第一章积分方程的来源及基本概念

1、第一篇 积分方程第一章 方程的导出和基本概念1.1 方程的导出许多力学、工程技术和数学物理问题都能用积分方程形式描述， 而求解常微分方程和偏微分方程的 定解问题常常可转化为求解积分方 程的问题。下面举几个典型的问题 作为例子，扼要地阐明导出积分方 程的方法以及微分方程与积分方程 之间的联系。例 1 ：弹性弦负荷问题根轻且软的弹性弦，长为I,两端固定，如图所示，静止时与X轴重合, 弦内张力为 T0 .今在其上加以强度为（X）的负荷.设在任一点M （横坐标为X）弦的位移y（x）已知.试确定（X）,Po图1.1解：在任一点X 处取微小的一段弦d ,则作用于其的重力为（）d ,记之为Po,则这重力Po

2、必引起弦的形变记处位移为S,则:To sin 1To sin 2P）,因为To（X）,所以1, 2SSsin 1 tan 1 ,sin 2-Ss所以To To FO,得Fo(lTo l记P0引起的x处位移为y（X）,则o X 时,记:*Sy (X) X -F0(')x;y（X）l时亡Fo（lX）G(x,)To ilToll XTolTo lSlx,oX l.y(X) G(x, )F0,y（X）G（x,）（）d , 对从0到l求积分,ly(x)0 G(x, ) ( )d .这就是负荷(X)满足的方程，是一个 积分方程 .例 2 商场库存配送问题 .商场销售某商品时 ,必须保持定的库存总量

3、 A,商场进货进入该商品后所进货物在时刻 t 尚未售出概率 为k(t) 问商场应以什么样的速度(t)进货以保持稳定的库存量A.解 开始营业时，库存为A,随后以速度 (t) 进货 ,考虑时刻 t 时的库存在任一小区间d 0,t,d 时刻内进货为 ()d .到时刻t为止,这些货还剩 k(t) ( )d .所以时刻 t 时,商品还剩：tAk(t) 0k(t ) ( )d .tA Ak(t) 0k(t ) ( )d .例3 Abe I问题（等时线问题）质点在重力作用下，在铅直平面自由地沿某曲线光滑地下滑,定此 曲线的形状,以使此点从任一高度 h开始下滑到达X轴所用的时间为已 知值f(h)图1.2解设此

4、点落到任一高度y，rr r 12贝0 mv mg(h y).2v J2g(h y)记为过y点的曲线的切线与X轴夹dy dtJ2g(h y) sindtdydtJ2g(h y) sin 记(y)丄.sinI (y)= dy.从 0 h 积分J2g(h y)(y)h/ '八 匚 dy f (h).° J2g(h y)显然,定出曲线上任一点切线与X轴的夹角即相当于定出曲线.上式可看成求曲线方程的积分方程 例4人口问题.设初始时人口总数为 n0. f (t) 为生存函数 ,表示 t 0 时出生的人到时 刻 t 时的生存率 ,如图 1.3 所示 .由于小孩出生 ,人口增加 ,设小孩出生

5、率为 (t ) .此出生率与当时总人口数n(t) 成正比 ,即 (t)k n(t)取0,t任微元区间 ,d .则在此时段出生小孩为 k n( ) d.到时刻 t 时,还存在的为 f (t ) kn( ) d . 故由于出生，到t时为止增加的人口为:t0 f(t ) k n( ) d .t 0时人口 n0 到时刻 t 还存在的为f (t) n。,得tn(t) n0 f(t) k 0 f(t ) n( )d .例5偏微分方程的边值问题在寻求偏微分方程定解问题的解时，常常也可将方程和边界条 件包含在积分方程内，把解边值问 题化为求解积分方程问题。例如， 偏微分方程222u O,(x,y,z)_u_u

6、_u2 2 2xyz及其边界条件u0.可以转化为等价的积分方程G(P ,Q)u(Q)d ，中d 为体积微元，G(P,Q)是Green 函数。1.2. 基本概念 .积分方程的分类定义 1.1 在积分号下出现未知函数 的方程称为积分方程 .（或者含有未知函数的积分的等式，称为积分方 程）通常 ,含未知函数的积分方程般形式为：ba(x) (x) a K(x,t)F( (t)dt f(x),(1.1)x a,b ，中 f (x),a(x),K(x,t) 为 已 知 函数,(X)为未知函数,a,b为积分上、下 限，f(x)称为自由项，K(x,t)称为积分 核，为参数,F为的已知函数.若F为线性的淋(1.

7、1)为线性积分方程 ,否则称为非线性方程 .本课程主要研究线性方程 ,其一般形式为：a(x) (x)baK(x,t) (t)dt f (x) ,(1.2)x a,b,按方程形式分 ,可分为第一类和第类.如未知函数 ( x )仅出现在积分号内,称为第一类方程 ,例如ba K(x,t) (t)dt f(x) 0 ； a否则称为第二类积分方程，例如b(x) K(x,t) (t)dt f(x).a如积分上、下限均为常数，称为Fredholm 方程,否则称之为Volterra 方程，例如，当式（1.1 ） 中的f（x） 0时,称为齐次方程.§1.3常微分方程转化成积分方程通常,常微分方程的初值

