华中科技大学复变函数与积分变换洛朗级数

1、 4.4 洛朗级数洛朗级数 4.4 解析函数的洛朗展式1、双边幂级数、双边幂级数2、解析函数的洛朗展式、解析函数的洛朗展式3、 典型例题典型例题 4.4 洛朗级数洛朗级数10000100()()()()nnnnnnnccc z zz zz zcc z zc z z ), 2, 1, 0(ncn定义定义 称级数称级数（4.3）为复常数，称为复常数，称 为双边幂级数（为双边幂级数（4.3）的系数）的系数 为双边幂级数，其中为双边幂级数，其中 一个以一个以z0为中心的圆域内解析的函数为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该可以在该圆域内展开成圆域内展开成z-z0的幂级数的幂级数. 如果如果

2、f (z)在在z0处不解析处不解析, 则在则在 z0 的邻域内就不能用的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示的幂级数来表示. 但是这种情况但是这种情况在实际问题中经常遇到在实际问题中经常遇到. 因此因此, 在本节中将讨论在以在本节中将讨论在以 z0 为为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.4.4.1 双边幂级数双边幂级数 4.4 洛朗级数洛朗级数0双双边边幂幂级级数数()nnnczz 负幂项部分负幂项部分非负幂项部分非负幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 f1(z)

3、f2(z)f(z) 4.4 洛朗级数洛朗级数nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收敛半径收敛半径011zzrr收敛域收敛域收敛收敛半径半径r0zzr收敛域收敛域1若若 ( ):rr 两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,2( ):rr 两收敛域有两收敛域有公共部分公共部分h:0.rzzrr1az0rrhf(z)=f1(z)+ f2(z)1r 时，收敛时，收敛 4.4 洛朗级数洛朗级数z022221111222nnnzzzzzz 1012nnnnzz 内内收收敛敛，在在111zznn内内收收敛敛，在在220zznn12z 双边幂级数在圆环域双边幂级数在圆环

4、域 内收敛内收敛. .例如：双边幂级数例如：双边幂级数 这时这时,级数级数(4.3)在在圆环圆环h:r|z-z0|r 收敛于和函收敛于和函数数f(z)=f1(z)+ f2(z) 4.4 洛朗级数洛朗级数 在收敛圆环域内也具有在收敛圆环域内也具有. . 例如例如, , 可以证明可以证明, , 上述级数上述级数在收敛域内其和函数是解析的在收敛域内其和函数是解析的, , 而且可以逐项求积和逐而且可以逐项求积和逐项求导项求导. .幂级数在收敛圆内的许多性质幂级数在收敛圆内的许多性质, , 级数级数100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz 现在反问现在反问

5、, , 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数成幂级数? ?先看下例先看下例. . 4.4 洛朗级数洛朗级数其次其次,在圆环域在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为内也可以展开为z-1的负次幂级数的负次幂级数:2121111( )(1)11(1)11(1)(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz 1oxy 函数函数 在在 及及 都不解析都不解析, ,但在圆环域但在圆环域 及及 内部都是解析的内部都是解析的. .先研究先研究 的情形的情形: :1( )(1)f zzz 0z 1z 0 | 1z 0 |1| 1z 0 |

6、1z 21111( )1.(1)1nf zzzzzzzzz 由此可见由此可见, 内是可以展开为内是可以展开为z的负次幂级数的负次幂级数.( )0 | 1f zz在在 4.4 洛朗级数洛朗级数 定理定理4.7 (洛朗定理洛朗定理) 在圆环在圆环h:r|z-z0|r, (r0,r+)内解析的函数内解析的函数f(z)必可展成双边幂级必可展成双边幂级数数0)()nnnczzf z 其其中中1012012( ),()(,),nncfcdizn (4.3)4.4.2 4.4.2 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式cz0|(),( ).narrf zhcc c并并且且展展式式是是唯唯为为圆圆周周即即及及圆

7、圆环环唯唯一一地地决决系系数数一一定定了了的的 4.4 洛朗级数洛朗级数证证 设设z为圆环域内的任一点为圆环域内的任一点,在圆环域内作在圆环域内作以以z0为中心的正为中心的正向圆周向圆周k1与与k2, k2的半径的半径r大于大于k1的半径的半径r, 且使且使z在在k1与与k2之间之间.r1r2zrk1 rk2 z0由柯西积分公式得由柯西积分公式得211122( )( )( )kkfff zddiziz 02201,.zzkzkz 在在上上在在里里面面2201001122( )( )()()nnnkkffddzziziz 和泰勒展式一样可以推得：和泰勒展式一样可以推得： 4.4 洛朗级数洛朗级数

8、1112( )d.,kfkiz 第第二二个个积积分分由由于于 在在上上0101,.zzkzz 点点 在在的的外外部部0001111zzzzzz 因因此此100111001()(),()()nnnnnnzzzzzz 11101101122( )( )dd()( ),()nnnnnkkffzzrziziz 110012()( )( )d.()nnnn nkzfrzizz 其其中中00001,|zrqqzzzz 令令则则， 4.4 洛朗级数洛朗级数00lim,lim( ).nnnnqrz由由可可以以证证明明00001( )()()() ,nnnnnnnnnf zczzczzczz 因因此此21101

9、01( )d,(0,1,2,);2()1( )d,(1,2,) .2()nnknnkfcnizfcniz cr2r1z0 如果在圆环域内取绕如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线的任何一条正向简单闭曲线c, 则根据闭路变形原理则根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示这两个式子可用一个式子来表示:101( )d,(0, 1, 2,)2()nncfcniz 0101201 2( )( )() ,d ,()(,)nnnnncff zc zzcizn 于于是是 4.4 洛朗级数洛朗级数 称为函数称为函数f (z)在以在以z0为中心的圆环域为中心的圆环域: r1|z-z0|r2内的内的

