弧度制与任意角知识梳理

1、第四章 三角函数（基本初等函数（n）1了解任意角的概念 2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3 理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 本节内容是整个三角函数部分的基础， 主要考查三角函数的概念， 三角函数值在各象限 的符号， 利用三角函数线比较三角函数值的大小等， 一般不单独设题， 主要是与三角函数相 关的知识相结合来考查1 任意角(1) 角的概念角可以看成平面内一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形我们规定： 按 方向旋转形成的角叫做正角， 按 方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 (2) 象限角重合，角的始边与 x 轴的重合角

2、的终边在第使角的顶点与几象限，就说这个角是第几象限角. a是第一象限角可表示为a|2kn<a<2kn+2, k Z ； a是第二象限角可表示为 a是第三象限角可表示为 a是第四象限角可表示为(3) 非象限角上，就认为这个角不属于任何一个象限. a|a= 2k n k Z;如果角的终边在 终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作 终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作 终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作 终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作 终边在x轴上的角的集合可记作 终边在y轴上的角的集合可记作 终边在坐标轴上的角的集合可记作终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一

3、个集合S =2.弧度制(1)把长度等于弧度.|«| =, l是半径为r的圆的圆心角a所对弧的长.弧度与角度的换算：360 ° = rad ,180rad 0.01745rad 反过来 1rad =的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，用符号rad表示，读作rad ,1(3)若圆心角 a用弧度制表示，则弧长公式 57.30= 57° 18 'I =;扇形面积公式 S扇=3. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设a是一个任意角，它的终边上任意一点, COSa=, tana=P(x, y)与原点的距离为r(r>0)，贝U sin a(XM 0)、

4、丄 xrr孤 cot a= y(y M0)seca= x(x 丰 0,)CSC a= y(y 丰0)yXy(2) 正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sin acos atan a(3) 三角函数值在各象限的符号sin acos atan a4. 三角函数线,MP = y =如图，角a的终边与单位圆交于点 P.过点P作x轴的垂线，垂足为 M，过点A(1 , 0) 作单位圆的切线，设它与 a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、 三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有 0M =AT=.像0M , MP , AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单

5、位圆有关的有向线段 MP , 0M , AT ,分别叫做角 a 的、，统称为三角函数线. a a= k n+ 2,k Z a a=号,k Z应,si n75。二从6屮2, tan 15 ° = 2 护,tan75 = 2 + /3,由余角公角a0。30。45。60。90。120°135°150°180°270°360°角a的弧度数si naCOSatana5.特殊角的三角函数值探 sin15 ° =式易求15° 75°的余弦值和余切值.【自查自纠】1.射线逆时针顺时针零角 原点非负半轴a|2k

6、n+ n< o<2k n+ n kC ZI3a|2k n+ nv<<2k n+ 2 n, kC Z a|2k n+ 3 n<a<2 kn+ 2 n, k C Z 或 a|2kn n< a<2k n kC Z坐标轴 a| a= 2kn+n kC Z a a= 2kn+ 2， kC Z(4) 313= a+ 2k n £r2. (1)半径长k Z或 3 3= a+ k 360 ° k Z180 °3. (1)yR知24. cos asin(Xtana正弦线 余弦线5.正切线角a0°30°45°

7、;60°90°120°135°150°180°270°360°角a的0nnnn2 n3 n5n3 n2n弧6432346nT度数si na012亞21誓返2120-10COSa1迟10亚-迟-101222222不不tana0迟31存-1迟30存0在在n与 463°终 边 相 同 的 角 的 集 合 是k Z k Z k Z k Z()A. aa= k 360。+ 463B. aa= k 360 °+ 103C. aa= k 360 °+ 257°,D. aa= k 360 2

8、57°,解：显然当k= 2时,k 360° + 257° = 463°故选 C.给出下列命题:小于n勺角是锐角；第二象限角是钝角；终边相同的角相等；若 终边，则必有a 3= 2knk Z）.其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1解：锐角的取值范围是0, n，故不正确；钝角的取值范围是n2,n，而第二象限角冗为 2k n+ 2，2kn+ n , k Z ,故不正确；若a= 3+ 2k n, k Z , a与B的终边相同，但当kM0寸，邙，故不正确； 正确.故选B.若cos a=当，且角a的终边经过点P（X, 2），贝y P点的横坐标x是（A . 2 眾B

9、 .C. 2辺D .解:由 cos a=T寸x2+ 4-爭，解得x= 23.故选D.若点p(x, y)是30°角终边上异于原点的一点，则y的值为解: y=tan30 =°33.故填马3.半径为R的圆的一段弧长等于 2仲,则这段弧所对的圆心角的弧度数是 .解：圆心角的弧度数 a= 迪尺=2百.故填213.R类型一角的概念若a是第二象限角，试分别确定2a,a扌的终边所在位置.解：a是第二象限角，90 ° k 360 ° a< 180 + k 360 ° Z).180。+ 2k 360 °< 2 a< 360。+ 2k 3

