42柯西中值定理与洛必达法则

1、4-2 柯西中值定理与洛必达法则定理定理1 (柯西中值定理柯西中值定理) ,0,.yf xyg xa ba bgxa bf bf afcg bg ag c设与在上连续, 在内可导, 且 则必存在一点c使得 .f bf afcg bg agc 思考思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(bacabcfafbf),(, )()()(bacabcgagbg两个c 不一定相同错错! !上面两式相比即得结论. )()(agbg)(abgba0, 0)( xg首先，由定理条件证证定理，有应用对lg作辅助函数作辅助函数),()()()()()()()(agxgagbgafbfxfxh上连续，

2、在显然，,)(baxh内可导，在),(ba)()(bhah且);(af.满足罗尔定理得条件也就是说h则有),(0)(bcach. 0)()()()()()(cgagbgafbfcf即即定理结论成立 . 证毕柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()(cgcfagbgafbf)(cg)(ag)()(tfytgx)(af)(bg)(bf)()(ddtgtfxy注意:xyo弦的斜率切线斜率)(bta 如果当如果当 时，两个函数时，两个函数 的极限都为零或都趋于无穷大，极限的极限都为零或都趋于无穷大，极限)(xax或)()(xgxf和和)()(lim()()(limxgxfxgxfx

3、ax或 求未定型极限的洛必达法则求未定型极限的洛必达法则. 首先解释什么是未定型首先解释什么是未定型. 可能存在，也可能不存在可能存在，也可能不存在通常称比式通常称比式 是是 型型未定式未定式.)()(xgxf）或(00, 1sinlim0 xxx例如xxxx1sinlim0不存在），(1sinlim0 xx.sinlim3220 xxxx定理定理2 (洛必达法则洛必达法则) yf xyg xa设与在 点的一个空心邻域 0,gx内有定义,并在该邻域内可导且 limlim0,xaxafxfxg xxagx假若且当时 的 ,f xxag x极限存在 则当时的极限存在 且 limlim.xaxaf

4、xfxg xgx证证: 补充定义, 0)()(agaf在该邻域内任取,ax )()()()()()(agxgafxfxgxf)()(xxcgcf于是，由定理所给条点在内）点的一个邻域内（包含在和间，这时aaxgxf)()(.连续.中值定理上应用柯西上或在,axxa)(之间与在xacx)()(limxgxfax)()(limxxaccgcfx)()(limxgxfax)3证毕证毕.例例1 求极限20)1ln(limxxxx解解20)1ln(limxxxxxxx2111lim0 xx11lim210.21)00(例例2 求.123lim2331xxxxxx解解 原式 lim1x型00266lim1

5、xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx定理定理 3 ,yf xyg xra a设与在中可导且 0,0.gxa其中 limlim0,limxxnfxfxg xgx假若且 存在, ,f xxg x 则当时的极限存在 且 limlim.xxf xfxg xgx证明略定理定理 4 yf xyg xa设与在 点的一个空心邻域 ,0.aaagx中可导,且 lim,lim,limxaxaxafxfxg xgx 假定 且极限 ,f xxag x存在 则当时的极限存在 且 limlim.xaxaf xfxg xgx证明略,x,x 等情形等情

6、形 ，定理仍然成立。，定理仍然成立。,xa_,xa需要指出，如果将需要指出，如果将 换为换为 xa,x例例1 证明, 0)(limxxexp. 1)(nnxxp次多项式，的一个为其中证证nnnnaxaxaxaxp 22110)(设!0)(nayn1322110)2() 1()( nnnnaxnaxnanxaxp2423120) 3)(2()2)(1() 1()( nnnnaxnnaxnnaxnnaxp, , 0)(limxxexp证明证证xxexp)(limxxexp)(limxxexp)(lim xnxexp)(lim)( . 0 其他未定式其他未定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:

7、通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化)()()(补例补例 求).0(lnlim0nxxnx型0解解 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx型. )tan(seclim2xxx解解 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例5 求通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化通分)11ln1(lim1xxx例例5 求xxxxxln) 1(ln1lim1.例例4. 求.lim0 xxx型00解解 xxx0limxxxeln0lim0e1利用前利用前 例例通分转化转化000取倒数转化

8、转化0010取对数转化转化xxxelnlim00010总结为：)()(limxgxf呈)()(xgxfy 令两边取对数，得)(ln)(lnxfxgy取极限，得)(ln)(limlnlimxfxgy, k)()(limxgxf则ylimyelnlimyelnlim化为, 0,ke)0()0(补例补例求.)sin(lim210 xxxx型1解解21)sin(xxxy 令2sinlnlnxxxy )00(200sinlnlimlnlimxxxyxxxxxxxx2)sin(sinlim0302sincossinlimxxxxxxx302sincoslimxxxxx00 xxx6sinlim0206cossincoslimxxxxxx.61210)sin(limxxxxyx0limyxeln0limyxelnlim0.16e注意注意 (1) 如果极限如果极限 不存在，不能断定不存在，不能断定)()(limxgxf )()(limxgxf也不存在，此时不能使用洛必达法则也不存在，此时不能使用洛必达法则.例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1 (limxxx1. )0