2.1级数概念正项级数.ppt课件

1、第九章第九章 数项级数数项级数202102169.1 9.1 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 一、无穷级数一、无穷级数 1nna无穷级数无穷级数nnaaaS 21.;,lim否则称发散否则称发散称级数收敛称级数收敛若若SSnn 个个部部分分和和第第 n:例例.1| ,0时时收收敛敛只只有有等等比比级级数数 qqnn.1 ,1 ,10时发散时发散时收敛时收敛当当级数级数 nn naaa21 级数收敛的必要条件：级数收敛的必要条件：.0lim1 nnnnaa 收收敛敛，则则若若 （反之不对）（反之不对）证明：证明：, ,lim1 nnnnnSSaSS存存在在设设等价叙述为：等价叙述为：.,

2、0lim1发发散散则则若若 nnnnaa. 0lim SSann故故:例例. 1sin ,)1(10发发散散 nnnnn二、收敛级数的性质：二、收敛级数的性质： 线性性质：线性性质：.,111也也收收敛敛则则都都收收敛敛设设 nnnnnnnbaba添加、去掉、改变级数的有限项添加、去掉、改变级数的有限项, ,不不改变级数的收敛性改变级数的收敛性. .111 nnnnnnnbaba且且取取极极限限有有限限和和 则则收收敛敛若若,1 nna任意任意“加括号加括号后组成后组成的的且和不变且和不变. .的新级数也收敛的新级数也收敛; ;反之不真：反之不真：“加括号后收敛加括号后收敛, , 原级数不一定

3、收敛原级数不一定收敛” 11)1(nn逆否：逆否： 加括号后发散加括号后发散, ,则原级数发散则原级数发散. .实质：实质：加法结合律的推广加法结合律的推广收敛级数有结合率收敛级数有结合率. .但是，但是，如果括号中各项符号相同如果括号中各项符号相同, ,且加括号且加括号后收敛后收敛, ,则原级数必收敛则原级数必收敛. .且和不变且和不变. .证明：证明： )()(211121kkkaaaaa )(11nnkkaa部分和：部分和：,21nAAA原级数部分和：原级数部分和：,21nSSS nknnknASAASA11SSkn lim,limSAnn 设设有有时时变变到到由由则则,11nnkkk

4、：柯柯西西收收敛敛准准则则)(Cauchy*Np .1 pnnkka恒有恒有证明：证明： 存在存在收敛收敛1limnnnnSa, 0*NpNnNN 对对一一切切时时当当 . npnSS收敛收敛 1nna, 0*时时使使NnNN .1 pnnkka即即202102179.2 9.2 正项级数正项级数 0,1 nnnaa正项级数正项级数一、特点一、特点.lim ,lim , nnnnnnnSSSSS无界无界若若存在存在有界有界若若定理：定理： .1有界有界收敛收敛正项级数正项级数nnnSa 例例. , 012收收敛敛求求证证级级数数设设 nnnnSaa证明：证明：. 0, 02 nnnnnSauS

5、a, 3 , 2 ,1111121 nSSSSSSSSSunnnnnnnnnnnuuu 32)11()11()11(13221nnSSSSSS .11111aSSn . ,1*收敛收敛有界有界的部分和的部分和 nnnnuSu二、比较判别法二、比较判别法 比较法：比较法：则则时时当当设设 ,0 , ,nnbaNnN .1111发散发散发散，则发散，则若若收敛收敛收敛，则收敛，则若若nnnnnnnnbaab:分分析析,和和分分别别表表示示两两级级数数的的部部分分设设nnBA.nnBA 易见易见?1 有界有界有界有界收敛收敛nnnnABb. .比较法极限形式：比较法极限形式：则则如如,limlban

6、nn ;,011同同敛敛散散与与则则若若 nnnnbal, 0 l若若,11 nnnnba 和和对对两两个个正正项项级级数数;11收收敛敛收收敛敛则则 nnnnab, l若若.11发发散散发发散散则则 nnnnab证明：证明：), 0(lim lbannn,2, 0,2llbaNnNlnn 时时当当取取 .232lbalbnnn 即即.,23 ,收收敛敛收收敛敛则则收收敛敛若若 nnnablb.,2,发发散散发发散散发发散散若若 nnnablb.,0nnbaNnl 时时知知时时.,nnbaNnl 时时知知时时. . Cauchy积分判别法积分判别法,0)(,1且且递递减减时时设设 xfx.d)

7、(1同同敛敛散散与与无无穷穷积积分分 xxf证明：证明：)1(d)()(1 kfxxfkfkk-xxfkffSnkkknknd )()()1(212 121)1(d )( nnknSkfxxf,d)(1收敛收敛若若 xxf.)(,)1(1收收敛敛 nnnffS,d)(1 发散发散若若xxf.)(,11发发散散 nnnfS 1)(nnf则则无无穷穷级级数数三、判别法的应用：三、判别法的应用：例例1.1.的敛散性的敛散性级数级数 11npnp解：解： 1 ,1 ,d11ppxxp发发散散收收敛敛由由. , 1 , 111 收收敛敛发发散散知知ppnnp其它方法：其它方法：. 3, 2 ,27例例例

8、例参参考考教教材材p例例2.2.的的敛敛散散性性 2)(ln1npnn解：解： 考虑考虑)(lnd)(ln1d)(ln122xxxxxpp 1 ,1 ,pp发散发散收敛收敛.)(ln12散散同样的条件下收敛或发同样的条件下收敛或发所以所以 npnn常用于比较的个级数常用于比较的个级数 ： 等比级数等比级数.1 ,1 ,1发发散散收收敛敛 rrrnn.1 ,1 ,11收收敛敛发发散散 ppnnp ,)ln(lnln1 ,)(ln2 knpnpnnnnn级级数数P例例. . 121nnn.,112发散发散 nnnan.,112发散发散 nnnan ,1sin1 nn, )11ln(12 nn ,3

9、112 nnnn. ,1发散发散nan. ,12收收敛敛nan. ,1 发发散散nan0 ,11ln)1(1 npnannnn.)1()11()1(pppnnnnn .1)121ln(11lnnnnn .121pnna 211limpnnna.21 p .收收敛敛 na 1)11ln(1nnn)(2)1ln(22xoxxx )(2ln22xxxx 2210)11ln(1nannann且且 故收敛故收敛例例. .nnnn 112nnnnnna 32220故收敛故收敛例例. .)0(111 aann011lim nnaa时时，0211lim nnaa时时，nnnaaaa 111时时，当当发散发散发散发散收敛收敛例例. . 13)1(3nnn收敛收敛,340nna 例例. . 的的收收敛敛性性？有有界界，设设 120nnnnanaa解：解：,Mnan 22200nManMann 故收敛故收敛例例. .)0()1()1)(1(12 xxxxxnnn解：解：nnxax 010时时，故收敛故收敛1121)1()1(101 nnnxxax时时，故收敛故收敛作业作业 (数学分析习题集数学分