极坐标与参数方程取值范围问题

1、极坐标与参数方程取值范围问题.解答题（共12小题）1已知曲线Ci的极坐标方程为P2cos2 0 =8曲线C2的极坐标方程为9 占，曲6线Ci、C2相交于A、B两点.（p R）（I ）求A、B两点的极坐标；（n）曲线Ci与直线（t为参数）分别相交于 M , N两点，求线段MN的长度.2.【坐标系与参数方程】标系xOy的O点为极点, 曲线C的极坐标方程为设直线I的参数方程为土 （t为参数）,若以直角坐ly=2tOx轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得Seos esin 6（I）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线I与曲线C交于A、B两点，求I AB .3

2、.（选修4 - 4:坐标系与参数方程）已知曲线 C的参数方程是I尸门e为参数，a>0）,直线I的参数方程是f庐3+t （t为参数）,曲线C与直线I有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系.（I ）求曲线C普通方程;G普Kp节e普）在曲线C 上, 求L?J（n）若点 At P JI。，B（P1,11的值.|oa|2 IoeI IocF4已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为P* 企，定点A© -V3）|，Fi, F2是3十win 6圆锥曲线C的左、右焦点.直线经过点Fi且平行于直线AF2.（I

3、 ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程;（n ）若直线与圆锥曲线C交于M , N两点，求I FiM|?| FiN| .10.已知直线C1：(t为参数)，曲线C2： p=sin (吟)5 .在平面直角坐标系xoy中，曲线Ci的参数方程为4k 二肚 osQ 尸bsinQ(a>b>0, ?为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2是圆心在极)对应的参数？吟，射线轴上，且经过极点的圆.已知曲线C1上的点KC1,爭0=与曲线C2交于点DCl,-(I )求曲线C1, Q的方程;(n )若点 A ( P1, B) , B( P 2,9)在曲线C1上，求七卄丄不的值.2pf6

4、.在直角坐标系xOy中，以原点 系，已知圆C的圆心的极坐标为(血,7 .在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci为(1<av6, ©为参数).在(2)设Ci与y轴正半轴交点为D,当于牛时，设直线BD与曲线C1的另一个交O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标),半径顼，点P的极坐标为(2, 4n,过P作直线I交圆C于A, B两点.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)求 I PA?| PB 的值.y=sinQ以0为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为P =6cos, 0 射线为0 =a与C1的交点为A,与Q除极点外的一个交点为B.当a =0寸，| AB| =4.(1

5、)求G, Q的直角坐标方程；点为 E,求 IBDI+I BE .&极坐标系中，圆C方程P2sin 0A(5, 2 n),以极点作为直角坐标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相 同的长度单位.(I )求圆C在直角坐标系中的标准方程;(n)设P为圆C上的任意一点，圆心C为线段AB中点，求|PA?| PB的最大 值.9.(选修4 - 4 :极坐标系与参数方程)极坐标系中，求圆P=上的点到直线P COS( 0+ ) =1的距离的取值范围.(1) 求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2) 求直线G被曲线C2所截的弦长.11.已知直线I是过点P ( -

6、1, 2),方向向量为n = (- 1, (5)的直线，圆方程TTP =2co()(1)求直线I的参数方程(2)设直线I与圆相交于M ,12 .已知点P的极坐标为(2,N两点，求I PM|?| PN的值.K2)，曲线C的极坐标方程为p = 4cos 0过点P的直线I交曲线C与M、N两点，求|PM|+| PN|的最大值.极坐标与参数方程取值范围问题参考答案与试题解析.解答题（共12小题）1.已知曲线Ci的极坐标方程为p2cos2 0 =8曲线C2的极坐标方程为白二线Ci、C2相交于A、B两点.（p R）（I ）求A、B两点的极坐标；尸it（n）曲线Ci与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线

