线性方程组解的结构ppt课件

1、 线线 性性 代代 数数 第四章第四章 向量向量4.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构内内 容容复复 习习1. 向量组的向量组的极大无关组：极大无关组：向量组向量组 12,s 的线性的线性无关无关部分组部分组 12,riii 是极大无关组的充分必要条件：是极大无关组的充分必要条件： 12,s 12,.riii 12,srr 称称为向量组为向量组的秩。的秩。12,s 2. 齐次线性方程组解的有关结论：齐次线性方程组解的有关结论：齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxax

2、ax若记若记11211112222212,nnnmnmmaaaaaaAaaa 12nxxXx则等价的向量形式为：则等价的向量形式为：21210nnxxx则等价的矩阵形式为：则等价的矩阵形式为：00m nAXAX(1) 一定有零解一定有零解 ；(2) 只有零解只有零解(3) 有非零解有非零解(4) 有非零解等价于有无穷多解。有非零解等价于有无穷多解。( )r An21,n线性无关线性无关 ；( )r An21,n线性相关线性相关 ；【下面讨论有无穷多解时，解的结构下面讨论有无穷多解时，解的结构】4.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构1解向量解向量一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组

3、解的结构为为解向量解向量. 例如，方程组例如，方程组 1234123412340253207730 xxxxxxxxxxxx一般称齐次线性方程组一般称齐次线性方程组AX0的解：的解： 12nxxXx有解：有解：12342 75 710 xxxx称称12 75 710为为解向量解向量。再如再如, 设设 12,ijijm nn ssAaBb 且且AB0，则矩阵，则矩阵B的的列向量组列向量组为齐次线性方程为齐次线性方程组组AX0的的解向量解向量，即，即A i=0 (i=1,2,，s).2齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质:. .齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质 性质性质1 若若

4、 1 1 , , 2 2为齐次线性方程组为齐次线性方程组AX0 0的的解，则解，则 1 1 2 2证明证明12120AAA120,0AA所以，所以， 1 1 2 2 也是也是AX0的解。的解。 性质性质2 若若 为齐次线性方程组为齐次线性方程组AX0 0的解，的解，k k为实数，则为实数，则 k k 也是也是AX0的解。的解。也是也是AX0的解。的解。证明证明0,A()()0A kk A 若列向量若列向量 12,s 是线性方程组是线性方程组AX=0的解，的解，12,sk kk为任何实数，则线性组合为任何实数，则线性组合 2121sskkk也是方程组也是方程组AX=0的解。的解。 齐次线性方程组

5、齐次线性方程组AX=0只只有零解有零解，则解向，则解向量组只量组只有零向量有零向量。 齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0有有非零解非零解 , 则解向则解向量组含有量组含有无穷多无穷多个解向量个解向量. 线性方程组线性方程组AX0有非零解时，能否由有限有非零解时，能否由有限个解组合出全部解？个解组合出全部解？下面介绍基础解系。 3基础解系基础解系齐次线性方程组的齐次线性方程组的解向量组解向量组的的极大无关组极大无关组称称为该方程组的基础解系。为该方程组的基础解系。定义定义1 齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0的有限个解向量的有限个解向量 满足满足: 12,r 12,r (1) 线性无关线性无

6、关;(2)AX=0的的任意一个解任意一个解均可由均可由 12,r 线性表示线性表示. 则称则称 12,r 是齐次线性方程组是齐次线性方程组AX0 的一个基础解系基础解系. 通解，全部解通解，全部解 方程组方程组AX=0一个一个基础解系基础解系即为解向量组即为解向量组的一个的一个极大无关组极大无关组，方程组，方程组AX=0基础解系基础解系不是不是唯一唯一的。的。 当齐次线性方程组当齐次线性方程组只有零解只有零解时时, 该方程组该方程组没有基础解系。没有基础解系。 而当一个齐次线性方程组有非零解时而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否是否一定有基础解系呢一定有基础解系呢? 如果有的话如果有的话,

7、怎样去求它的基怎样去求它的基础解系础解系? 下面的定理给出了齐次线性方程组有非零解下面的定理给出了齐次线性方程组有非零解时，基础解系的时，基础解系的存在性；定理的证明也给出了求存在性；定理的证明也给出了求基础解系的方法。基础解系的方法。一般，一般，A的线性无关的的线性无关的r列不一定在前面。列不一定在前面。 定理定理 1 对齐次线性方程组对齐次线性方程组 0m nAX, 如果如果 ( )r Arn，则该方程组的基础解系一定存，则该方程组的基础解系一定存nr个。其中个。其中n是方程组所含未知量的个数是方程组所含未知量的个数.证明证明 因因 为为 r Arn, 不妨设不妨设A的的前前r列列线线 性