10、60 °(k Z),故2 a的终边在第三或第四象限或 y轴的负半轴上.a/ 45。+ k 180 °<2< 90 ° k 180 (k Z),当 k = 2n(n Z)时，45° n 360 ° 扌< 90°+ n 360；当 k = 2n + 1(n C Z)时，225 + n 360 < 亍< 270 + n 360 ；的终边在第一或第三象限.a/ 30。+ k 120 °<3< 60 ° k120 (k Z),当 k = 3n(nC Z)时，30 + n 360 &l

11、t; 扌< 60 + n 360 :当 k = 3n + 1(n C Z)时，150 + n 360 <专< 180 + n 360 ,3当 k = 3n + 2(n C Z)时，270 + n 360 < a 300 + n 360 ；3-彳的终边在第一或第二或第四象限.a，a的范围7分类讨论求出2 a，【评析】关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难解此类题一般步骤为先写出a的范围7求出2 a， a，3终边所在位置.已知角2 a的终边在x轴的上方（不与X轴重合），求a的终边所在的象限.解：依题意有2k n< 2aV 2k冗+讹

12、 Z）,. n kn< a< kn+ (kC Z).当k = 0时，0< a< 2，此时a是第一象限角;3当k = 1时，nV aV 2 n此时a是第三象限角.综上，对任意k Z , a为第一或第三象限角.故a的终边在第一或第三象限.类型二 扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形 AOB的圆心角/ AOB = 120° 半径 R= 6,求:(1)AB的长;弓形ACB的面积.解: (1) / AOB= 1202n3，R=6，.”2 nJab = "3 <5= 4 n.(2)S 弓形 ACB= S 扇形 OAB Sa oab=2|abR2R2sin

13、 / AOB=1X4 n<6 1 沁粤=12 9/5.【评析】直接用公式I = I aR可求弧长，利用 S弓=S扇S可求弓形面积.关于其中弧度制不仅形式易记，而且弧长、面积是实际应用中经扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式, 好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致.常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用.扇形AOB的周长为8 cm.若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小.解：设扇形半径为r，则弧长为8- 2r,1 S= 2 (8-2r)r= 3,r = 1，或 r = 3.圆心角e=弧长=宇=6或3.半径 r3类型三三角函数的定义已知角a的终边经

14、过点 P(a, 2a)(a >0), 求 sin a, cos a, tan a 的值.解：因为角a的终边经过点 P(a, 2a)(a>0),所以r =/5a, x= a, y= 2a.y 互Sin 心 r = V5a=tana= y=牛 2.【评析】若题目中涉及角 a终边上一点P的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解.已知角 a的终边经过点P(3 m 9, m若 m = 2，求 5sina+ 3tana 的值;若cos a<0且 sin a> 0,求实数 m的取值范围.解：(1) m= 2, - P( 3, 4), - x= 3, y= 4, r = 5.y

15、 4y 443 = O.-sina= r = 5，tana= x=- 5sin a+ 3tan a= 5 用+ 3 X5/ cos aO 且 sin a> 0 ,3m 9 包), m+ 2> 0. 2v m<3.类型四 三角函数线的应用用单位圆证明角 a的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于 1,即已知OWaV 2 n,求证：|sina+ |cosa| > 1.证明： 作平面直角坐标系 xOy 和单位圆(1)当角a的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox 轴，设它交单位圆于 A 点，如图 1 ，显图1然 sin a= 0, COSa= 0A= 1 ,所以 |sin a+ |cos

16、a|= 1.图2(2)当角a的终边不在坐标轴上时， 不妨设为0P,设它交单位圆于 A点，过A作AB丄x轴于 B，如图 2，贝U sin a= BA, cosa= OB.在 OAB 中，|BA|+ |OB|> |OA|= 1 ,所以 |sina+ |cosa> 1.综上所述，|si na+ |cosa羽.【评析】三角函数线是任意角的三角函数的几何表示,利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律.在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面， 三角函数线具有独特 的简便性.n求证：当 a 0, 2 时，si

17、no< a<tan a轴正半轴的交点为 A,过点A作圆PM丄OA于 M，连接 AP,则在0少证明：如图所示，设角a的终边与单位圆相交于点P,单位圆与x的切线交OP的延长线于T,过P作Rt POM 中，sin a= MP，在 Rt AOT中，tana= AT,又根据弧度制的定义，有 AP = aOP =a,易 知 Sa POA< S 扇形 POa<Sa aot ,1即 2OA MP < 1 1AP OA<2OAAT，即卩 sin a< a<tana1. 将角的概念推广后，要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合为 aO < a<90 ° , 第一象限角的集合为 ak 360°< a<k 360° + 90° k Z，显然锐角的集合仅是第一象限角的 集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角.2. 角度制与弧度制可利用180 = n ra(进行换算，在同一个式子中， 采用的度量制必须n一致，不可混用.如 a= 2kn+ 30°k Z), 3= k 360° + n(k Z)的写法都是不正确的.3. 一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计