曲线运动1曲线运动一相关知识补充6-2角加速度1角

1、第6章曲線運動8第6早線運動關知識補充6 2 角加速度rad/s2。1. 角加速度(a)：單位時間內角速度之變化量。單位為2. 蛍一t圖，如圖6 1所示。(1) « t圖之斜率代表角加速度。(2) -t圖之面積代表角位移或某段時間內所轉過之圈數。(11(b )等角加速度運動(&(d)等角減速度至停止(a)等速圓周運動(C)等角加速度運動例1一飛輪在加速度J20兀(3)01=兀沦10 = x10= (rad/s)3330秒內由靜止以等角加速度加速到600rpm，試求 (1)角(2)角位移 (3) 10秒末之角速度，各為若干？蛍20花2兀2解：(1)斜率=a=一 (rad/s )

2、t3031(2)面積=日=X30 X20 兀=300 兀(rad)22兀第6章曲線運動 99例2一電風扇以1200rpm之速度轉動，當開關關掉後，經 求（1）角加速度（2）至停止時所需的轉數。解：斜率血2 （轉/s2） t 102=4 （rad/s ）（轉=2兀 rad）10秒後停止,1面積=所轉之圈數=X10 X20=100 （轉）1.切線加速度（at）:改變速度之大小,2.法線加速度（an）：改變速度之方向,at = ra。Vt2 an=3.合加速度或線加速度aR,2=g。 raR = J t + an。6- 3 切線加速度與法線加速度6-4 拋物體運動 1. 水平拋射可求得水平射程。可求

3、得飛行時間及高度。V = &當落地時45。，則水平射程最遠 Rmax = 2h （h表高度）。x2+ Vy2。水平方向作等速直線運動, 垂直方向作自由落體運動, 落地時的合成速度最大，2. 斜向拋射水平方向作等速直線運動，可求得水平射程。垂直方向作鉛直上拋運動，可求得飛行時間及高度。物體在最高點時只有水平分速度Vx = VoCOsB，Vy = 0,動能最小。同一水平高度之兩點速度的大小相等、方向相反。Vo2若初速度定，則當拋射角日=45 °時，水平射程最遠 Rmax =亠=4h。g定,日i+& = 90。)，其水平射程(6)若初速度一定，則當兩仰角互為餘角時( 會相等

4、。(7)欲拋最高 0= 90 °, hmax =Vo22g ；欲拋最遠山4，R_ Vo2max g角位移與角速度)1.一般手錶的秒針，其角速度應為若干rad/s ?(A)60兀(B)3O(C)兀(D)2 兀。2 tiN2 兀 X 1兀此輪圓周之切線速度為多少m/s ?(A) 2(B"(02；!解：X 益二石二 30(rad/s)2. 一直徑20cm之帶輪，以每分鐘 300轉作等速圓周運動,(D)3 兀。20hX20 X300兀DN100/、解：-60=兀(m/s)60角加速度)3. 一輪由靜止開始以等角加速度迴轉運動，經為lOOrpm,再經幾秒後其迴轉速變為180rpm ?

5、10秒後其迴轉速(C)10(D)8。解：100 二10't = 880t(A)20(B)16100圈後停600rpm，現以煞車制動，且在轉)4. 一飛輪之轉速為止，則煞車開始作用到停止之時間為多少秒?(A)20(B)25(C)30(D)35。解：No = 600rpm = 10rps1100 = xt X102t = 20 （秒）切線加速度與法線加速度5.6.一質點以一定長度為半徑繞一固定中心 轉動，則此質點的運動狀態為 加速度(C)具有向心加速度半徑為1cm之飛輪以角加速度 2秒後，其輪緣上任一點之加(C) J20(D) 何 cm/s2。2解：at = rot = 1 >2=

6、2 (cm/s )2 2 2an= g = 1 >(4)= 16 ( cm/s )，作順時針之等角速度 (A)作等速運動(B)具有切線(D)具有切線及向心加速度。 2rad/s2,由靜止開始轉動，則 速度為 (A)7260(b/T96a = a t = 2 >2 = 4 (rad/s)-2、7.aR= J (at)2+( aj2 = J (2)2+ 如圖66所示之平皮帶輪傳動，A及B兩皮帶輪半徑分別為10mm及20mm，其皮帶線速度固定為 200mm/s，假設皮帶厚度可忽略且 無滑動現象，則此 A及B兩皮帶輪 外緣之加速度比為多少？(A)2 1(B)4 : 1(C)1 : 2(D)

