预习圆的对称性 北师大版 习题精练

1、预习圆的对称性一. 本周教学内容： 预习圆的对称性二. 主要内容介绍： 本课题主要利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。要求同学们经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，体会和理解研究几何图形的各种方法。三. 授课过程： 首先来看几个问题： （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是用什么方法解决上述问题的？ 在解决上述问题时，大部分同学会采用折叠的方法来研究，这是可以的。当然还可以用其它方法，只要合理即可。经过讨论研究，我们可以得到下面的结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 为了更好地研究圆，我们要来认识几个圆中的基本概念。1. 圆

2、上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。如图，以AB为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。对于大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。如图中 2. 连结圆上任意两点的线段叫弦。经过圆心的弦叫做直径，如图中线段AB是O的一条弦，弦CD是O的一条直径。 再来看一个问题： 已知：AB是O的一条弦作直径CD，使CDAB，垂足为M，（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说说理由。 同学们可以利用前面利用过的折叠的方法来验证。你们找到了吗？如果没有，先来看一下小明发现的东西吧！ 他是这样证明的： 如图，连接OA、OB，则OAOB 点A和点B关于CD对

3、称 O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合 你们觉得小明说得有道理吗？你们还有什么样的方法？ 由上述的证明，我们可以得到一个定理“垂径定理”。 即：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。” 这个定理在后面的学习中，会结合着其它定理经常用到，希望同学们认真体会其中的道理。 再来看另外一个问题： 如图中，AB是O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说说你的理由。 我们可以仿照前面小明的证明方法，即：构造等腰三角形，由平分弦得出垂直于弦；然后利用圆的对称性

4、证明平分弦所对的弧。 由上述的证明，我们可以得到垂径定理的逆定理。 即：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。” 同学们，可否思考一下定理中，平分弦的这个弦，为什么不是直径呢？ 学习了上面两个定理，我们来看一个例题： 分析：题目中的条件，已构成了垂径定理。 又已知EF90m，它只是半径的一小部分。 利用线段的加法，可以得到OF的值，但需设半径为x，即OFx90 这样RtCOF中的三条线段即可构成勾股定理，形成方程，求出半径。 解：连结OC 根据勾股定理，得： 解这个方程得：R545 所以，这段弯路的半径是545米。【模拟试题】 1. 在O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB

5、的距离为3 cm，求O的半径。 2. 在半径为50 mm的O中，有长80 mm的弦，请计算： （1）点到弦的距离； （2）的度数。 3. 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D。 求证：ACBD 4. 已知：OC是O的半径，弦ABOC于E，CE1，AB10，求OB。 5. 如图，M为O内一点，利用尺规作图作一条弦AB，使AB过点M，并且AMMB。 6. 一个残破的车轮，测得它所剩下圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到0.001 m）【试题答案】 1. 连结OB 2. 过O作OCAB 3. 过O作OMCD 在大圆中， 在小圆中， 即 4. 解：连结OB 在中，