8、无关，对矩阵性无关，对矩阵A施以初等施以初等行行变换，变换，在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于可化为可化为:112121122212100010001000000000000rrnnrrrrrrrnbbAbbbbbbb 行于是，齐次线性方程于是，齐次线性方程AX=0组的同解方程组为组的同解方程组为11212122111211222122rrrrrrnnrrnnrrrrnrrnrrxxxb xxxxb xxbbbbbxxb xb12121211112122122212rrnrrnrrnrrrrrrrrnnrrnxxxxxxxxbbbxbbbxbx

9、xbb 其中其中 12,rrnxxx是自由未知量，分别取是自由未知量，分别取120000,01011rrnxxx 得到方程组得到方程组AX=0的的 nr个解：个解： nr个个nr维维 向量。向量。11122211121222,000001110rrrrrrrrnnnrnrbbbbbbbbb现证现证 12,n r 就是线性方程组就是线性方程组AX=0的的一个基础解系。一个基础解系。 100,010,001由于由于nr个个nr 维向量维向量线性无关，所以线性无关，所以, nr个个n 维向量维向量: （1）证明）证明 12,n r 线性无关线性无关。12,nr也线性无关也线性无关。(2) 证方程组证

10、方程组AX=0的任一解的任一解 都可表为都可表为 12,n r 的线性组合的线性组合: 设齐次线性方程组设齐次线性方程组AX0的任意一个解为的任意一个解为:112rrnccccc，代入同解方程组得：，代入同解方程组得：222211112121111212122221111rrrrrn nrrn nrrrrrrrrrrnrrnnnrcbbb ccbbb ccbbb ccccccccccccc 即即 21111212212221222111rrn nrrn nrrrrrrrnrrrnrrcccccbbb ccbcbb ccbbcb c 写成向量形式即为：写成向量形式即为：1111212121100

11、00001rrnrrrrrnrnrbbbbbccbc1 12 2,rrn n rccc综合综合(1)(2)知，知， 12,n r 是齐次线性方是齐次线性方程组是程组是AX=0的一个基础解系。的一个基础解系。 可以按照定理可以按照定理1的证明过程求出求齐次线的证明过程求出求齐次线性方程组的基础解系。性方程组的基础解系。 的一个基础解系，则的一个基础解系，则AX=0的全部解可表示为：的全部解可表示为： 若已知若已知 12,n r 是线性方程组是线性方程组AX=01212,n rn rccc其中其中 12,n rc cc为任意常数。为任意常数。 例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系

12、与通解的基础解系与通解.解：解： 由由316420223530156860A1234512345123453642022353056860 xxxxxxxxxxxxxxx 行得相应的同解方程组为：得相应的同解方程组为： 行93100444375004440000001113452345931444375444xxxxxxxx 令自由未知量令自由未知量等于：等于：345,xxx123931444375444,100010001345xxx得基础解系：得基础解系： 所以，通解为所以，通解为 1 12233ccc123,.c c cR10010,0001 按消元解法，也可得基础解系。按消元解法，也可

13、得基础解系。得全部解为得全部解为令自由未知量令自由未知量 341235,xcccxx12211232214235931444375444xxxcccccxcxccc 123( ,)c c cR13452345931444375444xxxxxxxx 即即12211232214235931444375444xxxcccccxcxccc 12312345931444375444100010001xxxcccxx221331ccc123( ,)c c cR两种解法类似两种解法类似 对自由未知量取不同的值，可得不同的对自由未知量取不同的值，可得不同的基础解系。基础解系。345xxx1239313754

14、00,040004 40040,0004 13452345931444375444xxxxxxxx 令令得基础系：得基础系：(1) 求出通解后写成向量形式找出基础解系求出通解后写成向量形式找出基础解系; 求基础解系的两种方法求基础解系的两种方法: (2) 分别取自由变量为一组线性无关的向量分别取自由变量为一组线性无关的向量,代入代入同解方程组同解方程组求出基础解系求出基础解系. 基础解系跟基础解系跟自由未知量的选取自由未知量的选取有关有关, 只要将只要将 自由未知量取为线性无关的向量组自由未知量取为线性无关的向量组, 所得即为一所得即为一 组基础解系组基础解系; 为简单起见为简单起见,自由未知

