来判别上述五个函数的奇偶性。由学生判别后教师再归纳：师：（3）这种函数f(-x)既不恒等于-f(x)，又不恒等于f(x),我们今后就称它为“既不是奇函数也不是偶函数”的函数。师：下面，我们来讨论一个更深入的问题。函数（6）：的奇偶性如何？（让学生分小组讨论后提问）师：现在我们有两个意见，一个说既不是奇函数也不是偶函数，一个说奇函数，你们大家独立思考

10、，畅所欲言。师：好，我们重新研究一下奇偶性的定义，想想，定义里奇偶函数对定义域有哪些要求呢？学生1：是第二句“都有f(-x)=-f(x)”与“都有f(-x)=f(x)”。 为了判断一个函数是否有奇偶性，我们要去验证恒等式：f(-x)=f(x)是否成立。学生2：函数（3）既不是奇函数也不是偶函数。学生3：函数（6）既不是奇函数也不是偶函数。因为与及的表达式都不一样。师：其它同学的意见呢？学生4：是奇函数，因为。它就是我们上面说的第（4）个函数，所以是奇函数。学生5：函数（6）与（4）不是同一函数，因为它们的定义域不尽相同。（4）的定义域为全体实数；（6）的定义域是x|x-1.但是，我不知道定义域

11、的这一点微小变化是否影响函数的奇偶性。引导学生把握定义里的关键词，提高学生概括能力，学会抓重点。这个例子不仅强调了定义中的“定义域”，而且是对奇偶性概念进行反面理解。教法上以学生为主，通过学生的争论，教师的宏观指导，及时点拔，很自然地加深了对定义的理解。师：由上面的讨论我们可以看到，虽然函数奇偶性定义中最本质的是恒等式，但这有一个前提，即f(x)与f(-x)同时有定义，也就是x与-x同时属于函数的定义域，由此，可以得出一个函数奇偶性前提条件。（出示前提条件）奇、偶函数的定义域在x轴上对应的点集关于原点对称。学生思考，讨论，交流，学生代表（举手）发言：学生6：象函数f(x)=2x(x-1)中，当

12、x=1时，f(-x)-f(x)，与定义中的“任意”一个x不相符，所以它不是奇函数，更不会是是偶函数。数学思维中最积极的成分是发现问题，不断地提出问题，解决问题。归纳小结师：从上面分析，可以概括出两点：（1）奇偶函数的定义域必须关于原点对称；（2）判断函数的奇偶性，现有3种结论：是奇函数而不是偶函数；是偶函数而不是奇函数；既不是奇函数也不是偶函数。 下面，我们就来学习函数奇偶性的判别方法。在这一教学过程中，教师通过设问、启发、引导、讨论，让学生参与了知识的发生过程，把握了概念的实质。应用巩固教师概括出三个步骤：（1）求函数的定义域。目的在于确定定义域是否关于原点对称，若是，则进行后面步骤；若不对

13、称，则可判定为“既不是奇函数也不是偶函数”（2）计算f(-x)（3）判断f(-x)=f(x)是否成立，可按上述3种结论选择其一。第（1）题教师板书讲解。解：函数定义域为x|x0,xRf(-x)=(-x)+=-(x+)=-f(x)f(x)是奇函数第（2）题请一名学生口述解答过程。（偶函数）第（3）（4）题请三名同学上黑板析演。 （既不是奇函数也不偶函数、既不奇也不偶）解答略例1判断下列函数是否是偶函数（1）（2）例2 判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）例1首先让学生对函数的定义域是否关于原点对称进行判断例2教师首先作出书写格式的示范，让学生有本可依。然后看看学生的板演，有针对性

14、地作出修订与讲评。四道题的选择都是有针对性的学生画图，请两位同学板演；教师巡视，指点学生作图。（教师可用几何画板演示另一半图象的形成过程）奇偶函数图象对称性的应用：例3 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。学生完成课本35页思考例3的设计主要是理解奇偶函数的图象特征，与课题引入中例子遥相呼应教师巡视，指点学生练习。学生完成练习后让学生交流完成结果课堂练习:1 下列函数是偶函数的是： （ ）Ay=x2,x-1,2 By=x2+x,xR Cy=2|x|-1,xR Dy=x32课本36页练习巩固课堂所学知识。课堂小结教师提出下列问题让学生思考：通过奇偶函数概念的形成过程，你学习

15、到了什么？奇偶函数的图象有什么特点？如何根据图象画出另一半的图象？怎样判别函数的奇偶性？师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自已的意见，教师最后总结。学生自己小结，使学生对自己所学知识有更深刻的认识。作业布置1课本P39 习题1.3 A组 第六题 B组第三题2已知是f(x)是奇函数，而且在（0，+）上是增函数，f(x)在(-,0)上是增函数还是减函数？六、板书设计：132函数的奇偶性一 奇偶函数的定义 二 函数奇偶性的判断 三 例题讲解 （学生板书例题） （教师板书例题）四 课堂小结五 作业布置七、教学反思：根据建构主义的观点，学生的学习是一个积极主动的建构过程，而不是被动地接受知识的过程。由于学生已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解；因此本教学设计理念是：通过问题的提出，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，引导学生关注函数的图象及其对称性；从直观认识过渡到用数学符号表述，用数学符号表述图象特征；并借助电脑多媒体使教师