7、1 : 4。=7260 (cm/s2)(16)2拋物體運動)8. 一物體以4.9m/s之速度水平拋出，當物體落地時的方向與水 平成45。，則此物體拋出後幾秒著地？ (A)1.414 (C)0.707(D)0.5 秒。解：當著地 日=45°時 V0 = Vx = Vy= gt 4.9 = 9.8t0.5)9.如圖6 9所示之球，將其視為一質點，假設不計空氣阻力，試求若水平拋出而能直接 撞擊牆角 A點之初速度V0為多少 m/s?(A)4.5(B)4.9(C)9(D)9.8。(B)1(秒)圖6 94.5m1 2 12解：h= gt2=4.9= X9.8X2 . = 1 (s)2 2又 R

8、= V0 4.5 = V0X1 .弋0= 4.5 ( m/s)的速度水平拋出，若g = 10m/s2，(A)10(B)11(C)12(D)13。解：設石頭落在第n階鉛直位移 h = 0.2 Xn = 1 X10 X22赭 II 15K10.有一石階每階高 20cm,寬30cm,自頂端A點將一石頭以5m/s 則石頭將落於第幾階？t5水平位移S= 5t = 0.3 Xi5 X= 0.3 n5 = 11.15故落在第12階11. 槍彈離開槍口之初速度為 70m/s，為(A)300(B)400(C)49022解：Rmax =" 7。)= 490g 1012. 假設子彈離開槍管時之初速度為g=

9、 10m/s2,則最大射程(D)590 m。(m)成30。之仰角，則子彈所能達到的最大高度為(設100m/s，且子彈與水平方向2g= 10m/s )(A)125(B)225(C)325(D)400 m。解：h =100 )2 X( sin30 32 = 125 ( m)2X102g13. 一砲彈由水平地面以60。之仰角發射，其初速度為500m/s，當此砲彈之水平方向位移為2500m時，其距離此水平地面的高度為多少 m ?(註：cos600.5, sin600.866)(A)2490(B)3490(C)3840(D)5440。解：R = V0COS日 X 2500 = 500COS60 A =

10、10 (s)1 2 12又 h = Vosinext gt = 500sin60 X1O X9.8X(10)2 2=3840 (m)一、選擇題題前標註*，表示重要且常考的題目角位移與角速度)1. 一質點在直徑2m的圓周上作等速圓周運動，若質點之繞行轉速為每分鐘50轉，則其線速度為若干？ (A) (BR3(C)35兀(D)3兀DNm/s。jiX 2X 505兀60 60)2. 一機車其輪子之直徑為 則在輪頂的速度為何？解：由V0=心得30 = 0.4X(m/s)30.8m,若中心點以(A)40(B)50= 75又轉動時瞬時中心為轉輪與地接觸之點，如圖所示輪頂之速度為V = R>X=( 2r

11、) G)=( 2X0.4) X75=60 ( m/s)30m/s的速度行駛，(C)60(D)70 m/s。(rad/s)A角加速度)3.下列何者是角加速度之單位？ (A)m/s 22(B)m/s (C)rad/s(D)rad/s。)4. 半徑為30cm則當轉過動,0.5rad/s2開始轉2 兀=10)(A)45解:120°之飛輪，自靜止以等角加速度120。角時輪緣上一點的加速度為何？(設2(B)55(C)65(D)75 cm/s。2兀222兀一 (rad)由 =00+ 2a日=0+ 2X0.5 X一3322兀= 一322又 at = ra = 30X).5 = 15 ( cm/s )

12、22 jl2an= g = 30 X一 = 20兀(cm/s )3故 a= Ja： + an2 = J(15)2+( 20兀)2 = 65 (cm/s2)切線加速度與法線加速度5.©，半徑為r，則法線加速度為26.一物體作圓周運動，角速度為(D) 。r(A)僅有切線加速度(B)僅有法線加(D)無任何加速度。2r(A)r « (B)r «(C)-7.在等速率圓周運動中速度(C)切線與法線加速度均有一個質點在作圓周運動，如在圓之切線方向有加速度，此是由 於質點之什麼改變而產生的？(A)線速度之大小 (B)線速度之方向(C)位置 (D)位置與線速度之方向。一質點作圓周運