7、段MN的长度.【解答】解：（I）由P cos2&=S得：P cos兀訂,p=16,即 p = 4. A、B两点的极坐标为：B(-4,677TT（n ）由曲线Ci的极坐标方程pcos2 0 =化为 p (cos2 0- sin2B) =8, 得到普通方程为x2-y2=8.将直线代入 x2 - y2=8,整理得14=0 . |MN(2J"djL=2d7.I 二!?+42.【坐标系与参数方程】 设直线I的参数方程为：（t为参数），若以直角坐Ly=2t标系xOy的0点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为P环* .sin e（1）将曲线C的极坐标

8、方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线;（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求| AB .【解答】解：（1）由 pNug Q 得 P siftB =8cos,0 psin2 0 =8 p cos y2=8x, si ne曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线.,即 y=2x 4,代入 y2=8x得 x2 - 6x+4=0,. xi+x2=6, xi?x2=4.（2）严+土ly=2tI AB| =血也刃I xi x2|3.（选修4 - 4:坐标系与参数方程）已知曲线 C的参数方程是lf=acose为参数，a>0）,直线I的参数方程是（t为参数）,曲线C与直线I有一个公共点在x轴上，

9、以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系.（I ）求曲线C普通方程;（n ）若点P I。），E（p L' G耳匕在曲线C 上,求1 d一+的值.|oa|2 IobI IocF【解答】解：（I ） 直线l的参数方程是r沪計t （t为参数），消去参数t得x+y=2, lv=-l -t令 y=0,得 x=2.曲线C的参数方程是第加"为参数，a>0）,消去参数©莅+把点（2, 0）代入上述方程得a=2.2 2曲线C普通方程为 务+豊二1.2'G普），C（Py G晋）在曲线C 上,即a ( pcos 0 ,psin 0),4兀、CC P 339( 0 X

10、P 3日门(B3，P 2心口£(日 扌-h P 2in( 9 +-+¥)在曲线C上,),-+-+-|OA|2 lOBp locf=寺(cos 9 +cos2(e +晋)居(m? 9 +sii?( 0 晋)+ 我/( B 晋) H-cos(2 9 4) 1 ,1 J-COS2 99 佇l-ccsC2ef)忖(2 '2'2)3+cos2 6 -cos (2 0 H) + cost£E )1-Hcos(2 9 +-、83-cos2e +cos (2 0 4) -cos(2 9)4.已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐 标系

11、，圆锥曲线C的极坐标方程为P 2 _，定点AtO, -V3)|, F1, F2是3fsin e圆锥曲线C的左、右焦点.直线经过点F1且平行于直线AF2.(I )求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程;(n)若直线与圆锥曲线C交于M , N两点,【解答】解：(I)圆锥曲线C的极坐标方程为求 I FiM|?| FiN| .p 2 空;一，即 3p+(P sin) 3+ 呂in 62=12，可得直角坐标方程：3x2+4y2=12,2 2计 + 牛=1.Fi (- 1, 0), F2 (1,0 )要求的直线方程为：y出(x+1).(II)由(I)可得直线的参数方程为:(t为参数).代入椭圆方程可得：5t2

12、- 4t - 12=0,"普 I FiM| ?| FiN| =|tit2| 宰.55 .在平面直角坐标系xoy中，曲线Ci的参数方程为*&二 M艸 尸bsinQ(a>b>0, ?为）对应的参数？冷-，射线参数），在以0为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2是圆心在极 轴上，且经过极点的圆.已知曲线 Ci上的点kCi,返2¥与曲线C2交于点I ）求曲线Ci, C2的方程；U）若点A （ pi，B）,b（P" 9碍）在曲线Ci上，求的值.22P 1 P 2【解答】解: （I） 曲线Ci上的点爭）对应的参数?=?l=acos-：_兀,解得

13、1212 C曲线Ci的直角坐标方程为：务+ /=i.4曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线0=与曲线C2交于点圆的直径2R=1兀=2,.曲线C2的方程为（X- 1）2+y2=1.迁:代入曲线G的直角坐标方程：V+y Ji.y=P sinS4可得p 2 叟下一.l+3si n 0(II)把=1任任子）=2+為靑头3心25 =2+3 =5 PP 彳 4Q6在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系，已知圆C的圆心的极坐标为(血，匹)，半径r顼，点P的极坐标为(2,4n，过P作直线l交圆C于A, B两点.(1) 求圆C的直角坐标方程；(2) 求 | PA?| P