15、量经常取为自由未知量经常取为基基 本单位向量本单位向量, 或将自由未知量取为可以消去分母或将自由未知量取为可以消去分母 的向量的向量.注意注意:例例2 用基础解系表示如下线性方程组的通解用基础解系表示如下线性方程组的通解.12345123451234512345430320223450335670 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解 对系数矩阵对系数矩阵A 作作初等行变换初等行变换，化为行最，化为行最简矩阵，有简矩阵，有11143113212234533567A10040010000000001110相应的同解方程组为：相应的同解方程组为：相应的同解方程组为：相应的同解方程组为：1

16、2535440 xxxxxx 2510,01xx 令自由未知量令自由未知量 得得基础解系基础解系 120011140,100 所以所以, 通解为通解为 1 122cc12,.c cR 一般常用齐次线性方程组一般常用齐次线性方程组 AX=0 的基础解的基础解系所含向量个数系所含向量个数 nr(A) 与系数矩与系数矩A的秩的秩的关系的关系证明矩阵的秩。证明矩阵的秩。(1) 若若AX0与与BX0为同解方程组，则为同解方程组，则 r(A) = r(B).(2) 若若AB0 , 则则B的列向量组一定为齐次的列向量组一定为齐次线性方程组线性方程组AX0的解。的解。(3) 若若r(Ann) n, 则则A 的

17、列向量组的列向量组一定为齐次线性方程组一定为齐次线性方程组AX0的解。的解。12,TiiinAAAr(B)nr(A) ？ 0A AA E,m nn sABO12(),n r A，证明证明(1) ( )( ).r Ar Bn 证明证明 (1)设设B B1 1,2 2 , ,s, ,则由则由 ABABA A1 1,2 2 , , ,s0 0 得得A A i 0 0 i1,2, 1,2, , ,s ，即即 1, 2 , s为齐次线性为齐次线性方程组方程组AX0的解，并可由其基础解系的解，并可由其基础解系线性表出，于是，线性表出，于是， r( 1, 2 , s) nr(A)所以，所以， r(A) +

18、r(B) n.例例3 若若 (2) (2) 若秩若秩(A)=n,(A)=n,则则B=0B=0； (3)(3)若若B B0，则，则A的列向量组线性相关。的列向量组线性相关。(2)与与(3)显然。显然。，B B为为3 3阶非零方阵，阶非零方阵， 解：由解：由1 r(B) 3 r(A) 例例4 已知已知12324369At 且且AB=0AB=0，求秩，求秩(A).(A).r(A) + r(B) 3，且，且r(B) 1, 得，得， 因因12324369At123006000t 所以，所以，1 1 当当t6时，时，秩秩(A)=2,秩秩(B)=1,2 2 当当t=6时，时，秩秩(A)=1,秩秩(B)=1或

19、或2.设设 n 阶方阵阶方阵A的的A 0，A中元中元 a11 的代的代11121(,)()TnXc AAAcR思考练习：思考练习：【通解为通解为】数余子式数余子式A110，求齐次线性方程组，求齐次线性方程组AX0的的通解。通解。二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构已学过已学过：非齐次线性方程组：非齐次线性方程组 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 记记 11211222211212,nmnnmnmaaaaaAaaaa1122,nmxbxbXBxb则有等价的则有等价的矩阵形式：矩阵形式： AX

20、B则有等价的则有等价的向量形式：向量形式： 2121nnxxx（1）AXB有唯一解有唯一解 12,(),nAA B2211( )( ),nnr Ar Anrrn可由可由21,n唯一线性表出。唯一线性表出。（2）AXB有无穷多解有无穷多解2211( )( ),nnr Ar Anrrn可由可由21,n线性表出，表示式线性表出，表示式不唯一。不唯一。（3）AXB无解无解1221( )( ),1,nnr Ar Arr不可由不可由21,n线性表出。线性表出。（4）m=n时，时，AXB有唯一解有唯一解( )00Ar AnAX线性无关。线性无关。21,n只有零解。只有零解。（5 5）与方程组）与方程组AXB