13、動，下列敘述何者正確？ 變會產生切線加速度及法線加速度(A)線速度大小改(B)線速度大小改變會產(C)若為(D)若生法線加速度，線速度方向改變會產生切線加速度 等速率圓周運動，則僅有法線加速度而無切線加速度 為等速率圓周運動，因角速度為零，故僅有切線加速度。拋物體運動9.一物體以結果？V0 sin QgVo之初速與水平成0仰角拋出，則下列何者為錯誤之(B)到達頂點之時間為2V0sin日(D)落到水平g(C)落到水平面時之時間為(A)水平速度為Vocos日V 2 i Q面時之水平射程為0 sin。g10. 以不同的仰角作斜向拋射，若時間相同，則下列何者必須相同？(A)水平位移(B)水平分速度(C

14、)初速度(D)最大高度。解：T =空血h =沁亡g2g若時間T相同，則V0Sin9必相同二高度h亦相同11. 當斜向拋射之初速一定時，則拋射角日為 (A)30°(B)45(C)60° (D)90°時，水平射程最大。12. 若初速度為一定時，以15°及75°之仰角拋出二球，則何者水平射程較遠？ (A)15 °仰角之水平射程較遠(B)75 °仰角之水平射程較遠(C)相等 (D)75 "仰角之水平射程為15°仰角第6章曲線運動 9之73倍。45。角，則解：兩角互餘，射程相同。13. 一物體從高h的樓上水平拋射，

15、著地時和水平面成水平位移為1 (A)h (B)2h(C)3h(D) h。2g，則其最(D)宜。g日仰角拋出，如果要使水平射程 R14. 一斜向拋射物體之初速Vo為一定，重力加速度為V 22V 2大水平射程 R 為 (A)2gV 02(B)L (C)-2gg15. 一物體以Vo之初速與水平 為最大高度H的3倍，則(D)53 °。納 * a 4H4H4解：tan 9 =R3H316. 一物體在高度h的平台上，0角應為(A)30。(B)37。(C)45。.-8= 53°落地時所需之時間為以初速V0水平拋射出去，則物體(A)曽(B)何(C需(D)廊。17. 於地面上一定高度作水平拋

16、射之物體，若不計空氣阻力，則當初速度加倍時，其在空中飛行時間(A)仍然不變 (B)加倍(C)減半(D)為原來之4倍。解：t=Gh知飛行時間與初速無關，僅與高度有關。18. 當水平射程為拋射體所能到達最高距離之4倍時，則其拋射角應為(A)30 °(B)45 ° (C)60 °(D)90 °。4h 4h解：ta= 一 = 一 = 1.= 45°R 4h19. 一顆子彈以V0的初速度射出，若射出的仰角為0則子彈所能2 2達到的最大高度為(A)2血(B)3 (C)空3g2gg(音。20. 將一圓球以仰角 日，初速度V0射出，試問圓球上升至最大高度99

17、第6章曲線運動時，其水平分速度 Vx與垂直分速度 Vy為若干？(A)Vx = 0,Vy = V0si(B)Vx = 0，Vy = V0cos日(C)V x = VocosB，Vy = 0(D)Vx = V0si，Vy = 0。21. 有一物體與水平面成仰角e擲出，其初速度為 V0,設空氣阻力 不計，重力加速度為 g,試求拋射之水平距離為若干？(D) 2g小、2VoSin £/c、Vosin 20 小V sin6 心2VoSin0(A)(B) (C) - (D) 0則以同樣的初速度(C)70(D)80。gg2g22.假設棒球投手最遠能投100m之水平距離,拋射，最高能投多少 m?(A)

18、50(B)60V 2 解：最遠之射程為 6= 45。時 Rmax = 一0-gV 2最高係為吐90。時hmax =當23.11故 hmax = Rmax = - X100 = 50 ( m )22將一物體以5m/s的初速度水平射出，則當其速度為 13m/s時，歷時多少？ ( g= 10m/s2)(A)1(B)1.2解：由圖可知，Vx = Vcos日5'5 = 13cos 日二 cosQ =13(C)1.5(D)1.8 秒。24.25.12sin 0 = 又 Vy = Vs in 0 = gt131213 X12 = 10Xt = 1.2 (秒)13一物體以相同的初速度作斜向拋射，若仰角

19、分別為60°、45°、30。時，測得水平射程分別為R1、R2、R3,則下列何者正確？(A)R1> R2> R3 (B)R1 <R2< R3 (C)R1 = R2 = R3 (D)R2> R1 = R3o 解：斜向拋射運動，仰角45 °時水平射程最遠，而互為餘角時，水平射程相等即R2>R1 = R3，故選(D)以初速度4m/s，仰角60。，斜向將一球拋出，不計空氣阻力， 則此球在最高點的速度大小為若干m/s ?(A)4(B)3.46(C)2(D)0 o解：在最高點時 Vy= 0 Vx = VocosB = 4cos60°