8、问题可以 转化为Volterra方程,边值问题可以 转化成为Fredholm 方程.例一阶常微分方程dy(x)二f (x,y),dxc 八/c(1.3.1)y(0) Co.对（131）两边积分，得xy(x) c00 f (s, y(s)ds.若 f 关 于 y 为 线 性 , 则 为 线 性Volterra 方 程 , 否 则 为 非线性Volterra 方程 .类似地,n阶常微分方程(n)(n 1)y(n)f(x,y,y, ,y(n 1),y(x0) c0,y(x0) c1, ,y(n 1)(x0) cn 1.可化为等价的 Volterra 方程 .面我们具体来将n阶线性常微分方程化为 Vo

9、lterra方程.c1,(n)(n 1)y a1(x)y y(0) c0,y (0)an(x)y F(x), ,y(n 1)(0) cn 1.(1.3.2)首先证明公式：xtn 1x dtn 1 x dtn 2 x0x0t2dt1x0t1x1 f(t)dtx01X.kx0(X t)n f(t)dt.用归纳法,当n 1时，显然成立;设n k时，成立；则n k 1时,Xtkt2t1x dtkx dtk1xdt1xf (t)dtx0x0X0X0x1tkk 14kkx0(tk t)f(t)dt.积分区域如图所示,t +交换积分顺序，得右边1XX dt (tk(k 1)! x0t*tkt)k1f(t)d

10、tk证毕.利用分部积分法xt1xo 叽 f(t)dtxt1x( x t1)( x f(t)dt)dt1x0x0(xti)t1xf(t)dtx0tl x ti xoti)f (ti)dtixx (xx0ti)f (ti)dtixxo(xt)f(t)dt,利用分部积分法，可得定理 1 设 f(x),g(x) Cna,b,则有b (n)a f(n)(x)g(x)dx(1)n ：f(x)g(n)(x)dx,特别地g(x) (b x)n,g(n)(x) ( 1)nn!,b (n)bf (n)(x)g(x)dx n! f (x)dx,aab1 bn (n)f(x)dx (b x)nf(n)(x)dx.an

11、! a定理2设f (x) Ca,b,则有xdx2f (x1)dx1X2aax(x X2)f (X2)dX2，aXX3X2dx3dx,f (x1)dx1aa-1 X(x2! aL LXXna dXn a dXn iLaa2X3) f(X3)dX3,X2af (x1)dx1(n 1)!xa(XXn)n 1 f (Xn)dXn事实上，令 F(xJxna dxn1Lx2f (x1)dx1，aF(n1)(Xn) f(xn)，利用定理1 ，得XXndxndxn 1LaaXa F(Xn)dXn1X(x(n 1)! a1X(x (n 1)! aX2f (x1)dx1an 1( n 1)Xn) F(Xn )dX

12、nXn)n 1 f (Xn)dXn。或直接利用泰勒公式的积分余项表 示公式即得.利用上述公式，我们来具体将两个常微分方程转化成积分方程 例 1.3.1ya1(x)y a2(x)y F (x)Ci解：设y （X）(t)dt Ci ,再积分之得，xy(x) 0 dt1x(x0 t10(t)dtC1XCot) (t)dtqxCo.代回方程容易得到等价的Volterray(0) C0,y (0)方程.(x) 0xK(x,t) (t)dtf (x),It中 K(x,t) f(x) F(x)ai(x)Ciai(x)a2X(x t),C1xa2(x) c0a2(x)0,例 1.3.22xy1 y(0) -,

13、y(0) y (0) 1.2解：记y （X）IIxx0 (t)dt 1,x0(x t) (t)dt1 x 22 0(x t) (t)dtx 1,2x21x23(x)0x(x t)2 (t)dt x322x2 x.常微分方程的边值冋题可以转化成Fredholm 方程.例 1.3.3y f (x, y),y(0) yo,y(o) %解：对方程两端从 0到x积分两次得xy(x) Cix C2od o f(t,y(t)dtxC1x C20 (x t)f (t,y(t)dt中 Ci，C2是任意常数，它们可由初始条件或其它条件确定，现在由y(0) o,y(-)1积分方程y(x)xy0yix0 (x t)f

14、(t,y(t)dt.例 1.3.4yy(0)y 0,y(i) 0.yxdti0iti0i (t)dtcixc2x(x0t)(t)dtcixc2,y(0)0c20，y(i)0i(i0t)(t)dtci所以 cii(i0t)(t)dt解：令(x),yx(t)dtyc1,00,xy 0 (x t)x0 t(i x) (t)dti(t)dt 0 x(i t) (t)dt ix x(i t) (t)dt,xG(x,t) t(1 X)，0 t Xx(1 t),x t 11(x)0G(x,t) (t)dt.1.3.5弦受迫振动方程yy(0)y f(x), y(i) 0.(x) y ,x0 (t)dt G,xt10dti o (t)dt qx C2,x由 y(0)0C20,y(l) 0lo(lt)(t)dtC1 l1 l所以C1-(ll 0t)(t)dt,得x1 ly(x)(x0 t) (t)dt 7 0x(l所以(t)dt qx c2.yt) (t)dt,o(x t)所以(x)X0(X t) (t)dt1 ll 0X(l t) (t)dt f(X).习题1（X）1 x是方程1.验证：X .0 eX t (t)dt X之解.X . tX t 02.验证：方程 （X）(t)dt除零解外，具有(X)CXX1解.3.化下列方程为积分