21、有解等价的命题有解等价的命题 1212,nn 1212,nnrr 线性方程组线性方程组 AXB有解有解12,n 向量向量 可由向量组可由向量组线性表出；线性表出；( )()r Ar A B1.1.导出组导出组11 11221121 1222221 122(1)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 对应的对应的齐次线性方程组齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa非齐次线性方程组非齐次线性方程组 称为方程组称为方程组(1)的的导出组导出组（相伴方程组）（相伴方程组） 。2.2.非齐次线性方程

22、组解的基本性质非齐次线性方程组解的基本性质证明证明 因为因为A g g1 1B , B , AgAg2 2B B， 性质性质1 设设g g1 1, ,g g2 2 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组AXB的解，则的解，则g g1 1g g2 2是导出组是导出组A AX0 0的解。的解。所以，所以，A (g g1 1g g2 2 A g g1 1 A g g2 2 0 0，即即 g g1 1g g2 2 是导出组是导出组A AX0 0的解。的解。 性质性质2 设设g g 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组AXB的解，的解， 是导出组是导出组A AX0 0的的解，解，则则g g 是是非齐次线性

23、非齐次线性方程组方程组AXB的解的解。证明证明 因为因为A g g B B , , AA0 0，所以，所以，A (x x A x x A B B 0 0B B，即即 g g 是方程组是方程组A AXB B 的解。的解。 设设 g g 1 1, , g g2 2 , , , g gs 都为非齐次线性方程组都为非齐次线性方程组 AXB的解，则线性组合的解，则线性组合c1g g 1 1 c2g g2 2 cs g gs仍仍11.siic为为AXB的解的充要条件是：的解的充要条件是：例如例如， g g 1 1, , g g2 2 , , , g gn 都为非齐次线性方程组都为非齐次线性方程组 AXB的

24、解，则的解，则12nnggg也是方程组也是方程组A AXB B 的解。的解。 3解的结构解的结构定理定理2 设设 0g是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 AX=B 的的12,n r 一个一个特解特解 , 是导出组是导出组AX=0的一的一其中其中 12,n rc cc为任意实数。为任意实数。个基础解系，则非齐次线性方程组个基础解系，则非齐次线性方程组AX=B的通解的通解证明证明： 需要证明需要证明: (1) 非齐次线性方程组的任非齐次线性方程组的任1 1220.n rn rcccgg为为一解可表示为一解可表示为1 1220.n rn rcccgg(2) 此形式的列向量都是此形式的列向量都是AX

25、B的解。的解。01 122n rn rcccgg, 向量向量 是方程组是方程组AX=B的解；的解；设设为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组AXB的的任一解，任一解，常数常数显然，对任意实数显然，对任意实数12,n rc cc1 1220n rn rcccg所以所以 , 存在存在12,n rc cc，使，使为导出组为导出组AX0的解，的解， 则则0gg即即1 1220n rn rcccgg定理给出了求非齐次线性方程组通解的方法。定理给出了求非齐次线性方程组通解的方法。12345123452345123457,3232,22623,834312.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解例例5

26、5 求下述方程组的解求下述方程组的解11111731213202126238343112A B并用导出组的并用导出组的基础解系基础解系表示全部解。表示全部解。相应的同解方程组为相应的同解方程组为1245324551626322xxxxxxxx 10151602262300000000010010 求导出组求导出组基础解系：基础解系：【注意注意】求导出组基础解系时，常数项一定要求导出组基础解系时，常数项一定要 视为零！视为零！123115100,.226010001求求AXB特解特解：3450,xxx令得基础解系得基础解系 令令2451000 ,1 ,0001xxx 12453245516263

27、22xxxxxxxx 得得AXB特解：特解：13 30122cccgg23(,)c ccR101623000g所以，通解为所以，通解为也可由消元解法求通解：也可由消元解法求通解：写成向量形式为：写成向量形式为：原方程组的同解方程组为：原方程组的同解方程组为：1123213123425352216236xcccxcxcccxcxc 214253,xc xcxc令令得通解为：得通解为：1245324551626322xxxxxxxx 1231151610023.226001000010Xccc123( ,)c c cR1 122303cccg 两种解法是类似的。两种解法是类似的。 例例6 设四元非齐次线性方程组设四元非齐次线性方程组AXB的系数的系数矩阵矩阵A的秩为的秩为3, 已知它的三个解向量已知它的三个解向量 123, 满足满足 1233446,1820 求该方程组的通解求该方程组的通解. 解解 因为方程组因为方程组AX