20、 = 2 (m/s)第6章曲線運動 10110.二、填充題6-1角位移與角速度1.角速度2.單位時間內角位移之變化量，稱為切線速度 等於此物體的角速度與半徑的乘積。2;iN3.一圓周運動每分鐘之迴轉數為N，則角速度=606- 3切線加速度與法線加速度4.5.6.圓周運動其加速度可分為 等速圓周運動僅改變速度之 切線加速度僅改變速度之切線加速度 及法線加速度方向，而不改變速度之 _，而法線加速度僅改變速度之大小大小 。方向 。6-4拋物體運動7.一物體以V0之初速與水平成8角斜向拋射,V0sin 0達頂點之時間t=V02sin2 0最大高度h =8.9.2g。2V0si ne飛行全程所需時間 T

21、-g2 V0 sin29水平射程R=若初速度 V0 一定，當仰角 吐 45°時，g，且等於高度 h的 4倍。水平拋射運動可視為水平作等速運動所合成的運動。水平拋射的飛行時間，與水平拋出之初速度無關，僅與拋出時的 高度 有關。其水平射程最遠為Rmax =.與垂直作自由落體運動三、計算題第6章曲線運動10762角加速度1.解:1有一飛輪，於-秒內以等角加速度,2之角加速度為何？2n:N2兀 x 30自靜止達到每分鐘30轉，試求該輪* 2.解:0 =6060兀 00 =1= 2兀t 2一飛輪之角加速度為=兀(rad/s)2(rad/s )24rad/s ,從靜止狀態開始運動，則在此4t +

22、（4t + 20） L120 =X5在5秒鐘內轉過120弧度，如果此飛輪係5秒鐘之前已轉動若干時間？（04(1+5)=4h2041圖（1）8t = 28't = 3.5 ( s) 63切線加速度與法線加速度3.如圖（1）所示，一質點作橢圓運動，當它通過A點時，其合成加速度a之大小為20m/s2，且方向如圖所示。試問（1）當它通過A點時其切線加速度及法線加速度之大小各為何？（2）若在A點處之曲率半徑為 6.25m，則通過A點時之速率為何？解：(1)由右上圖中知0= 37"at = asin3720 x3 = 12 (m/s2)X4 2an = acos37° = 20

23、 x= 16 (m/s )55V2(2) an = = Jr X Cn = J6.25X 16 = 10 (m/s)r4. 如圖(2)所示之圓盤，繞 O軸以等轉速 N = 300rpm迴轉，若圓盤直徑 80cm，吐45。，P為圓周上一點，試求 (1) V p之速率？P點之法線加速度？解：依題意知:r = 40cm = 0.4m2兀11时=602 兀 X 300=10兀 rad/s60(1) Vp= g = 0.4X10 兀=4兀(m/s) cP = g2= 0.4 X(1) 2 = 40兀2 (m/s2)Jt6- 4拋物體運動* 5.設砲彈以98m/s(1)最遠的射程?解:(1)最遠之射程為的

24、初速度脫離砲口，若不計空氣阻力，求理論上此砲彈(2)所達的最大高度？(3)在空中的停留時間?(98)2=980 (m)9.8V 26 = 45 時即 Rmax =g(2)所達的最大高度為(3)在空中停留時間11'Rmax = 4h *= Rmax = X980 = 245 ( m)44T2VoSine 2X 98X sin45°T =g9.81042( s)6.某人在高19.6米之塔頂，以每秒 30米的水平速度拋 射一石子，忽略空氣的阻力，則該石子經幾秒後著 地？石子著地的地點與塔之水平距離為何？解:t = 2 (s)X = V0t = 30X2 = 60 ( m)9.87.

25、解:一砲彈在65m高之峭壁邊緣，以 20m/s之初速度發射出去，仰角37°,設空氣阻力忽略不計，則砲彈著地處至發射處之水平距離約為若干？(設重力加速度 g= 10m/s2)h =( V0Sin® t - - gt2 - 65 =( 20sin37 冷 t - X10 X22 225t - 12t - 65= 0(5t + 13) (t - 5)= 05 ( s)R = Vocos日> =20cos37 °>5 = 80 ( m)8.某人自桌邊將一石子以4.9m/s之速率水平拋出，石子落地時之方向與水平成45。，則此石子拋出後在第幾秒著地？解:解:口VyV0 _ Vx _ Vy_ 4.9 ( m/s)又 Vy _ gt -1 _ g二砲彈分別以仰角60。及30。射出，若初速度相同,(2)飛行時間之比？(1)由h_ Vo sin日知h與sin2