10、洛朗洛朗(laurent)展开式展开式, 它右端的级数称为它右端的级数称为 f (z)在此圆环在此圆环域内的域内的洛朗级数洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项负幂项的级数是的级数是唯一唯一的的, 这个级数就是这个级数就是 f (z)的洛朗级数的洛朗级数.0)()nnnczzf z 其中其中1010122( ),(,),()nncfcdniz 4.4 洛朗级数洛朗级数注注1 1：0nnnf zc z z 00nnnc z z 01nnnczz zz 0rzzr 0( )zzzr ：解解析析部部分分，在在内内解解析析；0(z)zzr ：奇

11、奇异异部部分分或或主主要要部部分分，在在解解析析。注：注：00laurentnnfznc;n 时时 ，系系 数数注注3：taylor级数是级数是laurent级数的特殊情形级数的特殊情形0f ( z )zzr 当当在在内内解解析析时时，101)012nnccf(z zzdzn;i 1012nncf zcdzizz 0012nfzn, , ,n! 4.4 洛朗级数洛朗级数 注注4：同一函数在不同区域内的展开式不同；同一函数在不同区域内的展开式不同； 例如例如 在在 z=i 和和z=-i处展开函数处展开函数 为洛朗级数。为洛朗级数。12( )()if zz zi 展开点为展开点为i：f(z)在复平

12、面内有两个奇点在复平面内有两个奇点: z=0与与z= i, 分别在以分别在以i为中心的圆周为中心的圆周: |z-i|=1与与|z-i|=2上上. 因此因此, f (z)在以在以i为中心的圆环域为中心的圆环域(包括圆域包括圆域)内的展开内的展开 式有三个式有三个: 1)在在|z-i|1中的泰勒展开式中的泰勒展开式; 2)在在1|z-i|2中的洛朗展开式中的洛朗展开式; 3)在在2|z-i|+ 中的洛朗展开式中的洛朗展开式;oii 展开点为展开点为 i：f(z)在复平面内有一个奇点在复平面内有一个奇点: z=0在以在以-i为为中心的圆周中心的圆周:|z+i|=1上上. 因此因此, f (z)在以在

13、以-i为中心的圆环域内的展开式有二个为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在在0 |z+i|1中的洛朗展开式中的洛朗展开式; 2)在在1|z+i| + 中的洛朗展开式。中的洛朗展开式。i0 4.4 洛朗级数洛朗级数将函数展为洛朗级数将函数展为洛朗级数常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficcnn 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点缺点: 计算往往很麻烦计算往往很麻烦. 4.4 洛朗级数洛朗级数4.4.3 典型例题典型例题例例1 1, 0

14、 内内在在 z. )( 2展开成洛朗级数展开成洛朗级数将将zezfz 解：解：,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 cnnzfic d213 cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzc , 3 时时当当 n0 nc, 2在圆环域内解析在圆环域内解析zez故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:, 2 时时当当 n由高阶导数公式知由高阶导数公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n d213 cnneic 4.4 洛朗级数洛朗级数根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方

15、法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 .2. 间接展开法间接展开法 4.4 洛朗级数洛朗级数 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点, ,. 2的奇点的奇点也是函数也是函数zez 4.4 洛朗级数洛朗级数例例2 2 : )2)(1(1)( 在圆环域在圆环域函数函数 zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处

16、处解析的内是处处解析的,试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解：解：,)2(1)1(1)(zzzf , 10 )1内内在在 zoxy1,1 z由于由于12 z从而从而 nzzzz2111则则2112121zz nnzzz22212122 4.4 洛朗级数洛朗级数 )( zf所以所以)1 (2 zz 421212zz 2874321zz , 21 )2内内在在 zzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z 2112121zz nnzzz2221212212oxy)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111

17、121zzzzznn 4.4 洛朗级数洛朗级数, 2 )3内内在在 z2oxy2 z由由12 z此时此时zzz211121 24211zzz, 121 zz此时此时仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz 4.4 洛朗级数洛朗级数注意注意:0 z奇点但却不是函数奇点但却不是函数)2)(1(1)( zzzf的奇点的奇点 .本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1. 函数函数)(zf在以在以0z为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有0zz 的负幂项的负幂项,

18、 而且而且0z又是这些又是这些项的奇点项的奇点, 但是但是0z可能是函数可能是函数)(zf的奇点的奇点,也可能也可能)(zf的奇点的奇点.不是不是 4.4 洛朗级数洛朗级数2. 给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后, 函数可以在以函数可以在以z0为中心的为中心的(由奇点隔开的由奇点隔开的)不同圆环域不同圆环域内解析内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答回答：不矛盾：不矛盾 .朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相

19、矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛 4.4 洛朗级数洛朗级数解：解： z0例例3 将函数将函数 及及 在在z0=0的去心邻域内展成洛朗级数的去心邻域内展成洛朗级数. 2 sinsinzzzz21352241111352111113521sin()!()!()!()!nnnnzzzzzzznzzzn 2135222131111352111113521sin()!()!()!()!nnnnzzzzzzznzzzzn z0 4.4 洛朗级数洛朗级数2113()()zz 13|z 例例4:4:求函数求函数在圆环在圆环内的罗朗级数展式内的罗朗级数展式. . 13|z 1113|,|zz 解：解：由于由于，那么，那么 我们得我们得22221113113138318311()()()(