14、B 的值.),【解答】解：(1)圆C的圆心的极坐标为C ,.兀XsilTTr1，y=/2圆C的直角坐标方程为(2)点P的极坐标为(2, 当直线I与圆C相切于等4兀-"x- 1) 2+ (y- 1) 2=2.n),化为直角坐标P (- 2, 0).D 时，则 | PD 2=| PC2- r2= (- 2- 1) 2+ (0- 1) 2 (忌 2=8.|PA?|PB =| Pd2=8.7 .在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci为(1<av6, ©为参数).在s=acos 0y=sinQ以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Q的极坐标方程为P =6cos, 0射线为0

15、 =a与C1的交点为A,与 Q除极点外的一个交点为B.当a =(时，| AB| =4.(1)求C1, C2的直角坐标方程；IT(2)设C1与y轴正半轴交点为D,当乩三-时，设直线BD与曲线G的另一个交 点为 E,求 |BD|+| BE .【解答】解：(1)由P =6cos,得p=6 P cos,所以C的直角坐标方程是x2+y2 -6x=0 由已知得G的直角坐标方程是=1, 当a =0寸射线与曲线G, C2交点的直角坐标为(a, 0), (6, 0),|AB|=4,. a=2, C的直角坐标方程是 話+/二1(2)联立 x2+y2- 6x=0与 y=x得 B (3, 3)或 B (0, 0),

16、v B不是极点， B (3,又可得D （1，0）, 亦D二一， BD的参数方程为（t为参数）2心命t将带入得竺t2严-1+41=0，设D，E点的参数是ti, t2，则 13 V13-533|口0| I ijWlltl + t2=* t 112二页-，|切 1 + 1 BE 1= 111 ftj 1=.&极坐标系中，圆C方程P =2力osL 2sin 0A （馅，2 n）,以极点作为直角坐 标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相 同的长度单位.（I ）求圆C在直角坐标系中的标准方程；（n）设P为圆C上的任意一点，圆心C为线段AB中点，求|PA?| PB的最

17、大 值.【解答】解：（I）T P =25cos 0- 2sin 0- p=2伍 p cos-2 p sin 则 x2+y2=3x - 2y，即圆C在直角坐标系中的标准方程为（X-J5） 2+ （y+1） 2=4；（n） A （di 2n）的直角坐标为（GL 0），圆C的圆心坐标为（Jj,- 1）， 圆心C为线段AB中点，点 B 的坐标为2），AC=BC=1 设/ACP0,而PC=2则PA彳貞严+卩严边配XPCX co呂9勾5-4亡M 6 , 同理 PbR5+4亡ns 9 ,I PA ?| PB MTcm 9 九5+4亡吋 25-16匸0呂? 6 < 5,当且仅当 cos 0 =0寸取等号

18、, I PA?| PB的最大值为5.P9.（选修4 - 4 :极坐标系与参数方程） 极坐标系中，求圆p=上的点到直线P cos（沁） =1的距离的取值范围.3【解答】解：圆PW2化为直角坐标方程得：x2+y2=2直线 P U口£（9 +二1，即专 p cos 令i J_p cos- p sin 0=12 ' 2化为直角坐标方程为：丄"X -返y=1，2 2即 X- 2=0 圆心（0, 0）到直线的距离d7_=1故圆上动点到直线的最大距离为回1，最小距离为0故圆上动点到直线的距离的取值范围为0,+110.已知直线Ci:（1）求直线（2）求直线【解答】解:4H t53(t 为参数)，曲线 C2： p+ p =2 sin ( 0+：).C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;C1被曲线C2所截的弦长.生'pt3(1)由,得 3x- 4y=0.由 p+ P =2Vsin (),得 P =22 (sin 0 cos-cos B sirr) =2sin +2cos 0 即 p+1=2p sin+2p cos,