解析几何存在性问题

1、解析几何一一存在性问题1、已知椭圆 的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为(1) 求椭圆的方程；;若不(n)设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足，若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)存在，说明理由.解：(1)因为直线的方程为，令，得，即1分二，又，,椭圆的方程为.4分(2) 存在点P,满足/圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，由垂径定理得，故圆的方程为 8分设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则，整理得，它表示圆心在，半径是的圆。 12分故有，即圆与圆相交，有两个公共点。圆上存在两个不同点，满足 14分2、平面直角坐标系中，椭圆：()的离心率为，焦点为、，直线：经过焦点，

2、并与相交于、两点. 求的方程；在上是否存在、两点，满足，？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.解:依题意， 2分，由得 3分 ，椭圆的方程为4 分(方法一)若存在满足条件的直线，设直线的方程为 由6分，得7分10 分,(*) 设，则，9分 由已知，若线段的中点为，则， ，即，由，解得13分14分14 分时，与(* )矛盾，.不存在满足条件的直线 (方法二)假设存在，线段的中点为， 贝y,5分 由两式相减得：7 分， 代入、化简得：由已知，则，9由得，由解得，即11分直线CD的方程为：，联立得 13分,方程(组)无解，不存在满足条件的直线3、在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点M (

3、1, 3)、N(5,1), 若点 C满足1- - - 2OC tOM (1 t)ON (t R),点C的轨迹与抛物线：y2 4x交于A B两点.(1)求证：OA OB ；若存在，请求出 m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.(2)在X轴上是否存在一点 P(m,0),使得过点P直线交抛物线于 D E两点，并以该弦 DE为直径的圆都过 原点，解：由OCtoM (1 t)ON(tR)知点C的轨迹是MN两点所在的直线,故点C的轨迹方程是1 ( 3)(X1),即yy法一:4x4 (X 4)24x12x16X1X216,X1X212(X14)(X24) X1X24(X1X2)1616X1X20,故

4、OA OB.6分存在点P(4,0),满足条件。证明如下：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零,设弦所在的直线方程为：X ky 4代入y24ky 16y1 y2 4k， yy16,koA koB1 2 xT x2y1业4y22土416OA OB,故以AB为直径的圆都过原点10法二：若存在这样的点P满足条件，设D(x1,y1), E(x2, y2).则有 x1x2y-i y20 得 yy16,又 PD (X1 m,y1),PE(X2 m,y2),由DP、E三点共线可得(X1 m, yj y(X2 m y?) y(m4)(y1y2)0k (4k) 8 4k2842，消去k得y2 2x 8.当y1y时，

5、m 4,此时P(4,0),可验证当P(4,0)且yy时也符合条件,所以存在点P(4,0)满足条件.设弦AB的中点为M(x, y)112(X1X2)，y2(y1y2)X1 X2ky1 4 ky2 4 k y2)8x 2k2弦AB的中点M的轨迹方程为：y 2k2x24、如图(6),设点 F, c,0)、F2(c,0)分别是椭圆 C：r y21(a 1)a的左、右焦点， P为椭圆C上任意一点，且（1）求椭圆C的方程；uuu uuu PR PF2最小值为0 .B到Il,l2的距离之（2）若动直线Ii,l2均与椭圆C相切，且li /12，试探究在x轴上是否存在定点B，点解：（1）设P（x, y），则有F

6、iP(x c, y) , F2P (X c,y)1分a212.22 x1 c , xa, a a2分c20 c 1 a22,3分1 .4c2积恒为1?若存在，请求出点 B坐标; 若不存在，请说明理由. 2 2PR PF2 x yuuu uuu由PF, PF2最小值为0得12椭圆C的方程为y22（2）当直线I1,|2斜率存在时,设其方程为y kx m, y kx n把l1的方程代入椭圆方程得 （1 2k2） X2 4mkx 2m220直线 l1 与椭圆 C 相切，16k2m2 4(1 2k2)(2m2 2) 0 ,化简得2 2m 1 2k2 2同理，n 1 2k2 2 m n ,若m n，则I2

7、重合，不合题意，二 m n设在x轴上存在点B（t,0），点B到直线Il,l2的距离之积为1,则k2 1,101，即 |k2t2 m2|Vk2 1 Vk2 1把1 2k2 m2代入并去绝对值整理,k2(t23)2或者 k2(t2 1)0前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R恒成立t21012当直线l1,l2斜率不存在时，其方程为x 和x13定点（1,0）到直线l1 ,l2的距离之积为 （应1）（血1) 1 ；定点（1,0）到直线11,12的距离之积为（J2 1）（ J2 1） 1 ；综上所述，满足题意的定点B为（1,0）或（1,0）14解法 2：设点,，由, 即得.4分5、已知椭圆()的左

8、、右焦点分别为、 ，且经过定点，为椭圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆 求椭圆的方程；若圆与轴有两个不同交点，求点横坐标的取值范围； 是否存在定圆，使得圆与圆恒相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由解：由椭圆定义得，1分即，二，又，.故椭圆的方程为 圆心到轴距离，圆的半径， 若圆与轴有两个不同交点，则有，即，化简得点在椭圆上代入以上不等式得：，解得：.8分又，即点横坐标的取值范围是.9 分 存在定圆与圆恒相切，其中定圆的圆心为椭圆的左焦点，半径为椭圆的长轴长 由椭圆定义知，即，圆与圆恒内切 .2分3分4 分6分144.12 分6、已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为， 线在点处

9、的切线分别为，且与交于点 .(1)(2)1)，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物求椭圆的方程；是否存在满足的点 ? 若存在，指出这样的点有几个(不必求出点的坐标) 椭圆的方程为 .3分; 若不存在，说明理由 .(2) 解法 1：设点 ， ，则，三点共线,(.,化简得：.5分由, 即得.抛物线在点处的切线的方程为，即 同理，抛物线在点处的切线的方程为 设点，由得：，而，则.代入得 ，则，代入 得 ，即点的轨迹方程为 .若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，9分1112直线经过椭圆内一点，直线与椭圆交于两点满足条件的点有两个.1314 分抛物线在点处的切线的方程为，即 .,.点在切线上,

10、.6分5分同理，综合、得，点的坐标都满足方程.经过的直线是唯一的，.直线的方程9分为，点在直线上，若 ，则点在椭圆上，又在直线上， 点的轨迹方程为.11 分12 分直线经过椭圆内一点，直线与椭圆交于两点.-满足条件 的点有两个.14分13 分解法 3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得 . 4分设,则.5分由, 即得.6分抛物线在点处的切线的方程为，即.7 分,. 同理,得抛物线在点处的切线的方程为10 分点在椭圆上 .11 分化简得 .(*) 由 ，可得方程 (*) 有两个不等的实数根 . 满足条件的点有两个 .14 分7、已知双曲线的焦点分别为, 且双曲线经过点 .(1)求双

11、曲线的方程；(2)设0为坐标原点，若点 A在双曲线C上，点B在直线上，且，是否存在以点0为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.解:(1)解法一：依题意知双曲线C的焦点在x轴，设其方程为点在双曲线C上，-3 分又，二，二所求双曲线 解法二：依题意知双曲线 点在双曲线C上，C的方程为4分C 的焦点在 x 轴，设其方程为 1 又， ，又，解得 3 分4代入去分母整理得：所求双曲线C的方程为(2)设点A, B的坐标分别为，其中或 当时，直线AB的方程为，即 6分若存在以点0为圆心的定圆与 AB相切，则点0到直线AB的距离必为定值, 设圆心0到直线AB的距离为，则.7分,.8 分又， 故 =11 分此时直线